$\mathbf{ABCD}$ شبه منحرف قائم في $\mathbf{A}$ و $\mathbf{D}$ بحيث $\mathbf{AD=6cm}$ و $\mathbf{AB=8cm}$ و $\mathbf{CD=4cm}$. يتقاطع قطراه $\mathbf{[AC]}$ و $\mathbf{[BD]}$ في $\mathbf{O}$.
1) بيّن أنّ $\mathbf{\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}}$ ثمّ استنتج أنّ $\mathbf{O}$ هي $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ للمسافة $\mathbf{[BD]}$.
2) لتكن $\mathbf{E}$ نقطة تقاطع المستقيمين $\mathbf{(AD)}$ و $\mathbf{(BC)}$. احسب $\mathbf{EA}$ إذا علمت أنّ $\mathbf{2AE = ED}$.
3) المستقيم المار من $\mathbf{O}$ و الموازي لـ $\mathbf{(BD)}$ يقطع $\mathbf{(OA)}$ في النقطة $\mathbf{M}$. بيّن أنّ $\mathbf{\frac{MO}{EB} = \frac{EA}{EC}}$.
4) استنتج أنّ $\mathbf{\frac{EA}{EC} = \frac{MO}{MD}}$ ثمّ احسب $\mathbf{EA}$ إذا كان $\mathbf{\frac{OM}{MD} = 3}$.
المعطيات: لدينا $\mathbf{ABCD}$ شبه منحرف إذن $\mathbf{(AB) \parallel (CD)}$.
1. شروط الإستقامة: النقاط $\mathbf{A}$، $\mathbf{O}$، $\mathbf{C}$ على استقامة واحدة. والنقاط $\mathbf{B}$، $\mathbf{O}$، $\mathbf{D}$ على استقامة واحدة (تقاطع القطرين).
2. شرط التوازي: لدينا $\mathbf{(AB) \parallel (CD)}$.
3. نتيجة مبرهنة طالس (حالة الفراشة):
$\mathbf{\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}}$
ملاحظة حول "الموسط": بما أن $\mathbf{\frac{OB}{OD} = 2 \neq 1}$، فإن $\mathbf{O}$ ليست $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ (المنتصف) للقطعة $\mathbf{[BD]}$.
المعطيات: $\mathbf{E}$ هي نقطة تقاطع $\mathbf{(AD)}$ و $\mathbf{(BC)}$. $\mathbf{(AB) \parallel (CD)}$.
1. شروط الإستقامة: النقطة $\mathbf{A}$ تنتمي إلى $\mathbf{(ED)}$ ($\mathbf{A \in (ED)}$). والنقطة $\mathbf{B}$ تنتمي إلى $\mathbf{(EC)}$ ($\mathbf{B \in (EC)}$).
2. شرط التوازي: لدينا $\mathbf{(AB) \parallel (CD)}$.
3. نتيجة مبرهنة طالس (في المثلث $\mathbf{EDC}$):
$\mathbf{\frac{EA}{ED} = \frac{EB}{EC} = \frac{AB}{DC}}$
المعطيات: في المثلث $\mathbf{EBC}$، لدينا $\mathbf{O}$ على $\mathbf{[AC]}$ (خطأ في التمرين، $\mathbf{M}$ على $\mathbf{(AC)}$ و $\mathbf{O}$ على $\mathbf{[AC]}$). سنفترض أن المستقيم يمر من $\mathbf{O}$ ويوازي $\mathbf{(EB)}$ (خطأ في التمرين، يوازي $\mathbf{(BD)}$) ويقطع $\mathbf{(AD)}$ في $\mathbf{M}$.
لنستخدم المثلث $\mathbf{EDB}$. النقطة $\mathbf{O}$ تنتمي إلى $\mathbf{[DB]}$. $\mathbf{M}$ على $\mathbf{(ED)}$. لدينا $\mathbf{(OM) \parallel (DB)}$.
1. شروط الإستقامة: $\mathbf{D}$، $\mathbf{M}$، $\mathbf{E}$ على استقامة واحدة. $\mathbf{D}$، $\mathbf{O}$، $\mathbf{B}$ على استقامة واحدة.
2. شرط التوازي: $\mathbf{(MO) \parallel (EB)}$ (خطأ في التمرين، $\mathbf{(MO) \parallel (DB)}$)
النتيجة الصحيحة من التمرين: في $\mathbf{\triangle EBC}$، لدينا $\mathbf{(AB) \parallel (DC)}$. وفي $\mathbf{\triangle EDC}$، $\mathbf{\frac{EA}{ED} = \frac{EB}{EC}}$.
لتبيان $\mathbf{\frac{MO}{EB} = \frac{EA}{EC}}$، يجب أن تكون $\mathbf{\frac{MO}{EB} = \frac{EB}{EC}}$ أي $\mathbf{MO = EB}$ (غير محقق عموماً) أو أن يكون هناك خطأ مطبعي في السؤال.
هذه الجزء يعتمد على تصحيح الجزء 3، لكن لحساب $\mathbf{EA}$ باستخدام $\mathbf{\frac{OM}{MD} = 3}$:
في المثلث $\mathbf{\triangle ADM}$ والمستقيم $\mathbf{(AB)}$، لا يمكن الإستنتاج مباشرة. سنعتبر أن السؤال يهدف إلى حساب $\mathbf{EA}$ من السؤال 2، وهو $\mathbf{EA = 6 cm}$.
لتكن $\mathbf{ABC}$ نقط مختلفة من $\mathbf{D}$ بحيث $\mathbf{AD=3cm}$, $\mathbf{AC=7.5cm}$ و $\mathbf{BC=5cm}$ و $\mathbf{DE=4cm}$. أرسم المستقيم المار من $\mathbf{D}$ والموازي لـ $\mathbf{(AB)}$ يقطع $\mathbf{(BC)}$ في $\mathbf{E}$.
1) بيّن أنّ $\mathbf{A}$ و $\mathbf{B}$ ليست على استقامة واحدة. واحسب $\mathbf{AB}$ و $\mathbf{CE}$.
2) عيّن $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ للمسافة $\mathbf{[DE]}$. النقطة $\mathbf{F}$ حيث $\mathbf{DF=CE}$ و $\mathbf{CF} \in \mathbf{[AC]}$ و $\mathbf{F}$ و $\mathbf{C}$ و $\mathbf{B}$ على استقامة واحدة.
3) لتكن $\mathbf{F}$ نقطة تقاطع $\mathbf{(DF)}$ و $\mathbf{(BC)}$ بيّن أنّ $\mathbf{DE = CF}$ و $\mathbf{\frac{MD}{AB} = \frac{DF}{AC} = \frac{DE}{BC}}$.
المعطيات: في المثلث $\mathbf{CAB}$، النقطة $\mathbf{D \in (AC)}$ والنقطة $\mathbf{E \in (BC)}$. لدينا $\mathbf{(DE) \parallel (AB)}$.
1. شروط الإستقامة: $\mathbf{C, D, A}$ على استقامة واحدة. $\mathbf{C, E, B}$ على استقامة واحدة.
2. شرط التوازي: $\mathbf{(DE) \parallel (AB)}$.
3. نتيجة مبرهنة طالس:
$\mathbf{\frac{CD}{CA} = \frac{CE}{CB} = \frac{DE}{AB}}$
هناك خلط في تسميات النقاط في الجزء 2 و 3. نفترض أن الجزء 3 يهدف لتطبيق مبرهنة طالس مجدداً أو مبرهنة المنتصفين في المثلثات المكونة من $\mathbf{A, B, C}$.
$\mathbf{ABCD}$ شبه منحرف قائم في $\mathbf{A}$ و $\mathbf{D}$ بحيث $\mathbf{AB=8cm}$, $\mathbf{CD=4cm}$, $\mathbf{AD=6cm}$. لتكن $\mathbf{M \in [AD]}$ بحيث $\mathbf{AM = 2cm}$. المستقيم المار من $\mathbf{M}$ والموازي لـ $\mathbf{(AB)}$ يقطع $\mathbf{(BC)}$ في $\mathbf{N}$.
1) احسب $\mathbf{MN}$.
2) نعتبر $\mathbf{P \in [MN]}$ بحيث $\mathbf{AP} \cap \mathbf{(BC)} = \mathbf{J}$. بيّن أنّ $\mathbf{\frac{AP}{AJ} = \frac{AM}{AD}}$.
نُنشئ النقطة $\mathbf{H}$ المسقط العمودي لـ $\mathbf{C}$ على $\mathbf{(AB)}$. نتحصل على المستطيل $\mathbf{ADCH}$ والمثلث القائم $\mathbf{CBH}$. لتطبيق مبرهنة طالس، نستخدم التقاطع في نقطة $\mathbf{E}$ (نقطة تقاطع إمتدادات الضلعين غير المتوازيين $\mathbf{(AD)}$ و $\mathbf{(BC)}$).
1. شروط الإستقامة: $\mathbf{E, M, D}$ على استقامة واحدة. $\mathbf{E, N, C}$ على استقامة واحدة.
2. شرط التوازي: $\mathbf{(MN) \parallel (DC)}$ (لأن $\mathbf{(MN) \parallel (AB)}$ و $\mathbf{(AB) \parallel (DC)}$).
3. نتيجة مبرهنة طالس:
$\mathbf{\frac{EM}{ED} = \frac{EN}{EC} = \frac{MN}{DC}}$
لتبيان هذا التناسب، يجب تطبيق مبرهنة طالس على مثلثين متشابهين.
في المثلث $\mathbf{ADJ}$ والمستقيم $\mathbf{(MP)}$ ($\mathbf{P}$ على $\mathbf{[MN]}$ و $\mathbf{J}$ تقاطع $\mathbf{(AP)}$ و $\mathbf{(BC)}$): هناك خطأ في صياغة السؤال.
التناسب يذكر عادة عند توازي مستقيمين يقطعان الضلعين: $\mathbf{\frac{AP}{AJ} = \frac{AM}{AD}}$ يتحقق إذا كان $\mathbf{(MP) \parallel (DJ)}$ (و هذا لا يصح عموماً).
نعتبر أن السؤال يهدف إلى $\mathbf{J}$ نقطة تقاطع $\mathbf{(AP)}$ و $\mathbf{(BC)}$. إذا كان $\mathbf{(MN) \parallel (BC)}$ (غير صحيح)، أو $\mathbf{P}$ على قطعة أخرى، السؤال غير واضح.
$\mathbf{ABCD}$ شبه منحرف قطراه يتقاطعان في $\mathbf{O}$ بحيث $\mathbf{AB=8cm}$ و $\mathbf{CD=6cm}$ و $\mathbf{AD=4cm}$ و لتكن $\mathbf{H}$ المسقط العمودي لـ $\mathbf{O}$ على $\mathbf{(AD)}$.
1) بيّن أنّ $\mathbf{\frac{1}{OH} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD}}$ . ثمّ استنتج $\mathbf{OH}$
2) احسب $\mathbf{AH}$
1. شروط الإستقامة: $\mathbf{A, H, D}$ على استقامة واحدة. $\mathbf{A, O, C}$ على استقامة واحدة.
2. شرط التوازي: لدينا $\mathbf{(OH) \parallel (CD)}$ (لأن $\mathbf{(CD) \perp (AD)}$ و $\mathbf{(OH) \perp (AD)}$).
3. نتيجة مبرهنة طالس في $\mathbf{\triangle ADC}$: $\mathbf{\frac{AH}{AD} = \frac{AO}{AC} = \frac{OH}{CD}}$
نعتبر قطعة مستقيم $\mathbf{[AB]}$ بحيث $\mathbf{AB=8cm}$ و $\mathbf{I}$ و $\mathbf{C}$ نقطتين بحيث $\mathbf{BC=AC}$ و $\mathbf{I} \in \mathbf{[AB]}$ و $\mathbf{I}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AB]}$ .
1) عيّن $\mathbf{I}$ و $\mathbf{C}$ .
2) لتكن $\mathbf{D}$ دائرة مركزها $\mathbf{I}$ و قطرها $\mathbf{[AB]}$ . لتكن $\mathbf{M}$ نقطة من الدائرة $\mathbf{D}$ مختلفة عن $\mathbf{A}$ و $\mathbf{B}$ والمستقيم الموازي لـ $\mathbf{(IM)}$ المار من $\mathbf{A}$ يقطع $\mathbf{(CM)}$ في النقطة $\mathbf{P}$.
أ. احسب $\mathbf{AP}$
ب. قارن بين $\mathbf{\frac{IN}{IM}}$، $\mathbf{\frac{AC}{AP}}$ و $\mathbf{\frac{CN}{CP}}$.
3) المستقيم الموازي لـ $\mathbf{(IM)}$ المار من $\mathbf{B}$ يقطع $\mathbf{(CM)}$ في النقطة $\mathbf{Q}$. بيّن أنّ $\mathbf{\frac{BQ}{IM} = 1}$
المعطيات: في المثلث $\mathbf{CAP}$، لدينا $\mathbf{I \in (CA)}$ (خطأ، $\mathbf{I}$ على $\mathbf{[AB]}$). في المثلث $\mathbf{CPA}$ والمستقيم $\mathbf{(IM)}$.
1. شروط الإستقامة: $\mathbf{C, M, P}$ على استقامة واحدة. $\mathbf{C, I, A}$ على استقامة واحدة (لا يصح).
بالتصحيح: نستخدم المثلث $\mathbf{CPA}$ والمستقيم $\mathbf{(IM)}$ (المستقيم المار من $\mathbf{I}$ و $\mathbf{M}$).
لدينا $\mathbf{(IM) \parallel (AP)}$ (معطى) و $\mathbf{M \in (CP)}$. إذا كانت $\mathbf{I \in (CA)}$ (وهو غير صحيح)، تطبق طالس.
نستخدم المثلث $\mathbf{CBP}$ والمستقيم $\mathbf{(IM)}$.
1. شروط الإستقامة: $\mathbf{C, M, P}$ على استقامة واحدة. $\mathbf{C, I, B}$ على استقامة واحدة (لا يصح).
نعتمد على مبرهنة المنتصفين في المثلث $\mathbf{ABP}$: لدينا $\mathbf{I}$ منتصف $\mathbf{[AB]}$. المستقيم $\mathbf{(IM)}$ موازي لـ $\mathbf{(AP)}$. يجب أن تكون $\mathbf{M}$ منتصف $\mathbf{[BP]}$ (غير صحيح).
الحل الصحيح: $\mathbf{I}$ هي مركز الدائرة ونصف القطر هو $\mathbf{IA = 4 cm}$. $\mathbf{C}$ هي نقطة على متناصف $\mathbf{[AB]}$. نطبق طالس في المثلث $\mathbf{CIM}$ (خطأ) أو $\mathbf{CAP}$.
في المثلث $\mathbf{CPA}$، المستقيم $\mathbf{(IM)}$ يقطع $\mathbf{(CA)}$ و $\mathbf{(CP)}$. (خطأ في المعطيات)
نعتبر المثلث $\mathbf{ABP}$: $\mathbf{I}$ منتصف $\mathbf{[AB]}$. $\mathbf{M}$ منتصف $\mathbf{[BP]}$ (غير معطى). $\mathbf{IM = \frac{1}{2} AP}$.
نعتبر المثلث $\mathbf{CPA}$: $\mathbf{AP}$ يوازي $\mathbf{IM}$. $\mathbf{\frac{CM}{MP} = \frac{CI}{IA} = \frac{MI}{AP}}$. $\mathbf{I}$ منتصف $\mathbf{[AB]}$. لا يمكن حساب $\mathbf{AP}$. السؤال يحوي أخطاء تركيبية. سنفترض $\mathbf{AP}$ هو $\mathbf{AP = 2 \times IM}$ (من المنتصفين).
بافتراض أن $\mathbf{(IM)}$ هو قطعة منتصف في المثلث $\mathbf{ABP}$: $\mathbf{AP = 2 \times IM}$. بما أن $\mathbf{IM = IA = 4 cm}$، فإن $\mathbf{AP = 8 cm}$.بما أن $\mathbf{IM = 4 cm}$، $\mathbf{AP = 8 cm}$، فإن $\mathbf{\frac{IM}{AP} = \frac{1}{2}}$ (من مبرهنة المنتصفين في $\mathbf{\triangle APB}$).
لتكن $\mathbf{ABC}$ مثلث و $\mathbf{M} \in \mathbf{[AB]}$ و $\mathbf{N} \in \mathbf{[AC]}$ بحيث $\mathbf{AM = 2MB}$ و $\mathbf{AN = 2NC}$ .
1) بيّن أنّ $\mathbf{(MN) \parallel (BC)}$
2) احسب $\mathbf{MN}$ إذا كان $\mathbf{BC=6cm}$
3) لتكن $\mathbf{I}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ للمسافة $\mathbf{[BC]}$ والمستقيم المار من $\mathbf{N}$ والموازي لـ $\mathbf{(AC)}$ يقطع $\mathbf{(AB)}$ في $\mathbf{J}$ . بيّن أنّ $\mathbf{J}$ $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ لـ $\mathbf{[AB]}$
1. شروط الإستقامة: $\mathbf{A, M, B}$ على استقامة واحدة. $\mathbf{A, N, C}$ على استقامة واحدة.
2. شرط التوازي: $\mathbf{(MN) \parallel (BC)}$.
3. نتيجة مبرهنة طالس: $\mathbf{\frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB} = \frac{2}{3}}$.
المعطيات: في المثلث $\mathbf{ABC}$، لدينا $\mathbf{N}$ على $\mathbf{[AC]}$. المستقيم المار من $\mathbf{N}$ يوازي $\mathbf{(BC)}$ (غير معطى، يوازي $\mathbf{(AC)}$). سنفترض أن المستقيم المار من $\mathbf{J}$ هو الموازي لـ $\mathbf{(AC)}$ (أي $\mathbf{(NJ) \parallel (AC)}$).
نستخدم المثلث $\mathbf{AB C}$ والمستقيم $\mathbf{(NJ)}$:
1. شروط الإستقامة: $\mathbf{B, N, C}$ على استقامة واحدة. $\mathbf{B, J, A}$ على استقامة واحدة.
2. شرط التوازي: $\mathbf{(NJ) \parallel (AC)}$ (خطأ في المعطيات)
نعتمد على $\mathbf{N}$ منتصف $\mathbf{[AC]}$: (لأن $\mathbf{AN = 2NC}$، $\mathbf{N}$ ليست المنتصف). لا يمكن تبيان أن $\mathbf{J}$ هو $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ (المنتصف) إلا إذا كانت $\mathbf{N}$ منتصف $\mathbf{[AC]}$.
$\mathbf{ABCD}$ شبه منحرف قائم في $\mathbf{A}$ و $\mathbf{D}$ بحيث $\mathbf{AB=4cm}$ و $\mathbf{CD=6cm}$ و $\mathbf{AD=5cm}$ . لتكن $\mathbf{E}$ نقطة تقاطع المستقيمين $\mathbf{(AD)}$ و $\mathbf{(BC)}$ . المستقيم المار من $\mathbf{A}$ و الموازي لـ $\mathbf{(AC)}$ يقطع $\mathbf{(AD)}$ في $\mathbf{F}$ و $\mathbf{(CD)}$ في $\mathbf{G}$ .
1) احسب $\mathbf{AF}$ و $\mathbf{DG}$
2) بيّن أنّ $\mathbf{\frac{EB}{EF} = \frac{EA}{EG}}$
3) استنتج أنّ $\mathbf{EB^2 = EF \times EG}$
يتطلب هذا التناسب تطبيق طالس على مثلثين متشابهين $\mathbf{\triangle EAB}$ و $\mathbf{\triangle EFG}$ (بافتراض $\mathbf{(AB) \parallel (FG)}$) أو $\mathbf{\triangle EAF}$ و $\mathbf{\triangle EBG}$ (بافتراض $\mathbf{(AF) \parallel (BG)}$). السؤال معقد وغير واضح هندسياً بالمعطيات الحالية.
$\mathbf{ABCD}$ شبه منحرف قائم في $\mathbf{A}$ و $\mathbf{D}$ بحيث $\mathbf{AB=9cm}$ و $\mathbf{CD=4cm}$ و $\mathbf{AD=6cm}$. نعتبر $\mathbf{M}$ و $\mathbf{N}$ نقطتين على $\mathbf{[AD]}$ و $\mathbf{[BC]}$ على التوالي بحيث $\mathbf{(MN) \parallel (AB)}$ .
1) احسب $\mathbf{MN}$ بدلالة $\mathbf{AM}$.
2) نعتبر $\mathbf{MN = \frac{10}{3} cm}$. احسب $\mathbf{AM}$.
3) نعتبر $\mathbf{P}$ منتصف $\mathbf{[AB]}$ و $\mathbf{Q}$ منتصف $\mathbf{[CD]}$. بيّن أنّ $\mathbf{PQ}$ هو $\mathbf{\mathbf{الموسط}}$ للمسافة $\mathbf{[AD]}$.
باستخدام العبارة المصححة $\mathbf{MN = 4 + \frac{5}{6} AM}$، يجب أن يكون $\mathbf{MN > 4}$. لا يمكن أن يكون $\mathbf{MN = \frac{10}{3}}$.
لتكن $\mathbf{ABC}$ مثلث حيث $\mathbf{I \in [AC]}$ و $\mathbf{J \in [BC]}$ و $\mathbf{M \in [AB]}$ و $\mathbf{N \in [BC]}$ بحيث $\mathbf{(IM) \parallel (BC)}$ و $\mathbf{(IN) \parallel (AB)}$ .
1) بيّن أنّ $\mathbf{AM = IN}$ و $\mathbf{MI = NB}$
2) بيّن أنّ $\mathbf{\frac{AI}{AC} = \frac{AM}{AB} = \frac{IM}{BC}}$
3) لتكن $\mathbf{J}$ نقطة على $\mathbf{[AB]}$ بحيث $\mathbf{(IJ) \parallel (CN)}$. بيّن أنّ $\mathbf{\frac{CN}{CA} = \frac{CM}{CB}}$ .
4) بيّن أنّ $\mathbf{\frac{AI}{CN} = \frac{CI}{CM}}$
5) احسب $\mathbf{NJ}$
1. شروط الإستقامة: $\mathbf{A, I, C}$ على استقامة واحدة. $\mathbf{A, M, B}$ على استقامة واحدة.
2. شرط التوازي: $\mathbf{(IM) \parallel (BC)}$.
3. نتيجة مبرهنة طالس: $\mathbf{\frac{AI}{AC} = \frac{AM}{AB} = \frac{IM}{BC}}$ (محققة).
1. شروط الإستقامة: $\mathbf{C, N, B}$ على استقامة واحدة. $\mathbf{C, M, A}$ على استقامة واحدة (لا يصح).
هذا التناسب يطبق عادة في $\mathbf{\triangle CAB}$ بقطع $\mathbf{(MN) \parallel (AB)}$ (خطأ في المعطيات). (خطأ مطبعي في صياغة التمرين)