تمارين حول مبرهنة طالس (طريقة الإسقاط)

دفواراتي
تطبيق مباشر للإسقاط
تمرين 1

ABC مثلث حيث \(AB = 6\), \(AC = 4\) و M نقطة من [AB] حيث \(MB = 2\). المستقيم المار من M والموازي لـ(BC) يقطع [AC] في N. احسب NC.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

اعتبر الإسقاط على المستقيم (AC) باتجاه موازٍ للمستقيم (BC). ما هي صورة كل من النقاط B, M, A؟

📝 الطريقة

1. تحديد الإسقاط: ليكن p الإسقاط على (AC) باتجاه موازٍ لـ (BC).

2. تحديد صور النقاط:

  • صورة B هي C (لأن (BC) يوازي اتجاه الإسقاط).
  • صورة M هي N (لأن (MN) يوازي اتجاه الإسقاط).
  • صورة A هي A (لأن A تنتمي لمستقيم الإسقاط).

3. تطبيق طالس: بما أن الإسقاط يحافظ على النسب، فإن: \(\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\). أو \(\frac{MB}{AB} = \frac{NC}{AC}\).

4. الحساب: احسب AM، ثم استخدم النسبة الثانية لحساب NC.

✅ الحل الكامل

ليكن p الإسقاط على المستقيم (AC) باتجاه موازٍ للمستقيم (BC). لدينا:

\(p(B) = C\), \(p(M) = N\), \(p(A) = A\).

حسب مبرهنة طالس ، يمكننا تطبيق نظرية طالس:

\[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}\]

أو باستخدام الأجزاء:

\[\frac{MB}{AB} = \frac{NC}{AC}\]

نحسب أولاً \(AM = AB - MB = 6 - 2 = 4\).

باستخدام النسبة الثانية (وهي أسرع):

\[\frac{2}{6} = \frac{NC}{4}\]
\[6 \times NC = 2 \times 4 \Rightarrow 6 \times NC = 8\]
\[NC = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\]
شبه منحرف
تمرين 2

ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [CD]. E نقطة من [AD] و F نقطة من [BC] بحيث \((EF) // (AB)\). لدينا \(AD=9\), \(BC=12\), \(AE=3\). احسب BF.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

اعتبر الإسقاط على المستقيم (BC) باتجاه موازٍ للقاعدة (AB). ما هي صورة النقاط A, E, D؟

📝 الطريقة

1. تحديد الإسقاط: ليكن p الإسقاط على (BC) باتجاه موازٍ لـ (AB).

2. تحديد صور النقاط: \(p(A) = B\), \(p(E) = F\), \(p(D) = C\).

3. تطبيق طالس: بما أن الإسقاط يحافظ على النسب: \(\frac{AE}{AD} = \frac{BF}{BC}\).

4. الحساب: عوض بالقيم المعلومة وحل المعادلة لإيجاد BF.

✅ الحل الكامل

ليكن p الإسقاط على (BC) باتجاه موازٍ لـ (AB). لدينا \((AB) // (CD) // (EF)\).

صور النقاط A, E, D هي على التوالي B, F, C.

حسب مبرهنة طالس ، فإن:

\[\frac{AE}{AD} = \frac{BF}{BC}\]

نعوض بالقيم المعلومة:

\[\frac{3}{9} = \frac{BF}{12}\]
\[\frac{1}{3} = \frac{BF}{12}\]
\[BF = \frac{12}{3} = 4\]
شكل الفراشة
تمرين 3

المستقيمان (AC) و (BD) يتقاطعان في O. لدينا \((AB) // (CD)\). \(OA=4\), \(OC=5\), \(OB=3\). احسب OD.

التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

هنا يمكن استخدام الإسقاط المركزي (أو التماثل المركزي). اعتبر الإسقاط من النقطة O الذي يحول المستقيم (AB) إلى (CD).

📝 الطريقة

1. تحديد الإسقاط: ليكن p الإسقاط المركزي الذي مركزه O ويحول المستقيم (AB) إلى (CD). (هذا هو التحاكي أو homothety).

2. تحديد صور النقاط: \(p(A)=C\) و \(p(B)=D\).

3. تطبيق طالس: يحافظ الإسقاط المركزي على النسب: \(\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}\).

4. الحساب: عوض بالقيم وحل المعادلة.

✅ الحل الكامل

بما أن \((AB) // (CD)\)، يمكننا اعتبار التحاكي (الإسقاط المركزي) الذي مركزه O ويحول A إلى C. هذا التحاكي سيحول B إلى D.

يحافظ التحاكي على استقامة النقاط والنسب، إذن حسب نظرية طالس:

\[\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}\]

نعوض بالقيم المعلومة:

\[\frac{4}{5} = \frac{3}{OD}\]
\[4 \times OD = 5 \times 3 \Rightarrow 4 \times OD = 15\]
\[OD = \frac{15}{4} = 3.75\]