تمارين الهندسة المستوية

التصحيح السؤال الأول:

حساب AF باستخدام مبرهنة طالس:

التحليل الهندسي (شكل الساعة الرملية):

1. في متوازي الأضلاع ABCD، لدينا: **(AD) // (BC)**.
2. الضلعان المتوازيان (AD) و (BC) مقطوعان بالقاطعين (AC) و (BE)، ونقطة تقاطعهما هي $E$.
3. نقاط التوازي: $\mathbf{F \in (AD)}$ و $\mathbf{C \in (BC)}$.

الحسابات:

1. المعطيات: AC = 8cm، AE = 2cm
2. إذن: EC = AC - AE = 8 - 2 = **6cm**
3. النسبة: \(\frac{AE}{EC} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
4. في متوازي الأضلاع: AD = BC = 6cm
5. من مبرهنة طالس: \(\frac{AF}{BC} = \frac{AE}{EC} = \frac{1}{3}\)
6. إذن: AF = \(\frac{1}{3} \times 6 = \mathbf{2 \text{ cm}}\)

حساب DG باستخدام مبرهنة طالس:

التحليل الهندسي (شكل الساعة الرملية):

1. في متوازي الأضلاع ABCD، لدينا: **(AB) // (DC)**.
2. الضلعان المتوازيان (AB) و (DC) مقطوعان بالقاطعين (AC) و (BG)، ونقطة تقاطعهما هي $E$.
3. نقاط التوازي: $\mathbf{A \in (AB)}$ و $\mathbf{C \in (DC)}$ (حيث G نقطة خارجية).

3. من النسبة: \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
4. إذن: \(\frac{10}{CG} = \frac{1}{3}\)
5. CG = \(3 \times 10 = 30\) cm
6. بما أن CD = AB = 10cm (أضلاع متقابلة في متوازي أضلاع)
7. فإن: DG = CG - CD = 30 - 10 = **20cm**

التصحيح السؤال الثاني:

البرهان:

1. من السؤال الأول، تم تصحيح حساب $AF$ باستخدام مبرهنة طالس الصحيحة: $\mathbf{AF = 2 \text{ cm}}$
2. الضلع $AD$ في متوازي الأضلاع هو: $\mathbf{AD = BC = 6 \text{ cm}}$
3. النسبة الأولى: \(\frac{AF}{AD} = \frac{2}{6} = \mathbf{\frac{1}{3}}\)

التحقق من النسبة الثانية:

4. النسبة الثانية: \(\frac{AE}{AC} = \frac{2}{8} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)

التصحيح السؤال الثالث:

تحليل المثلث AFC:

من النتائج السابقة:

1. $E$ نقطة على الضلع $AC$ من المثلث $AFC$ ($A$, $E$, $C$ على استقامة واحدة).
2. المستقيم $(FE)$ هو أحد القواطع.
3. نقطة $B$ تقع على امتداد $(FE)$ في هذا الشكل.

هذه هي علاقة التناسب المستنتجة من المعطيات الهندسية التي تؤكد أن النسب متسقة وتساوي $\mathbf{\frac{1}{3}}$:

التصحيح السؤال الأول:

حساب EH باستخدام مبرهنة طالس (خاصية المستقيم الواصل من منتصف):

التحليل (في المثلث ABD):

1. E **تنتمي إلى** [AD] و E منتصف [AD] (معطى).
2. المستقيم **(EH) // (AB)** (معطى).
3. النقطة H **تنتمي إلى** [BD].

التطبيق:

1. بما أن E منتصف [AD]، فإن \(\frac{DE}{DA} = \frac{1}{2}\).
2. من مبرهنة طالس: \(\frac{EH}{AB} = \frac{1}{2}\)
3. وطول EH = \(\frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 3 = 1.5 \text{ cm}\)
4. (نستنتج أيضاً أن H منتصف [BD])

التصحيح السؤال الثاني:

إثبات أن F منتصف [BC] (باستخدام مبرهنة طالس في شبه المنحرف):

استخدام خاصية الموسط في شبه المنحرف:

1. $ABCD$ شبه منحرف بحيث $\mathbf{(AB) // (CD)}$.
2. $E$ **تنتمي إلى** [AD] و $E$ منتصف [AD] (معطى).
3. المستقيم $(EF)$ يوازي القاعدة $\mathbf{(AB)}$، إذن $\mathbf{(EF) // (CD)}$ أيضاً.
4. $(EF)$ يقطع الضلع غير الموازي $[BC]$ في النقطة $F$.

البرهان:

5. بما أن E منتصف $[AD]$ و $(EF)$ يوازي $(AB)$ و $(CD)$
6. فإن $F$ هي **منتصف** الضلع $[BC]$

التصحيح السؤال الثالث:

حساب EF - القطعة الموسطة لشبه المنحرف (حسب القاعدة المبرمجة):

التحليل:

1. $EF$ هي القطعة الواصلة بين منتصفي الضلعين غير المتوازيين $[AD]$ و $[BC]$.
2. القاعدة (التي تم حفظها): طولها يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين.

الحساب:

3. AB = 3cm ، CD = 9cm (معطى)
4. EF = \(\frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}\)

التصحيح السؤال الرابع:

حساب FH باستخدام مبرهنة طالس (خاصية المستقيم الواصل من منتصف):

التحليل (في المثلث BCD):

1. F منتصف [BC] (من السؤال 2).
2. H منتصف [BD] (من السؤال 1).
3. المستقيم **(FH)** يربط منتصفي الضلعين $[BC]$ و $[BD]$.

الحساب:

4. FH = \(\frac{1}{2} \times 9 = 4.5 \text{ cm}\)

التحقق من EH:

5. من السؤال الأول: EH = 1.5cm
6. أو باستخدام التجميع: EH = EF - FH = 6 - 4.5 = 1.5cm ✓

التصحيح السؤال الأول:

حساب OB باستخدام مبرهنة طالس (شكل الساعة الرملية):

التحليل الهندسي:

1. في المستطيل ABCD: $\mathbf{(AD) // (BC)}$.
2. الضلعان المتوازيان (AD) و (BC) مقطوعان بالقاطعين (AB) و (DO)، ونقطة تقاطعهما هي $M$ على المستقيم $(AB)$.
3. نقاط التوازي: $\mathbf{A \in (AD)}$ و $\mathbf{B \in (BC)}$.

الحساب:

1. AM = 6cm، AB = 9cm
2. إذن: MB = AB - AM = $9 - 6 = 3 \text{ cm}$
3. من خصائص المستطيل: AD = 4cm
4. من مبرهنة طالس: \(\frac{6}{3} = \frac{4}{BO}\)
5. \(\frac{4}{BO} = 2\)
6. إذن: **OB = 2cm**

استنتاج أن I منتصف [BC]:

خصائص التناظر المركزي:

7. I صورة $O$ بالتناظر المركزي بالنسبة إلى $B$.
8. هذا يعني أن $B$ منتصف القطعة $\mathbf{[OI]}$، إذن $\mathbf{OB = BI = 2 \text{ cm}}$.
9. بما أن $BC = 4 \text{ cm}$ و $BI = 2 \text{ cm}$، فإن $I$ تقع على امتداد $[BC]$.
10. $\mathbf{IC = BC - BI = 4 - 2 = 2 \text{ cm}}$.
11. لذلك $\mathbf{BI = IC = 2 \text{ cm}}$.

التصحيح السؤال الثاني أ:

حساب IJ باستخدام مبرهنة طالس:

التحليل الهندسي:

1. "مسقط $I$ على $(DM)$ وفقاً لمنحى $(AB)$" يعني أن $\mathbf{(IJ) // (AB)}$.
2. بما أن $ABCD$ مستطيل، $\mathbf{(AB) // (DC)}$، إذن $\mathbf{(IJ) // (DC)}$.
3. نطبق مبرهنة طالس في المثلث $\boldsymbol{ODC}$، حيث $I \in (OC)$ و $J \in (OD)$ و $(IJ) // (DC)$.

حساب المواضع والأطوال:

4. من السؤال الأول: $OB = 2 \text{ cm}$، $BC = 4 \text{ cm}$.
5. إذن: $OC = OB + BC = 2 + 4 = 6 \text{ cm}$.
6. بما أن $B$ منتصف $[OI]$: $OI = 2 \times OB = 4 \text{ cm}$.
7. النسبة: \(\frac{OI}{OC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
8. بما أن $DC = AB = 9 \text{ cm}$.
9. من مبرهنة طالس: \(\frac{IJ}{DC} = \frac{2}{3}\).
10. إذن: $IJ = \frac{2}{3} \times 9 = \mathbf{6 \text{ cm}}$.

التصحيح السؤال الثاني ب:

إثبات التوازي (IM) // (AJ) باستخدام خاصية متوازي الأضلاع:

البرهان (الاعتماد على خاصية التوازي والتساوي في الأضلاع):

1. **التوازي:**
   • من بناء النقطة $J$: **(IJ) // (AB)**.
   • النقطة $M$ تنتمي إلى $[AB]$، إذن $(AM)$ مدمجة في $(AB)$.
   • وبالتالي: **(IJ) // (AM)**.
2. **التساوي:**
   • من المعطيات: $\mathbf{AM = 6 \text{ cm}}$.
   • من السؤال السابق: $\mathbf{IJ = 6 \text{ cm}}$.
   • وبالتالي: **AM = IJ**.

الاستنتاج:

3. بما أن في الرباعي **AMJI** لدينا: $\mathbf{(IJ) // (AM)}$ و $\mathbf{IJ = AM}$، فإن **AMJI متوازي أضلاع**.
4. في متوازي الأضلاع، الضلعان المتقابلان الآخران متوازيان.
5. إذن: **(IM) // (AJ)**.