نعتبر مثلثًا \( ABC \) و \( I \) منتصف ضلعه \( [AB] \). المستقيم المار من \( I \) والموازي لـ \( (BC) \) يقطع الضلع \( [AC] \) في \( J \).
للسؤالين 1 و 2: هذا هو التطبيق المباشر لنظرية المستقيم المار من منتصف ضلع (أو نظرية طالس العكسية للقطع الموسطة).
للسؤال 3: المسقط L للنقطة K على (AC) بمنحى (BC) يعني أن \( (KL) // (BC) \). لدينا \( (IJ) // (BC) \)، إذن \( (KL) // (IJ) \). استخدم هذه التوازيات في المثلث AKL.
للسؤال 4: بما أن B منتصف [IK] و C منتصف [JL]، فكر في طبيعة الرباعي IJKL.
للسؤال 5: المستقيم (IK) هو نفسه (AB). النقطة E هي تقاطع (BC) و (AB)، إذن E=B. هل I منتصف [AB]؟
1) في المثلث ABC، لدينا I منتصف [AB] و (IJ) // (BC). حسب النظرية، فإن المستقيم يقطع الضلع الثالث [AC] في منتصفه J.
2) بما أن I منتصف [AB] و J منتصف [AC]، فإن القطعة [IJ] هي قطعة متوسطة. حسب خاصية القطعة الموسطة، طولها يساوي نصف طول الضلع الثالث.
3) K مناظرة I بالنسبة لـ B، إذن B منتصف [IK]. لدينا \( (IJ) // (BC) \) و \( (KL) // (BC) \)، إذن \( (IJ) // (KL) \). في المثلث AKL، B منتصف [IK] و \( (BC) // (KL) \). حسب نظرية طالس، فإن C هي منتصف [AL]. وبالمثل، في المثلث IBC، J منتصف [IC] و E منتصف [IB] و (JE)//(BC).
4) بما أن C منتصف [AL]، فإن \( AC = CL \). ولدينا \( AJ=JC \). إذن \( AJ = JC = CL \).
5) (IK) هو المستقيم (AB). E هي تقاطع (BC) و (AB). إذن E هي النقطة B. المطلوب هو إثبات أن I منتصف [AB]، وهذا معطى في نص التمرين.
1) J منتصف [AC]: في المثلث ABC، المستقيم (IJ) يمر من I منتصف [AB] ويوازي (BC). حسب نظرية المستقيم المار من منتصف ضلع، فإنه يقطع [AC] في منتصفه. إذن J هي منتصف [AC].
2) استنتاج الطول IJ: بما أن I و J هما على التوالي منتصفا [AB] و [AC]، فإن القطعة [IJ] هي قطعة متوسطة في المثلث ABC. إذن \( IJ = \frac{1}{2} BC \).
3) العلاقة بين CJ و JL: لدينا K مناظرة I بالنسبة لـ B، إذن B منتصف [IK]. ولدينا L مسقط K على (AC) بمنحى (BC)، إذن \( (KL) // (BC) \). في المثلث AKL، لدينا B منتصف [IK] و \( (BC) // (KL) \). حسب نظرية المستقيم المار من منتصف ضلع، فإن C هي منتصف [AL]. إذن \( AC = CL \). بما أن J منتصف [AC]، فإن \( AC = 2JC \). وبالتالي \( CL = 2JC \). وهذا يعني أن C هي منتصف [JL].
4) C منتصف [JL]: تم إثبات ذلك في السؤال السابق.
5) I منتصف [AE]: المستقيم (IK) هو نفسه المستقيم (AB). النقطة E هي نقطة تقاطع (BC) و (AB)، إذن E هي النقطة B. السؤال يصبح: "بيّن أن I منتصف [AB]". وهذا معطى في نص التمرين الأصلي: "I منتصف ضلعه [AB]".