📐 تطبيقات مبرهنة طالس

تجزئة قطعة مستقيم

صفحة فرعية من دليل مبرهنة طالس — للسنة الثامنة أساسي

1) الفكرة الأساسية

تسمح لنا مبرهنة طالس بتقسيم قطعة مستقيم $[AB]$ إلى أجزاء متقايسة (متساوية الطول) أو إلى أجزاء بنسبة معلومة، وذلك باستعمال مستقيمات متوازية.

صيغة طالس في المثلث:

$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$

عندما تكون $M\in(AB)$ و $N\in(AC)$ و $(MN)//(BC)$.

ارسم نصف مستقيم $[Ax)$ لا ينطبق على $(AB)$.

علّم على $[Ax)$ نقاطًا متتالية $M_1,\ldots,M_n$ بمسافات متساوية.

صل $M_n$ بالنقطة $B$.

ارسم من $M_1,\ldots,M_{n-1}$ مستقيمات موازية لـ $(M_nB)$ لتقطع $[AB]$ في نقاط $K_1,\ldots,K_{n-1}$.

النقاط $K_i$ تقسم $[AB]$ إلى $n$ أجزاء متساوية (حسب طالس).

نريد نقطة $T$ على $[AB]$ بحيث $\dfrac{AT}{TB}=\dfrac{n}{m}$.

ارسم $[Ax)$، ثم ضع $n+m$ أقسام متقايسة: $M_1,\ldots,M_{n+m}$.

صل $M_{n+m}$ بـ $B$، ثم ارسم من $M_n$ مستقيمًا موازيًا لـ $(M_{n+m}B)$ ليقطع $[AB]$ في $T$.

عندئذ $$\frac{AT}{AB}=\frac{n}{n+m},\qquad \frac{TB}{AB}=\frac{m}{n+m}.$$

● A ● B — موازيات ◆ نقاط التقسيم

قراءة: طول $AB=\,$—. نقاط التقسيم: —.

نسيان شرط التوازي مهم

لا يمكن استعمال طالس لحساب الأطوال أو لإثبات التقسيم الصحيح بدون أن تكون المستقيمات متوازية.

خلط ترتيب النسب

يجب احترام نفس الترتيب: من الرأس المشترك ثم المناظر له في المثلث الكبير. مثال صحيح: $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}.$$

اعتبار المسافات على $[Ax)$ غير متقايسة

نجاح الطريقة يعتمد على كون الأقسام على نصف المستقيم $[Ax)$ متساوية الطول.

قسّم $[AB]$ إلى $n=6$ أجزاء متساوية باستعمال شريط الأدوات أعلاه. ما قيمة $\tfrac{AK_2}{AB}$؟
اجعل النسبة $n:m=2:3$. أين تقع النقطة $T$ على $[AB]$؟ احسب $\tfrac{AT}{AB}$.

تلميح: عند التقسيم بالتساوي إلى $n$ أجزاء، تكون $\tfrac{AK_i}{AB}=\tfrac{i}{n}$.