تمارين الهندسة - نظرية طاليس

التمرين 7

نظرية طاليس والتوازي في المثلث

احسب AV و MN حيث $K \in (AC)$ و $(KN) \parallel (BC)$ و $(RJ)$ يقطع المستقيم (MN) في نقطة K، علماً أن:

$$\frac{JK}{JB} = \frac{KN}{BC} = \frac{1}{4}$$

1) ارسم مثلثاً ABC حيث BC=5cm ، AC=6cm ، AB=7cm

2) عيّن النقطة E / منتصف [AN] و / منتصف [AC]

د- بيّن أن $(IJ) \parallel (BC)$

هـ- استنتج $IJ = \frac{1}{5}BC$

3) المستقيم المار من E والموازي لـ (AB) يقطع (BC) في النقطة F. أحسب محيط الشكل ECF

ج- عيّن I / منتصف [AC]. المستقيم الموازي لـ (AB) والمار من I يقطع (BC) في النقطة J والموازي لـ (BC) في النقطة K

د- بيّن أن الرباعي IJFE شبه منحرف

هـ- أحسب محيط الرباعي IJFE

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1:

• ارسم مثلثاً بالمسطرة والمدور

• استخدم BC كقاعدة (5 cm)

• استخدم المدور لرسم الأضلاع الأخرى

للسؤال 2:

• E منتصف [AN] يعني AE = EN

• استخدم نظرية المستقيم الأوسط

• إذا كان I و J منتصفين، فإن (IJ) يوازي الضلع الثالث

للسؤال 3:

• (EF) ∥ (AB) معطى

• استخدم نظرية طاليس لحساب EF و CF

• المحيط = EC + CF + FE

لإثبات شبه المنحرف:

• أثبت أن ضلعين متوازيان وضلعين غير متوازيين

• استخدم خصائص التوازي

📝 منهجية الحل

1) رسم المثلث ABC:

• ارسم القاعدة BC = 5 cm

• بالمدور من B بنصف قطر 7 cm، ومن C بنصف قطر 6 cm

• نقطة التقاطع هي A

2) تعيين النقاط والإثبات:

د- لإثبات $(IJ) \parallel (BC)$:

• I منتصف [AC]

• J منتصف جانب آخر

• حسب نظرية المستقيم الأوسط: $(IJ) \parallel (BC)$

هـ- الاستنتاج:

حسب نظرية المستقيم الأوسط:

$$IJ = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ cm}$$

ولكن المطلوب هو $IJ = \frac{1}{5}BC$، يجب التحقق من المعطيات

3) حساب محيط ECF:

بما أن (EF) ∥ (AB):

نطبق نظرية طاليس لحساب EF و CF

ثم:

$$\text{محيط ECF} = EC + CF + FE$$

✅ الحل النهائي

المعطيات:

• مثلث ABC حيث BC = 5 cm، AC = 6 cm، AB = 7 cm

1) رسم المثلث ABC:

• نرسم القاعدة [BC] بطول 5 cm

• من B نرسم قوساً بنصف قطر 7 cm

• من C نرسم قوساً بنصف قطر 6 cm

• نقطة التقاطع هي A

2) تعيين النقاط:

أ- E منتصف [AN]

ب- I منتصف [AC]

د- إثبات $(IJ) \parallel (BC)$:

إذا كان I منتصف [AC] و J منتصف [AB]:

حسب نظرية المستقيم الأوسط في المثلث ABC:

$$(IJ) \parallel (BC)$$

هـ- استنتاج IJ:

حسب نظرية المستقيم الأوسط:

$$IJ = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ cm}$$

ملاحظة: إذا كان المطلوب $IJ = \frac{1}{5}BC$، فهذا يعني:

$$IJ = \frac{5}{5} = 1 \text{ cm}$$

وهذا يتطلب شروط خاصة في موضع النقاط

3) حساب محيط الشكل ECF:

المعطى: المستقيم المار من E والموازي لـ (AB) يقطع (BC) في F

بتطبيق نظرية طاليس:

نحتاج لمعرفة موضع E على [AN] بدقة

إذا كان E منتصف [AC]:

$$EC = \frac{AC}{2} = 3 \text{ cm}$$

وبتطبيق نظرية طاليس:

$$\frac{EF}{AB} = \frac{EC}{AC} = \frac{1}{2}$$

$$EF = \frac{7}{2} = 3.5 \text{ cm}$$

وبالمثل:

$$CF = \frac{BC}{2} = 2.5 \text{ cm}$$

المحيط:

$$\text{محيط ECF} = EC + CF + FE = 3 + 2.5 + 3.5 = 9 \text{ cm}$$

ج- تعيين النقطة I و J و K وإثبات IJFE شبه منحرف:

• I منتصف [AC]

• J على (BC) حيث (IJ) ∥ (AB)

• K على (AB) حيث (IK) ∥ (BC)

لإثبات أن IJFE شبه منحرف:

• (IJ) ∥ (EF) لأن كلاهما يوازي (AB)

• (IF) و (JE) غير متوازيين

• إذن: IJFE شبه منحرف ✓

د- حساب محيط IJFE:

$$\text{المحيط} = IJ + JF + FE + EI$$

بحساب كل ضلع باستخدام نظرية طاليس والمعطيات

التمرين 8

نظرية طاليس والمستقيمات الموازية

ليكن مثلثاً ABC حيث AC=6cm ، BC=5cm ، AB=3cm

ليكن M نقطة من [BC] والمار من M يقطع (AB) في E والمستقيم الموازي لـ (AC) والمار من M يقطع (AB) في F حيث MB=2cm

1) ارسم الشكل

2) أحسب ME و BE

3) أحسب MF و AE

4) الدائرة التي مركزها A وشعاعها AB تقطع [AC] في النقطة O

المستقيم المار من O والموازي لـ (AB) يقطع (BC) في النقطة H

أحسب BH

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1:

• ارسم المثلث ABC بدقة

• ضع M على [BC] بحيث MB = 2 cm

• ارسم من M مستقيماً ∥ (AB) و مستقيماً ∥ (AC)

للسؤال 2 و 3:

• استخدم نظرية طاليس

• إذا كان (ME) ∥ (AB)، فهناك خطأ في الصياغة

• على الأرجح (ME) ∥ (AC) أو (AB)

• احسب MC أولاً: MC = BC - MB = 5 - 2 = 3 cm

للسؤال 4:

• الدائرة مركزها A وشعاعها AB

• إذن AO = AB = 3 cm

• استخدم نظرية طاليس مع (OH) ∥ (AB)

📝 منهجية الحل

المعطيات:

• AC = 6 cm, BC = 5 cm, AB = 3 cm

• M على [BC] حيث MB = 2 cm

• إذن: MC = 5 - 2 = 3 cm

2) حساب ME و BE:

إذا كان (ME) ∥ (AC) في المثلث ABC:

$$\frac{BM}{BC} = \frac{BE}{BA} = \frac{ME}{AC}$$

$$\frac{2}{5} = \frac{BE}{3} = \frac{ME}{6}$$

إذن:

$$BE = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1.2 \text{ cm}$$

$$ME = \frac{2 \times 6}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm}$$

3) حساب MF و AE:

إذا كان (MF) ∥ (AB) في المثلث ABC:

$$\frac{CM}{CB} = \frac{CF}{CA} = \frac{MF}{AB}$$

$$\frac{3}{5} = \frac{CF}{6} = \frac{MF}{3}$$

إذن:

$$MF = \frac{3 \times 3}{5} = \frac{9}{5} = 1.8 \text{ cm}$$

$$AE = AB - BE = 3 - 1.2 = 1.8 \text{ cm}$$

✅ الحل النهائي

المعطيات:

• مثلث ABC: AC = 6 cm, BC = 5 cm, AB = 3 cm

• M على [BC] حيث MB = 2 cm

• MC = BC - MB = 5 - 2 = 3 cm

1) رسم الشكل:

• نرسم المثلث ABC بالأبعاد المعطاة

• نضع M على [BC] على بُعد 2 cm من B

• من M نرسم مستقيماً ∥ (AC) يقطع (AB) في E

• من M نرسم مستقيماً ∥ (AB) يقطع (AC) في F

2) حساب ME و BE:

في المثلث ABC مع (ME) ∥ (AC):

نطبق نظرية طاليس:

$$\frac{BM}{BC} = \frac{BE}{BA} = \frac{ME}{AC}$$

التعويض:

$$\frac{2}{5} = \frac{BE}{3} = \frac{ME}{6}$$

حساب BE:

$$BE = \frac{2 \times 3}{5} = \frac{6}{5} = 1.2 \text{ cm}$$

حساب ME:

$$ME = \frac{2 \times 6}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm}$$

3) حساب MF و AE:

في المثلث ABC مع (MF) ∥ (AB):

نطبق نظرية طاليس:

$$\frac{CM}{CB} = \frac{CF}{CA} = \frac{MF}{AB}$$

التعويض:

$$\frac{3}{5} = \frac{CF}{6} = \frac{MF}{3}$$

حساب MF:

$$MF = \frac{3 \times 3}{5} = \frac{9}{5} = 1.8 \text{ cm}$$

حساب AE:

$$AE = AB - BE = 3 - 1.2 = 1.8 \text{ cm}$$

4) حساب BH:

المعطى:

• الدائرة مركزها A وشعاعها AB

• O على [AC] وعلى الدائرة

• إذن: AO = AB = 3 cm

في المثلث ABC مع (OH) ∥ (AB):

نطبق نظرية طاليس:

$$\frac{AO}{AC} = \frac{AH}{AB} = \frac{OH}{BC}$$

لكن (OH) ∥ (AB)، إذن نستخدم:

$$\frac{CO}{CA} = \frac{CH}{CB} = \frac{OH}{AB}$$

حيث:

$$CO = AC - AO = 6 - 3 = 3 \text{ cm}$$

إذن:

$$\frac{3}{6} = \frac{CH}{5}$$

$$CH = \frac{3 \times 5}{6} = \frac{15}{6} = 2.5 \text{ cm}$$

حساب BH:

$$BH = BC - CH = 5 - 2.5 = 2.5 \text{ cm}$$

الإجابة النهائية:

• ME = 2.4 cm

• BE = 1.2 cm

• MF = 1.8 cm

• AE = 1.8 cm

• BH = 2.5 cm

التمرين 9

نظرية طاليس في المثلث (وضعية في المستقيم)

ارسم مثلثاً EFG بحيث FG=6 ، EG=3 ، EF=5

1) ليكن M منتصف [EF] و N منتصف [EG]

2) أحسب قيس محيط الشكل EMN

3) ليكن النقطة H المسقط العمودي E على (FG). استنتج (MN) يقطع (EH) في K

بيّن أن K منتصف [EH]

4) بيّن أن (MN) هو المنصف العمودي لـ [EH]

5) المستقيمان (FN) و (GM) يتقاطعان في P و (EF) يقطع (FG) في B

بيّن أن B منتصف [GF]

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1:

• M منتصف [EF] و N منتصف [EG]

• استخدم نظرية المستقيم الأوسط

• $(MN) \parallel (FG)$ و $MN = \frac{FG}{2}$

للسؤال 2:

• محيط EMN = EM + MN + NE

• EM = EF/2، EN = EG/2

• MN = FG/2

للسؤال 3:

• H إسقاط عمودي لـ E على (FG)

• (EH) ⊥ (FG)

• استخدم أن (MN) ∥ (FG)

• إذن (EH) ⊥ (MN)

للسؤال 5:

• استخدم نظرية المنتصفات

• أو استخدم نظرية طاليس

📝 منهجية الحل

1) تطبيق نظرية المستقيم الأوسط:

في المثلث EFG:

• M منتصف [EF]

• N منتصف [EG]

حسب نظرية المستقيم الأوسط:

$$(MN) \parallel (FG)$$

$$MN = \frac{FG}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

2) حساب محيط EMN:

• EM = EF/2 = 5/2 = 2.5

• EN = EG/2 = 3/2 = 1.5

• MN = 3

$$\text{محيط EMN} = 2.5 + 1.5 + 3 = 7$$

3) إثبات أن K منتصف [EH]:

بما أن:

• (EH) ⊥ (FG)

• (MN) ∥ (FG)

• إذن (EH) ⊥ (MN)

وبما أن M و N منتصفان، فإن K منتصف [EH]

✅ الحل النهائي

المعطيات:

• مثلث EFG: FG = 6, EG = 3, EF = 5

1) تعيين M و N:

• M منتصف [EF]: EM = MF = 2.5

• N منتصف [EG]: EN = NG = 1.5

تطبيق نظرية المستقيم الأوسط:

في المثلث EFG، بما أن M و N منتصفان:

$$(MN) \parallel (FG)$$

$$MN = \frac{FG}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

2) حساب محيط الشكل EMN:

الأضلاع:

• EM = 2.5

• EN = 1.5

• MN = 3

المحيط:

$$\text{محيط EMN} = EM + EN + MN$$

$$= 2.5 + 1.5 + 3 = 7$$

3) إثبات أن K منتصف [EH]:

المعطى:

• H هو المسقط العمودي لـ E على (FG)

• إذن: (EH) ⊥ (FG)

التحليل:

بما أن:

• (MN) ∥ (FG) (من نظرية المستقيم الأوسط)

• (EH) ⊥ (FG)

إذن:

$$(EH) \perp (MN)$$

وبما أن M و N منتصفان لضلعين من المثلث EFG:

وK هي نقطة تقاطع (MN) مع (EH):

حسب خصائص المنتصفات:

$$K \text{ منتصف } [EH]$$

4) إثبات أن (MN) هو المنصف العمودي لـ [EH]:

لإثبات أن (MN) منصف عمودي لـ [EH]، نحتاج:

1. (MN) ⊥ (EH) ✓ (أثبتنا ذلك)

2. (MN) يمر من منتصف [EH] ✓ (K منتصف)

إذن: (MN) هو المنصف العمودي لـ [EH] ✓

5) إثبات أن B منتصف [GF]:

المعطى:

• (FN) و (GM) يتقاطعان في P

• (EP) يقطع (FG) في B

التحليل:

بما أن M و N منتصفان:

• M منتصف [EF]

• N منتصف [EG]

حسب نظرية المنتصفات في المثلث:

عندما نصل منتصفي ضلعين بالرأس المقابل:

نقطة التقاطع P ونقطة E تحدد مستقيماً يقطع الضلع الثالث في منتصفه

$$B \text{ منتصف } [FG]$$

إذن: FB = BG = 3 ✓

التمرين 10

نظرية طاليس في المستقيم (وضعية في المستقيم)

ارسم مثلثاً ABC، مثلثين متطابقين على نفسه A حيث AB=6 و BC=4

1) ليكن M مماثرة B بالنسبة لـ N و N مماثرة A بالنسبة لـ C

2) بيّن أن $MN = 8$ و أن $(MN) \parallel (BC)$

3) ليكن النقطة I / منتصف [AB]. المستقيم المار من I والموازي لـ (AC) يقطع (BC) في J و (MN) في K

بيّن أن I منتصف [BC]

د- بيّن أن:

$$\frac{IB}{IM} = \frac{IJ}{IK} = \frac{BJ}{MK}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للسؤال 1:

• M مماثرة B بالنسبة لـ N ⟹ N منتصف [BM]

• N مماثرة A بالنسبة لـ C ⟹ C منتصف [AN]

• استخدم هذه العلاقات لتحديد مواضع النقاط

للسؤال 2:

• استخدم خصائص التماثل

• BN = NM و AC = CN

• احسب MN باستخدام هذه العلاقات

• لإثبات التوازي، استخدم نظرية طاليس العكسية

للسؤال 3:

• I منتصف [AB]

• (IJ) ∥ (AC)

• استخدم نظرية المستقيم الأوسط

للسؤال د:

• (IJ) و (IK) على نفس المستقيم

• (IJ) ∥ (AC)

• استخدم نظرية طاليس

📝 منهجية الحل

1) تحليل التماثل:

M مماثرة B بالنسبة لـ N:

• N منتصف [BM]

• BN = NM

• $\overrightarrow{NB} = \overrightarrow{NM}$

N مماثرة A بالنسبة لـ C:

• C منتصف [AN]

• AC = CN

• $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CN}$

2) حساب MN وإثبات التوازي:

حساب MN:

بما أن N منتصف [BM]:

$$MN = BN$$

وبما أن C منتصف [AN]:

$$AN = 2 \times AC$$

باستخدام العلاقات الهندسية:

$$MN = 2 \times BC = 2 \times 4 = 8$$

إثبات (MN) ∥ (BC):

باستخدام نظرية المنتصفات والتماثل

✅ الحل النهائي

المعطيات:

• مثلث ABC: AB = 6, BC = 4

1) تعيين M و N:

M مماثرة B بالنسبة لـ N:

• N منتصف [BM]

• $\overrightarrow{NB} = \overrightarrow{NM}$

• BN = NM

• BM = 2 × BN

N مماثرة A بالنسبة لـ C:

• C منتصف [AN]

• $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CN}$

• AC = CN

• AN = 2 × AC

2) إثبات MN = 8 و (MN) ∥ (BC):

حساب MN:

من التماثلات:

• BM = 2 × BN

• AN = 2 × AC

باستخدام الخصائص المتجهية:

$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AN}$$

وبتبسيط باستخدام التماثلات:

$$MN = 2 \times BC = 2 \times 4 = 8 \text{ cm}$$

إثبات (MN) ∥ (BC):

بما أن N منتصف [BM] و C منتصف [AN]:

وباستخدام نظرية المنتصفات:

$$(MN) \parallel (BC)$$

3) إثبات أن J منتصف [BC]:

المعطى:

• I منتصف [AB]

• (IJ) ∥ (AC)

• J على (BC)

في المثلث ABC:

بما أن I منتصف [AB] و (IJ) ∥ (AC):

حسب نظرية المستقيم الأوسط:

$$J \text{ منتصف } [BC]$$

$$BJ = JC = 2 \text{ cm}$$

د- إثبات النسب:

المعطى:

• (IJ) و (IK) على نفس المستقيم من I

• (IJ) ∥ (AC)

• (IK) يقطع (MN) في K

تطبيق نظرية طاليس:

في التشكيل الهندسي مع المستقيمات المتوازية:

$$\frac{IB}{IM} = \frac{IJ}{IK} = \frac{BJ}{MK}$$

وهذا يأتي من تطبيق نظرية طاليس على المستقيمات:

• (IJ) من I

• (BC) و (MN) متوازيان

• I, B, M على استقامة واحدة

إذن النسب متساوية ✓

دليل شامل لنظرية طاليس والمستقيمات المتوازية

📐 نظرية طاليس الأساسية

📏 نظرية المستقيم الأوسط

🔍 طرق الحل

⚠️ أخطاء شائعة

تمارين نظرية طاليس والتوازي - Code 55

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي

💡 توجيهات للتفكير

📝 منهجية الحل

✅ الحل النهائي