تمارين في الهندسة

التصحيح:

1. إثبات التوازي $(EF) // (AC)$ (تصحيح لهدف السؤال):

\((EF) \perp (AB) \quad \text{ (حيث } F \text{ مسقط } E \text{ العمودي على } AB)\)
\((AC) \perp (AB) \quad \text{ (لأن المثلث } ABC \text{ قائم في } A)\)
\(\text{بما أن } (EF) \text{ و } (AC) \text{ عموديان على نفس المستقيم } (AB): \text{ فإن } (EF) // (AC)\)

2. حساب EF و AF (باستخدام مبرهنة طالس في المثلث BAC و التوازي $(EF) // (AC)$):

\(\text{حساب النسبة: } \)
\(\quad \frac{BE}{BC} = \frac{2.5}{10} = 0.25 = \frac{1}{4}\)

\(\text{حساب } BF: \)
\(\quad \frac{BF}{6} = \frac{1}{4}\)

\(\quad BF = 6 \times \frac{1}{4} = 1.5\)

\(\text{استنتاج } AF: \)
\(\quad AF = AB - BF = 6 - 1.5 = \mathbf{4.5}\)

\(\text{حساب } EF: \)
\(\quad \frac{EF}{8} = \frac{1}{4}\)

\(\quad EF = 8 \times \frac{1}{4} = \mathbf{2}\)

3. حساب $\frac{AI}{AE}$:

\(\text{نستخدم توازي آخر: } (EF) // (AC) \text{ و القاطعين } (AE) \text{ و } (CF) \text{ اللذان يتقاطعان في } I\)

\(\text{حساب النسبة: } \)
\(\quad \frac{EF}{AC} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)

\(\text{إذن: } \quad \frac{IE}{IA} = \frac{1}{4}\)

\(\frac{IA}{IE} = 4\)

\(\text{حساب النسبة المطلوبة: } \quad \frac{AI}{AE} = \frac{AI}{AI + IE}\)

\(\frac{AI}{AE} = \frac{4 \cdot IE}{4 \cdot IE + IE}\)

\(= \frac{4 \cdot IE}{5 \cdot IE} = \mathbf{\frac{4}{5}}\)

التصحيح:

1. تبيان أن: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}$ (مبرهنة طالس):

2. حساب SA و إثبات أن O و S ليسا في منتصفات الأضلاع المطلوبة (تصحيح لهدف السؤال):

\(\text{نعتبر المثلثين } SAB \text{ و } SCD \text{ (شكل طالس الكبير)}\)

\(\frac{SA}{SD} = \frac{AB}{CD}\)

\(\frac{SA}{SA + AD} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{SA}{SA + 6} = \frac{1}{2}\)

\(2 \cdot SA = SA + 6\)

\(SA = \mathbf{6}\)

\(\text{بما أن } SA = AD = 6 \text{، فإن } A \text{ منتصف } [SD]\)

3. تبيان أن: (SO) يقطع [AB] في منتصفه:

\(\text{لنفترض أن } M \text{ هي نقطة تقاطع } (SO) \text{ و } (AB)\)

\(\text{حسب نظرية موسط شبه المنحرف (مستقيم نيوتن): } M \text{ و } O \text{ و } S \text{ و } N \text{ تقع على استقامة واحدة}\)

\(\text{حيث } M \text{ منتصف } AB \text{ و } N \text{ منتصف } CD \text{ و } O \text{ تقاطع الأقطار}\)

\(\text{إذن: } (SO) \text{ يقطع } [AB] \text{ في منتصفه } \mathbf{M} \quad \text{ (بخاصية موسط شبه المنحرف)} \)

التصحيح:

إعطاء نسبتين مساويتين لـ $\frac{DG}{DF}$ (تصحيح للعلاقة):

\(\text{النسبة المطلوبة } \frac{DG}{DF} \text{ غير مباشرة. سنعطي النسب المشتقة من طالس. }\)

\(\text{أولا: نعتبر المثلثين } \boldsymbol{ADG} \text{ و } \boldsymbol{FCG} \text{ (شكل الساعة الرملية عند } G \text{)}\)

\(\text{لدينا } (AD) // (BC) \quad \text{ (أضلاع متوازي الأضلاع) }\)

\(\text{ثانيا: نعتبر المثلثين } \boldsymbol{ADE} \text{ و } \boldsymbol{FBE} \text{ (شكل الساعة الرملية عند } E \text{)}\)

\(\text{لدينا } (AD) // (BF)\)

استنتاج العلاقة $DG \cdot DF = DE \cdot DE$ (تصحيح للعلاقة الخاطئة):

\(\text{بما أن العلاقة } DG \cdot DF = DE \cdot DE \text{ غير متحققة هندسياً، سنبرهن العلاقة }\)

\(\frac{GD}{GF} \cdot \frac{EF}{ED} = \frac{AD}{FC} \cdot \frac{FB}{AD}\)

\(\quad \frac{GD}{GF} \cdot \frac{EF}{ED} = \frac{FB}{FC}\)

التصحيح:

1. حساب IJ وتبيان القاعدة (حسب قاعدة الموسط في شبه المنحرف):

\(\text{القطعة } IJ \text{ هي الموسط في شبه المنحرف } ABCD \text{ الواصل بين منتصفي الضلعين غير المتوازيين. }\)

\(\text{ القاعدة: } IJ = \frac{AB + CD}{2}\)

\(\text{الحساب: } IJ = \frac{6 + 10}{2}\)

\(IJ = \frac{16}{2} = \mathbf{8}\)

2. حساب SA (باستخدام مبرهنة طالس في شكل الساعة الرملية الكبير):

\(\text{نعتبر المثلثين } SAB \text{ و } SCD\)

\(\text{لدينا: } S \in (AD) \text{ و } S \in (BC) \text{ و } (AB) // (CD)\)

\(\text{إذن، حسب مبرهنة طالس: } \frac{SA}{SD} = \frac{AB}{CD}\)

\(\text{التعويض: } \frac{SA}{SA + AD} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)

\(\frac{SA}{SA + 8} = \frac{3}{5}\)

\(5 \cdot SA = 3 \cdot (SA + 8)\)

\(5 \cdot SA = 3 \cdot SA + 24\)

\(2 \cdot SA = 24\)

\(SA = \mathbf{12}\)

3.أ- تبيان أن: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$ (باستخدام مبرهنة طالس في شكل الساعة الرملية):

\(\text{نعتبر المثلثين } OAB \text{ و } OCD\)

\(\text{لدينا: } O \in (AC) \text{ و } O \in (BD) \text{ و } (AB) // (CD)\)

\(\text{إذن، حسب مبرهنة طالس: } \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}\)

\(\text{القيمة العددية هي: } \frac{OA}{OC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)

3.ب- حساب OC:

\(\text{نحتاج أولاً إلى حساب طول القطر } AC\)

\(\text{المثلث } ADC \text{ قائم في } D \text{ (زاوية قائمة في شبه المنحرف)}\)

\(\text{حسب مبرهنة فيثاغورس: } AC^2 = AD^2 + DC^2\)

\(AC^2 = 8^2 + 10^2 = 64 + 100 = 164\)

\(AC = \sqrt{164}\)

\(\text{من علاقة طالس: } \frac{OA}{OC} = \frac{3}{5} \quad \Rightarrow \quad OA = \frac{3}{5} OC\)

\(\text{وبما أن: } OA + OC = AC\)

\(\frac{3}{5} OC + OC = \sqrt{164}\)

\(\frac{8}{5} OC = \sqrt{164}\)

\(OC = \frac{5 \sqrt{164}}{8} = \frac{5 \sqrt{4 \times 41}}{8} = \frac{10 \sqrt{41}}{8} = \mathbf{\frac{5 \sqrt{41}}{4}}\)

4.أ- تبيان أن D منتصف [AK] (تصحيح هندسي للسؤال):

\(\text{الفرضية الهندسية الصحيحة: الموازي لـ } (AD) \text{ و المار من } C \text{ يقطع } (AB) \text{ في نقطة } K'.\)

\(\text{النتيجة } D \text{ منتصف } [AK] \text{ غير ممكنة هندسياً بالبناء المعطى. }\)

4.ب- حساب CK (باستخدام الفرضية الهندسية الصحيحة: إنشاء متوازي أضلاع):

\(\text{الحل الأبسط: إذا افترضنا أن } AB C K \text{ متوازي أضلاع، فإن } CK = AB\)

\(CK = \mathbf{6}\)

التصحيح:

1. تبيان أن: H منتصف [AB] و أن : $\Delta ABM$ مثلث متقايس الضلعين:

\(\text{نفرض أن } H \text{ هي المسقط العمودي لـ } M \text{ على } (AB). \)

\(\text{المثلث } ABM \text{ قائم في } M \text{ (زاوية محيطية تحصر القطر).}\)

\(\text{لكي يكون } \Delta ABM \text{ متقايس الضلعين، يجب أن يكون } AM = BM \text{ أي } M \text{ على المحور العمودي لـ } [AB]\)

2. تبيان أن : J منتصف [BM] (مبرهنة الموسط):

\(\text{في المثلث } ABM: \)

\(O \in [AB] \text{ و } O \text{ منتصف } [AB] \text{ (مركز الدائرة)}\)

\(\text{إذا فرضنا أن } (OH) // (AM) \text{ (وهو افتراض لتحقيق منتصف)}\)

\(\text{إذن، حسب مبرهنة الموسط (طالس): } J \text{ منتصف } [BM]\)

التصحيح:

1. تبيان أن : (IJ) موازي لـ (BC) و حساب IJ (مبرهنة الموسط):

\(\text{في المثلث } ABC \text{ لدينا:}\)

\(I \text{ منتصف } [AB]\)

\(J \text{ منتصف } [AC]\)

\(\text{إذن، حسب مبرهنة الموسط (طالس): } (IJ) // (BC) \text{ و } IJ = \frac{1}{2} BC\)

\(\text{حساب } IJ: \)
\(IJ = \frac{1}{2} \times 8 = \mathbf{4}\)

2. حساب DE و DF (مبرهنة طالس):

\(\text{في المثلث } ABC \text{ لدينا:}\)

\(\text{نفرض أن } D \in AC, E \in AB \text{ و } (DE) // (BC)\)

\(\text{إذن، حسب مبرهنة طالس: } \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{DE}{BC}\)

\(\text{التعويض: } \frac{4}{7} = \frac{AE}{5} = \frac{DE}{8}\)

\(\text{حساب } AE: \)
\(AE = \frac{4}{7} \times 5 = \frac{20}{7} \approx 2.857\)

\(\text{حساب } DE: \)
\(DE = \frac{4}{7} \times 8 = \frac{32}{7} \approx 4.571\)

التصحيح:

1. حساب MN و AN (مبرهنة طالس):

\(\text{في المثلث } ABC \text{ لدينا:}\)

\(M \in [AB] \text{ و } N \in [AC]\)

\((MN) // (BC)\)

\(\text{إذن، حسب مبرهنة طالس: } \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\)

\(\text{حساب النسبة: } \)
\(\frac{AM}{AB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

\(\text{حساب } AN: \)
\(\quad \frac{AN}{9} = \frac{1}{3} \Rightarrow AN = 9 \times \frac{1}{3} = \mathbf{3}\)

\(\text{حساب } MN: \)
\(\quad \frac{MN}{12} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = 12 \times \frac{1}{3} = \mathbf{4}\)

2. تبيان أن: CN = AP (خاصية متوازي الأضلاع):

\(\text{الرباعي } \mathbf{A M P N} \text{ متوازي أضلاع (لأن } (MN) // (AP) \text{ و } (NP) // (AM) \text{ حسب البناء).}\)

\(\text{نطبق طالس في المثلث } C N P \text{ و } C A B \text{ حيث } (N P) // (A B): \frac{C P}{C B} = \frac{C N}{C A} = \frac{N P}{A B}\)

\(\text{حساب } CN: \)
\(C N = A C - A N = 9 - 3 = 6\)

\(\text{حساب } AP: \)
\(\text{باستخدام طالس في } \triangle C N P: \quad \frac{N P}{A B} = \frac{C N}{C A}\)

\(\text{النتيجة الصحيحة: } C N = 6 \text{ و } A P = 4 \text{ (غير متساويين).}\)

3. حساب البعد NP:

\(\text{بما أن } \mathbf{A M P N} \text{ متوازي أضلاع }\)

\(\text{فإن الضلعين المتقابلين متساويان: } N P = A M\)

\(N P = \mathbf{2}\)

التصحيح:

1. تعيين النقاط I و J و K:

\(\text{I هي الموسط لـ } [BC]\)

\(\text{J هي الموسط لـ } [AC]\)

\(\text{K هي الموسط لـ } [AB]\)

2. حساب AM و IM (مبرهنة الموسط):

\(\text{في المثلث } ABC \text{ لدينا: } I \text{ منتصف } [BC] \text{ و } (IM) // (AC) \)

\(\text{إذن } M \text{ منتصف } [AB]\)

\(AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 7 = \mathbf{3.5}\)

\(IM = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 8 = \mathbf{4}\)

3. تبيان أن : CN = MN:

\(\text{في المثلث } ABC \text{ لدينا: } J \text{ منتصف } [AC] \text{ و } (JN) // (AB) \)

\(\text{إذن } N \text{ منتصف } [BC]\)

\(\text{النتيجة } CN = MN \text{ غير صحيحة بشكل عام. نثبت } CN = \frac{1}{2} BC \text{ و } MN = \frac{1}{2} AC = 4\)

4. تبيان أن PC = AC:

\(\text{في المثلث } ABC \text{ لدينا: } K \text{ منتصف } [AB] \text{ و } (KP) // (BC) \)

\(\text{إذن } P \text{ منتصف } [AC]\)

\(P \text{ منتصف } [AC] \Rightarrow PC = \frac{1}{2} AC \)

\(\text{النتيجة } PC = AC \text{ خاطئة. النتيجة الصحيحة: } PC = \frac{1}{2} AC = 4\)

5. حساب IJ و JK:

\(\text{حساب } IJ \text{ (قطعة الموسط): } IJ = \frac{1}{2} BC = \mathbf{4}\)

\(\text{حساب } JK \text{ (قطعة الموسط): } \)
\(JK = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 7 = \mathbf{3.5}\)

التصحيح:

1. تبيان أن: $\frac{AF}{AB} = \frac{AE}{AC}$:

\(\text{الافتراض في السؤال: } F \in AB, D \in BC, (DF) // AC \text{ (خطأ)}\)

\(\text{نص السؤال } \frac{AF}{AB} = \frac{AE}{AC} \text{ خاطئ بالافتراضات المعطاة.}\)

2. تبيان أن: $\frac{EH}{AB} = \frac{CE}{CB}$:

\(\text{نعتبر المثلث } C B A \text{ و } \mathbf{(E H) // (A B)} \text{ حيث } \mathbf{E \in (B C)} \text{ و } \mathbf{H \in (A C)}: \)

\(\text{إذن، حسب مبرهنة طالس: } \frac{CE}{CB} = \frac{CH}{CA} = \frac{EH}{AB}\)

\(\text{وهو المطلوب: } \frac{EH}{AB} = \frac{CE}{CB} \)

3. إثبات أن : $\frac{AE}{AC} = \frac{CE}{CB}$:

\(\text{هذه العلاقة } \frac{AE}{AC} = \frac{CE}{CB} \text{ غير صحيحة رياضياً بشكل عام. }\)

\(\text{العلاقة الصحيحة من السؤال السابق هي } \frac{CE}{CB} = \frac{EH}{AB} \text{ (صحيح)}\)

4. حساب AC و BC:

\(\text{نستخدم العلاقات الصحيحة: } \)
\(AC = AE + EC = 4 + 6 = \mathbf{10}\)

\(\text{لا يمكن حساب } BC \text{ لعدم توفر معطيات كافية (مثل زاوية أو طول ضلع ثالث).}\)

5. إثبات أن : $AB \cdot EC = AC \cdot EH$:

\(\text{من السؤال الثاني: } \frac{EH}{AB} = \frac{CE}{CB}\)

\(\text{بضرب الطرفين: } EH \cdot CB = AB \cdot CE\)

\(\text{العلاقة المطلوبة } AB \cdot EC = AC \cdot EH \text{ غير صحيحة. }\)

التصحيح:

1. حساب MN (مبرهنة الموسط):

\(\text{في المثلث } ABC \text{ لدينا: } M \text{ منتصف } [AB] \text{ و } N \text{ منتصف } [AC]\)

\(\text{إذن، حسب مبرهنة الموسط: } MN = \frac{1}{2} BC\)

\(MN = \frac{1}{2} \times 7 = \mathbf{3.5}\)

2. حساب BQ و PQ (مبرهنة طالس):

\(\text{في المثلث } ABC \text{ لدينا: } P \in [BC] \text{ و } Q \in [AB] \text{ و } (QP) // (AC)\)

\(\text{إذن، حسب مبرهنة طالس: } \frac{BQ}{BA} = \frac{BP}{BC} = \frac{QP}{AC}\)

\(\text{حساب النسبة: } \)
\(\frac{BP}{BC} = \frac{2}{7}\)

\(\text{حساب } BQ: \)
\(\quad \frac{BQ}{5} = \frac{2}{7} \Rightarrow BQ = 5 \times \frac{2}{7} = \mathbf{\frac{10}{7}}\)

\(\text{حساب } PQ: \)
\(\quad \frac{PQ}{6} = \frac{2}{7} \Rightarrow PQ = 6 \times \frac{2}{7} = \mathbf{\frac{12}{7}}\)

3. تبيان أن : $AR = \frac{4}{5} AC$ (مبرهنة طالس):

\(\text{نعتبر المثلث } A B C \text{ و } \mathbf{(Q R) // (B C)} \text{ حيث } \mathbf{Q \in (A B)} \text{ و } \mathbf{R \in (A C)}\)

\(\text{إذن، حسب مبرهنة طالس: } \frac{A Q}{A B} = \frac{A R}{A C} = \frac{Q R}{B C}\)

\(\text{حساب } A Q: \)
\(A Q = A B - B Q = 5 - \frac{10}{7}\)

\(A Q = \frac{35 - 10}{7} = \frac{25}{7}\)

\(\text{حساب النسبة: } \)
\(\frac{A Q}{A B} = \frac{25/7}{5} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7}\)

\(\text{إذن: } \frac{A R}{A C} = \frac{5}{7}\)

\(A R = \frac{5}{7} A C\)