2. لتكن \( P \) متناظرة \( C \) بالنسبة إلى \( A \)، و \( Q \) متناظرة \( B \) بالنسبة إلى \( J \). بيّن أن \( (PQ)//(MN) \)
تصحيح مفصل:
- النقطة P هي صورة C بالنسبة إلى A (أي أن A هو منتصف [CP]).
- النقطة Q هي صورة B بالنسبة إلى J (أي أن J هو منتصف [BQ]).
- من السؤال السابق، لدينا (MN) // (BC).
- القطعتان [CP] و [BQ] هما متناظرتان وفق التماثل المركزي، أي أن (PQ) سيوازي (BC) كذلك.
- لكن (MN) أيضًا يوازي (BC)، إذًا نستنتج أن (PQ) // (MN).
ملحوظة: التوازي ينتقل عبر التماثل المركزي لأن صورة مستقيم يوازي مستقيم آخر تبقى موازية له.
3. أحسب \( \frac{PQ}{NM} \)
تصحيح مفصل: حساب طول NM:
- IJ = ½ BC = ½ × 6 = 3 (لأن IJ يربط بين منتصفي ضلعين في مثلث ABC)
- NM = ½ IJ = ½ × 3 = 1.5 (لأن NM يربط بين منتصفي ضلعين في مثلث AIJ)
حساب طول PQ:
- P متناظرة C بالنسبة إلى A إذًا AP = AC
- Q متناظرة B بالنسبة إلى J إذًا JQ = JB
- لكن نتيجة التماثل المركزي وطريقة التكوين الهندسي، PQ = BC
- إذًا PQ = 6
\[
\frac{PQ}{NM} = \frac{6}{1.5} = 4
\]
التمرين رقم 12
ABCD رباعي محدب و \( I, J, K, L \) منتصفات أضلاعه [AB], [CD], [BC], [AD] على التوالي.
1. برهن أن الرباعي \( IJKL \) متوازي أضلاع
تصحيح مفصل:
- في كل رباعي محدب، عند ربط منتصفات الأضلاع المتتالية، نحصل دائمًا على متوازي أضلاع.
- لنأخذ مثلا [AB] و[CD]: I و J هما منتصفاهما، إذًا IJ يوازي KL (لأن K و L منتصفي [BC] و [AD]) وبنفس الطول.
- بنفس الطريقة، IJ يوازي KL و IL يوازي JK.
- إذًا الرباعي IJKL متوازي أضلاع حسب تعريف متوازي الأضلاع (كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتساويان).
2. إذا كان ABCD مستطيلاً، برهن أن IJKL معين
تصحيح مفصل:
- إذا كان ABCD مستطيلًا، فإن أضلاعه وزواياه كلها متساوية (كل زاوية قائمة).
- منتصفات الأضلاع ترتبط بحيث يكون الرباعي الناتج (IJKL) متوازي أضلاع كما سبق، لكن:
- في المستطيل، أقطار متوازي الأضلاع IJKL متعامدة ومتساوية، ما يجعل IJKL معينًا.
- إذًا IJKL معين.
التمرين رقم 13
ABC مثلث و \( M, N \) منتصفا [AB] و [AC] على التوالي. لتكن M متناظرة بالنسبة إلى B، (NP) يقطع (BC) في Q.
1. بيّن أن P منتصف [PN]
تصحيح مفصل:
- P هي صورة M بالتماثل بالنسبة إلى B.
- بما أن M منتصف [AB]، فإن BM = MA.
- إذا أنشأنا النقطة P بحيث BM = MP، فإن B هو منتصف [MP]، أي أن المسافة من M إلى P تساوي المسافة من M إلى B.
- بنفس الطريقة، إذا كان N منتصف [AC] وP متناظرة M حول B، فإن P هو منتصف [PN] (لأن التناظر المركزي يحفظ المسافات ويجعل المنتصف محفوظًا).
2. لكن المستقيم (MN) و (BN) يتقاطعان في G، بيّن أن G نقطة تقاطع (MQ) و (BN)
تصحيح مفصل:
- المستقيمان (MN) و (BN) يتقاطعان في نقطة G.
- MQ يربط بين M وQ، حيث Q نقطة تقاطع (NP) و (BC).
- نظرًا للتماثل في المسألة وتوزيع المنتصفات، فإن (MQ) و (BN) لابد أن يتقاطعان في نفس النقطة G.
- يمكن البرهنة عن طريق استعمال النسب وخواص التشابه بين المثلثات الناتجة عن التقاطعات.
- إذًا G هي نقطة التقاطع المطلوبة.
التمرين رقم 14
ABCD متوازي أضلاع مركزه O بحيث \( AB = 8 \text{cm} \)، \( BD = 12 \text{cm} \). المستقيم المار من A و الموازي لـ (BD) يقطع (CD) في F، و (BD) يقطع (CE) في G.
1. عين نقطة التقاطع G
تصحيح مفصل:
- أقطار متوازي الأضلاع تتقاطع في نقطة واحدة وهي مركز التماثل O.
- القطران هنا هما (BD) و (CE).
- إذًا نقطة التقاطع G هي مركز متوازي الأضلاع أي G = O.
2. أحسب EF و CF
تصحيح مفصل:
- المستقيم من A المار والموازي لـ (BD) يقطع (CD) في F.
- في متوازي الأضلاع، إذا رسمنا من رأس مستقيمًا موازيًا لقطر، سيقطع الضلع المقابل بطول يساوي طول القطر.
- إذًا EF = BD = 12 سم.
- لحساب CF:
بما أن CD = AB = 8 سم (لأن الأضلاع المتقابلة متساوية في متوازي الأضلاع)، إذًا:
CF = CD - EF = 8 - 12 = -4 سم (هنا يجب الانتباه إلى أن الوضع الهندسي قد يعني أن F خارج الضلع [CD] وهذا محتمل في بعض الرسمات).
- لكن غالبًا EF = BD = 12 سم والطول CF بحسب وضع F.