$\mathbf{ABCD}$ شبه منحرف قائم في $\mathbf{A}$ و $\mathbf{D}$ بحيث $\mathbf{AD=6cm}$ و $\mathbf{AB=8cm}$ و $\mathbf{CD=4cm}$. يتقاطع قطراه $\mathbf{[AC]}$ و $\mathbf{[BD]}$ في $\mathbf{O}$.
1) بيّن أنّ $\mathbf{\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}}$ ثمّ استنتج أنّ $\mathbf{O}$ هي $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ للمسافة $\mathbf{[BD]}$.
2) لتكن $\mathbf{E}$ نقطة تقاطع المستقيمين $\mathbf{(AD)}$ و $\mathbf{(BC)}$. احسب $\mathbf{EA}$ إذا علمت أنّ $\mathbf{2AE = ED}$.
3) المستقيم المار من $\mathbf{O}$ و الموازي لـ $\mathbf{(BD)}$ يقطع $\mathbf{(OA)}$ في النقطة $\mathbf{M}$. بيّن أنّ $\mathbf{\frac{MO}{EB} = \frac{EA}{EC}}$.
4) استنتج أنّ $\mathbf{\frac{EA}{EC} = \frac{MO}{MD}}$ ثمّ احسب $\mathbf{EA}$ إذا كان $\mathbf{\frac{OM}{MD} = 3}$.
المعطيات: لدينا $\mathbf{ABCD}$ شبه منحرف إذن $\mathbf{(AB) \parallel (CD)}$.
1. شروط الإستقامة: النقطة $\mathbf{O}$ تنتمي إلى $\mathbf{(AC)}$. والنقطة $\mathbf{O}$ تنتمي إلى $\mathbf{(BD)}$.
2. شرط التوازي: لدينا $\mathbf{(AB) \parallel (CD)}$.
3. نتيجة مبرهنة طالس (حالة الفراشة - المثلثين $\mathbf{OAB}$ و $\mathbf{OCD}$):
$\mathbf{\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}}$
استنتاج: بما أن $\mathbf{\frac{OB}{OD} = 2 \neq 1}$، فإن $\mathbf{O}$ ليست $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ (المنتصف) للقطعة $\mathbf{[BD]}$. ملاحظة: سؤال التمرين فيه خطأ، كان يجب أن يسأل عن النسبة.
المعطيات: $\mathbf{E}$ هي نقطة تقاطع $\mathbf{(AD)}$ و $\mathbf{(BC)}$ (امتدادات). $\mathbf{(CD) \parallel (AB)}$.
1. شروط الإستقامة: النقطة $\mathbf{D}$ تنتمي إلى $\mathbf{(EA)}$ ($\mathbf{D \in (EA)}$). والنقطة $\mathbf{C}$ تنتمي إلى $\mathbf{(EB)}$ ($\mathbf{C \in (EB)}$).
2. شرط التوازي: لدينا $\mathbf{(CD) \parallel (AB)}$.
3. نتيجة مبرهنة طالس (في المثلث $\mathbf{EAB}$):
$\mathbf{\frac{ED}{EA} = \frac{EC}{EB} = \frac{DC}{AB}}$
هناك خطأ في صياغة السؤال. المستقيم المار من $\mathbf{O}$ الموازي لـ $\mathbf{(BD)}$ يقطع $\mathbf{(OA)}$ في النقطة $\mathbf{M}$ يعني أن $\mathbf{M}$ هي $\mathbf{O}$ (نقطة وحيدة مشتركة)، وبالتالي السؤال غير منطقي.
افتراض تصحيح: إذا افترضنا أن المستقيم يمر من $\mathbf{O}$ ويوازي $\mathbf{(AB)}$ ويقطع $\mathbf{(AD)}$ في $\mathbf{M}$ و $\mathbf{(BC)}$ في $\mathbf{N}$، يمكن إثبات تناسبات أخرى، لكن ليس التناسب المطلوب. السؤال الثالث والرابع في التمرين غير قابلين للحل بالصيغة المعطاة.
لتكن $\mathbf{ABC}$ نقط مختلفة من $\mathbf{D}$ بحيث $\mathbf{AD=3cm}$, $\mathbf{AC=7.5cm}$ و $\mathbf{BC=5cm}$ و $\mathbf{DE=4cm}$. أرسم المستقيم المار من $\mathbf{D}$ والموازي لـ $\mathbf{(AB)}$ يقطع $\mathbf{(BC)}$ في $\mathbf{E}$.
1) بيّن أنّ $\mathbf{A}$ و $\mathbf{B}$ ليست على استقامة واحدة. واحسب $\mathbf{AB}$ و $\mathbf{CE}$.
2) عيّن $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ للمسافة $\mathbf{[DE]}$. النقطة $\mathbf{F}$ حيث $\mathbf{DF=CE}$ و $\mathbf{CF} \in \mathbf{[AC]}$ و $\mathbf{F}$ و $\mathbf{C}$ و $\mathbf{B}$ على استقامة واحدة.
3) لتكن $\mathbf{F}$ نقطة تقاطع $\mathbf{(DF)}$ و $\mathbf{(BC)}$ بيّن أنّ $\mathbf{DE = CF}$ و $\mathbf{\frac{MD}{AB} = \frac{DF}{AC} = \frac{DE}{BC}}$.
المعطيات: في المثلث $\mathbf{CAB}$، $\mathbf{D}$ تنتمي إلى $\mathbf{(AC)}$ و $\mathbf{E}$ تنتمي إلى $\mathbf{(BC)}$. لدينا $\mathbf{(DE) \parallel (AB)}$ (معطى).
1. شروط الإستقامة: $\mathbf{D}$ تنتمي إلى $\mathbf{(AC)}$ ($\mathbf{D \in (AC)}$). $\mathbf{E}$ تنتمي إلى $\mathbf{(BC)}$ ($\mathbf{E \in (BC)}$).
2. شرط التوازي: $\mathbf{(DE) \parallel (AB)}$.
3. نتيجة مبرهنة طالس:
$\mathbf{\frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{DE}{AB}}$
هناك تناقض في تعريف النقطة $\mathbf{F}$: الشرط $\mathbf{CF} \in \mathbf{[AC]}$ يعني أن $\mathbf{F}$ تنتمي إلى القطعة $\mathbf{[AC]}$. والشرط $\mathbf{F}$ و $\mathbf{C}$ و $\mathbf{B}$ على استقامة واحدة يعني أن $\mathbf{F}$ تنتمي إلى المستقيم $\mathbf{(BC)}$. بما أن $\mathbf{ABC}$ مثلث، فإن $\mathbf{(AC)} \cap \mathbf{(BC)} = \{\mathbf{C}\}$، إذن $\mathbf{F}$ يجب أن تكون $\mathbf{C}$. لكن المعطى $\mathbf{DF=CE=3cm}$ لا يتحقق لأن $\mathbf{DC = 4.5 cm}$ و $\mathbf{DF}$ يجب أن تكون $\mathbf{DC}$.
هذا الجزء يعتمد على تصحيح الجزء الثاني من السؤال 2، وهو غير منطقي في صيغته الحالية. يمكن افتراض خطأ مطبعي في تسميات النقاط.
$\mathbf{ABCD}$ شبه منحرف قائم في $\mathbf{A}$ و $\mathbf{D}$ بحيث $\mathbf{AB=8cm}$, $\mathbf{CD=4cm}$, $\mathbf{AD=6cm}$. لتكن $\mathbf{M \in [AD]}$ بحيث $\mathbf{AM = 2cm}$. المستقيم المار من $\mathbf{M}$ والموازي لـ $\mathbf{(AB)}$ يقطع $\mathbf{(BC)}$ في $\mathbf{N}$.
1) احسب $\mathbf{MN}$.
2) نعتبر $\mathbf{P \in [MN]}$ بحيث $\mathbf{AP} \cap \mathbf{(BC)} = \mathbf{J}$. بيّن أنّ $\mathbf{\frac{AP}{AJ} = \frac{AM}{AD}}$.
نعتبر $\mathbf{E}$ نقطة تقاطع امتدادات الضلعين غير المتوازيين $\mathbf{(AD)}$ و $\mathbf{(BC)}$.
المعطيات: في المثلث $\mathbf{EAB}$، لدينا $\mathbf{(CD) \parallel (AB)}$ و $\mathbf{D \in (EA)}$.
1. شروط الإستقامة: $\mathbf{D}$ تنتمي إلى $\mathbf{(EA)}$ ($\mathbf{D \in (EA)}$). $\mathbf{C}$ تنتمي إلى $\mathbf{(EB)}$ ($\mathbf{C \in (EB)}$).
2. شرط التوازي: لدينا $\mathbf{(CD) \parallel (AB)}$.
3. نتيجة مبرهنة طالس:
$\mathbf{\frac{ED}{EA} = \frac{DC}{AB}}$
المعطيات: لدينا $\mathbf{(MN) \parallel (AB)}$ و $\mathbf{(AB) \parallel (DC)}$ إذن $\mathbf{(MN) \parallel (DC)}$ .
1. شروط الإستقامة: $\mathbf{M}$ تنتمي إلى $\mathbf{(ED)}$ ($\mathbf{M \in (ED)}$). $\mathbf{N}$ تنتمي إلى $\mathbf{(EC)}$ ($\mathbf{N \in (EC)}$).
2. شرط التوازي: $\mathbf{(MN) \parallel (DC)}$.
3. نتيجة مبرهنة طالس:
$\mathbf{\frac{EM}{ED} = \frac{EN}{EC} = \frac{MN}{DC}}$
هناك خطأ في صياغة السؤال: النقطة $\mathbf{P}$ تنتمي إلى القطعة $\mathbf{[MN]}$ و $\mathbf{J}$ هي نقطة تقاطع $\mathbf{(AP)}$ و $\mathbf{(BC)}$.
لكي يتحقق التناسب $\mathbf{\frac{AP}{AJ} = \frac{AM}{AD}}$، يجب أن يكون المستقيم $\mathbf{(MP)}$ موازيا للمستقيم $\mathbf{(DJ)}$ (حسب مبرهنة طالس في المثلث $\mathbf{ADJ}$). هذا الشرط غير مضمون بالمعطيات، إلا إذا كانت $\mathbf{P}$ نقطة خاصة (مثل تقاطع $\mathbf{[MN]}$ مع $\mathbf{[AC]}$ مثلاً، وهو ما يختلف عن المعطى).
$\mathbf{ABCD}$ شبه منحرف قائم في $\mathbf{A}$ و $\mathbf{D}$ بحيث $\mathbf{AB=8cm}$ و $\mathbf{CD=6cm}$ و $\mathbf{AD=6cm}$. لتكن $\mathbf{O}$ نقطة تقاطع القطرين، و $\mathbf{OH}$ ارتفاع المثلث $\mathbf{OAD}$ المتعلق بالضلع $\mathbf{[AD]}$. احسب $\mathbf{OH}$ و $\mathbf{AH}$.
المعطيات: في المثلث $\mathbf{ADC}$، لدينا $\mathbf{O}$ تنتمي إلى $\mathbf{[AC]}$ و $\mathbf{H}$ تنتمي إلى $\mathbf{[AD]}$ و $\mathbf{(OH) \perp (AD)}$ و $\mathbf{(CD) \perp (AD)}$ إذن $\mathbf{(OH) \parallel (CD)}$ .
1. شروط الإستقامة: $\mathbf{A}$ تنتمي إلى $\mathbf{(HC)}$ (خطأ: $\mathbf{A, H, D}$ على استقامة واحدة). $\mathbf{A}$ تنتمي إلى $\mathbf{(OC)}$ (خطأ: $\mathbf{A, O, C}$ على استقامة واحدة).
1. شروط الإستقامة (صحيح): $\mathbf{A, H, D}$ على استقامة واحدة. $\mathbf{A, O, C}$ على استقامة واحدة.
2. شرط التوازي: لدينا $\mathbf{(OH) \parallel (CD)}$ (لأنهما عموديان على نفس المستقيم $\mathbf{(AD)}$).
3. نتيجة مبرهنة طالس في $\mathbf{\triangle ADC}$: $\mathbf{\frac{AH}{AD} = \frac{AO}{AC} = \frac{OH}{CD}}$
$\mathbf{ABC}$ مثلث متساوي الساقين رأسه $\mathbf{C}$ بحيث $\mathbf{AB=8cm}$. لتكن $\mathbf{I}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ للمسافة $\mathbf{[AB]}$. المستقيم المار من $\mathbf{M}$ والموازي لـ $\mathbf{(BC)}$ يقطع $\mathbf{(AC)}$ في $\mathbf{P}$ و $\mathbf{(BI)}$ في $\mathbf{Q}$. بيّن أنّ $\mathbf{\frac{BQ}{IM} = 1}$
هناك خطأ في صياغة السؤال. لنفترض أن $\mathbf{M}$ تنتمي إلى $\mathbf{[CI]}$ ليكون الشكل قابلاً للحل.
افتراض تصحيح: لنفترض أن $\mathbf{M}$ تنتمي إلى $\mathbf{[AC]}$ والمستقيم المار من $\mathbf{M}$ يوازي $\mathbf{(BC)}$ ويقطع $\mathbf{(AB)}$ في $\mathbf{P}$.
نعتمد على مبرهنة المنتصفين في المثلث $\mathbf{ABI}$: (لنفترض أن $\mathbf{M}$ هي $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AC]}$ و $\mathbf{P}$ هي $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AB]}$ وهو ما يتعارض مع $\mathbf{I}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AB]}$).
بالعودة لصيغة السؤال الأصلي: المستقيم يمر من $\mathbf{M}$ والموازي لـ $\mathbf{(BC)}$ يقطع $\mathbf{(AC)}$ في $\mathbf{P}$ و $\mathbf{(BI)}$ في $\mathbf{Q}$. النقطة $\mathbf{M}$ غير معرفة. لنفترض أن $\mathbf{M \in (AB)}$.
افتراض منطقي: لنفترض أن $\mathbf{M}$ تنتمي إلى $\mathbf{[AC]}$، و $\mathbf{Q}$ تنتمي إلى $\mathbf{[AB]}$، و $\mathbf{(MQ) \parallel (BC)}$ (خطأ مطبعي في $\mathbf{(BI)}$ و $\mathbf{(AC)}$).
إذا افترضنا أن: $\mathbf{M}$ هي $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AC]}$، والمستقيم المار من $\mathbf{M}$ يوازي $\mathbf{(BC)}$ يقطع $\mathbf{[AB]}$ في $\mathbf{Q}$. فإن $\mathbf{Q}$ هي $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AB]}$ (أي $\mathbf{Q=I}$) وحسب مبرهنة المنتصفين $\mathbf{MQ = \frac{1}{2} BC}$.
نظراً لعدم تحديد النقطة $\mathbf{M}$، لا يمكن إثبات $\mathbf{\frac{BQ}{IM} = 1}$.
لتكن $\mathbf{ABC}$ مثلث و $\mathbf{M} \in \mathbf{[AB]}$ و $\mathbf{N} \in \mathbf{[AC]}$ بحيث $\mathbf{AM = 2MB}$ و $\mathbf{AN = 2NC}$ .
1) بيّن أنّ $\mathbf{(MN) \parallel (BC)}$
2) احسب $\mathbf{MN}$ إذا كان $\mathbf{BC=6cm}$
3) لتكن $\mathbf{I}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ للمسافة $\mathbf{[BC]}$ والمستقيم المار من $\mathbf{N}$ والموازي لـ $\mathbf{(AC)}$ يقطع $\mathbf{(AB)}$ في $\mathbf{J}$ . بيّن أنّ $\mathbf{J}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AB]}$
المعطيات: في المثلث $\mathbf{ABC}$، $\mathbf{M}$ تنتمي إلى $\mathbf{[AB]}$ و $\mathbf{N}$ تنتمي إلى $\mathbf{[AC]}$. لدينا $\mathbf{(MN) \parallel (BC)}$ .
1. شروط الإستقامة: $\mathbf{M}$ تنتمي إلى $\mathbf{(AB)}$ ($\mathbf{M \in (AB)}$). $\mathbf{N}$ تنتمي إلى $\mathbf{(AC)}$ ($\mathbf{N \in (AC)}$).
2. شرط التوازي: $\mathbf{(MN) \parallel (BC)}$.
3. نتيجة مبرهنة طالس:
$\mathbf{\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}}$
هناك خطأ في صياغة السؤال. الشرط $\mathbf{AN = 2NC}$ يعني أن $\mathbf{N}$ ليست $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AC]}$ (بل $\mathbf{\frac{AN}{AC} = \frac{2}{3}}$).
وبالتالي، المستقيم المار من $\mathbf{N}$ والموازي لـ $\mathbf{(AC)}$ (خطأ مطبعي: يجب أن يوازي $\mathbf{(CI)}$ أو $\mathbf{(BC)}$) لا يمكن أن يضمن أن $\mathbf{J}$ هو $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ إلا إذا كان هناك معطى آخر أو تصحيح في صيغة السؤال.
$\mathbf{ABCD}$ شبه منحرف قائم في $\mathbf{A}$ و $\mathbf{D}$ بحيث $\mathbf{AB=4cm}$ و $\mathbf{CD=6cm}$ و $\mathbf{AD=5cm}$ . لتكن $\mathbf{E}$ نقطة تقاطع المستقيمين $\mathbf{(AD)}$ و $\mathbf{(BC)}$ . المستقيم المار من $\mathbf{A}$ و الموازي لـ $\mathbf{(AC)}$ يقطع $\mathbf{(AD)}$ في $\mathbf{F}$ و $\mathbf{(CD)}$ في $\mathbf{G}$ .
1) احسب $\mathbf{AF}$ و $\mathbf{DG}$
2) بيّن أنّ $\mathbf{\frac{EB}{EF} = \frac{EA}{EG}}$
3) استنتج أنّ $\mathbf{EB^2 = EF \times EG}$
المعطيات: في المثلث $\mathbf{EDC}$، $\mathbf{A}$ تنتمي إلى $\mathbf{(ED)}$ و $\mathbf{B}$ تنتمي إلى $\mathbf{(EC)}$. لدينا $\mathbf{(AB) \parallel (DC)}$ .
1. شروط الإستقامة: $\mathbf{A}$ تنتمي إلى $\mathbf{(ED)}$ ($\mathbf{A \in (ED)}$). $\mathbf{B}$ تنتمي إلى $\mathbf{(EC)}$ ($\mathbf{B \in (EC)}$).
2. شرط التوازي: $\mathbf{(AB) \parallel (DC)}$.
3. نتيجة مبرهنة طالس: $\mathbf{\frac{EA}{ED} = \frac{AB}{DC}}$
هناك خطأ في صياغة السؤال: المستقيم يمر من $\mathbf{A}$ والموازي لـ $\mathbf{(AC)}$ يقطع $\mathbf{(AD)}$ في $\mathbf{F}$ و $\mathbf{(CD)}$ في $\mathbf{G}$. إذا كان $\mathbf{(AF)}$ يقطع $\mathbf{(AD)}$ في $\mathbf{F}$ و $\mathbf{(AF) \parallel (AC)}$، فإن $\mathbf{F}$ هي $\mathbf{A}$ (التقاطع الوحيد). وهذا يجعل السؤال غير منطقي.
افتراض تصحيح: لابد أن يكون المستقيم يمر من $\mathbf{B}$ أو $\mathbf{C}$ أو أن التوازي مع $\mathbf{(AC)}$ غير صحيح.
$\mathbf{ABCD}$ شبه منحرف قاعدتاه $\mathbf{[AB]}$ و $\mathbf{[CD]}$ بحيث $\mathbf{AB=10cm}$ و $\mathbf{CD=4cm}$. لتكن $\mathbf{M} \in \mathbf{[AD]}$ و $\mathbf{N} \in \mathbf{[BC]}$ على التوالي بحيث $\mathbf{(MN) \parallel (AB)}$ .
1) احسب $\mathbf{MN}$ بدلالة $\mathbf{AM}$.
2) نعتبر $\mathbf{MN = \frac{10}{3} cm}$. احسب $\mathbf{AM}$.
3) نعتبر $\mathbf{P}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AB]}$ و $\mathbf{Q}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[CD]}$. بيّن أنّ $\mathbf{PQ}$ هو $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ للمسافة $\mathbf{[AD]}$.
المطلوب: بيّن أنّ $\mathbf{PQ}$ هو $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ للمسافة $\mathbf{[AD]}$. هذا غير صحيح. $\mathbf{PQ}$ هي قطعة تصل بين $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ين للقاعدتين.
القطعة $\mathbf{PQ}$ لا تمر بالضرورة بـ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AD]}$. طول القطعة الواصلة بين $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ي القاعدتين هو: $\mathbf{PQ = \frac{AB + CD}{2} = \frac{10 + 4}{2} = 7 cm}$ (غير مطلوب).
افتراض تصحيح: كان القصد هو $\mathbf{M}$ و $\mathbf{N}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ان لـ $\mathbf{[AD]}$ و $\mathbf{[BC]}$ على التوالي. في هذه الحالة، $\mathbf{MN}$ هي القطعة الواصلة بين $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ي الضلعين غير المتوازيين و $\mathbf{MN = \frac{AB + CD}{2}}$.