تمارين إضافية حول مبرهنة طالس (طريقة الإسقاط)

دفواراتي
الإسقاط على مستقيم قاطع
تمرين 4

المستقيمان (D) و (D') متقاطعان في O. النقاط A, C تنتمي إلى (D) والنقاط B, D تنتمي إلى (D'). لدينا \((AB) // (CD)\). إذا كان \(OA = 6\), \(AC = 3\), و \(OB = 8\), احسب BD.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

طالس يستخدم الأطوال انطلاقاً من نقطة التقاطع O. يجب أولاً حساب الطول الكامل OC قبل تطبيق النظرية.

📝 الطريقة

  1. احسب الطول OC: \(OC = OA + AC\).
  2. اعتبر الإسقاط المركزي الذي مركزه O ويحول A إلى C. ما هي صورة B؟
  3. اكتب علاقة طالس: \(\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}\).
  4. احسب OD.
  5. استنتج BD من العلاقة: \(BD = OD - OB\).

✅ الحل الكامل

1. حساب الطول OC:

\[OC = OA + AC = 6 + 3 = 9\]

2. تطبيق مبرهنة طالس:

بما أن \((AB) // (CD)\)، نعتبر الإسقاط المركزي (التحاكي) الذي مركزه O. لدينا:

\[\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}\]

3. حساب OD:

\[\frac{6}{9} = \frac{8}{OD} \Rightarrow 6 \times OD = 9 \times 8\]
\[6 \times OD = 72 \Rightarrow OD = \frac{72}{6} = 12\]

4. حساب BD:

\[BD = OD - OB = 12 - 8 = 4\]
الإسقاط لحساب طول ضلع موازٍ
تمرين 5

ABC مثلث. M نقطة من [AB] و N نقطة من [AC] بحيث \((MN) // (BC)\). لدينا \(AM = 10\), \(AB = 15\), و \(BC = 18\). احسب MN.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لحساب طول الضلع الموازي، استخدم النسبة الكاملة لمبرهنة طالس التي تتضمن الأضلاع الثلاثة.

📝 الطريقة

1. تحديد الإسقاط: ليكن p الإسقاط على (AC) باتجاه موازٍ لـ (BC). صورة M هي N وصورة B هي C.

2. تطبيق طالس: هذا يقود إلى العلاقة \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\).

3. اختيار النسب المناسبة: نستخدم النسبة التي تربط الأضلاع المتوازية: \(\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}\).

4. الحساب: عوض بالقيم المعلومة وحل المعادلة لإيجاد MN.

✅ الحل الكامل

بما أن \((MN) // (BC)\)، يمكننا تطبيق مبرهنة طالس. نستخدم النسبة التي تتضمن الأضلاع المتوازية:

\[\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}\]

نعوض بالقيم المعلومة:

\[\frac{10}{15} = \frac{MN}{18}\]

نحل المعادلة لإيجاد MN:

\[15 \times MN = 10 \times 18 \Rightarrow 15 \times MN = 180\]
\[MN = \frac{180}{15} = 12\]
الإسقاط على مستقيم خارجي
تمرين 6

لدينا مستقيمان متوازيان (D1) و (D2). A و B نقطتان على (D1). C و D نقطتان على (D2). المستقيمان (AC) و (BD) يتقاطعان في O. إذا كان \(OA = 5\), \(OC = 8\), و \(CD = 12\), احسب AB.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هذه هي وضعية "الفراشة" الكلاسيكية. (D1) هو المستقيم (AB) و (D2) هو المستقيم (CD).

📝 الطريقة

1. تحديد الإسقاط: نعتبر الإسقاط المركزي الذي مركزه O.

2. كتابة النسب: \(\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD}\).

3. اختيار النسب المناسبة: نستخدم \(\frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD}\).

4. الحساب: عوض بالقيم وحل المعادلة.

✅ الحل الكامل

بما أن \((AB) // (CD)\)، يمكننا تطبيق مبرهنة طالس في شكل الفراشة حول النقطة O:

\[\frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD}\]

نعوض بالقيم المعلومة:

\[\frac{5}{8} = \frac{AB}{12}\]

نحل المعادلة لإيجاد AB:

\[8 \times AB = 5 \times 12 \Rightarrow 8 \times AB = 60\]
\[AB = \frac{60}{8} = 7.5\]