ليكن $A = 180$ و $B = 108$ عددين صحيحين طبيعيين.
✅ الحل المفصل:
1. تفكيك $A$ و $B$ إلى عوامل أولية:
نبدأ بتفكيك $A = 180$:
$180 \div 2 = 90$
نواصل القسمة على 2:
$90 \div 2 = 45$
نقسم على 3 (مجموع الأرقام $4+5=9$ يقبل القسمة على 3):
$45 \div 3 = 15$
نقسم على 3:
$15 \div 3 = 5$
نقسم على 5:
$5 \div 5 = 1$
إذن، تفكيك $A$ هو:
$A = 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$
نبدأ بتفكيك $B = 108$:
$108 \div 2 = 54$
نواصل القسمة على 2:
$54 \div 2 = 27$
نقسم على 3 (مجموع الأرقام $2+7=9$ يقبل القسمة على 3):
$27 \div 3 = 9$
نقسم على 3:
$9 \div 3 = 3$
نقسم على 3:
$3 \div 3 = 1$
إذن، تفكيك $B$ هو:
$B = 108 = 2^2 \times 3^3$
2. استنتاج القاسم المشترك الأكبر (PGCD):
القاسم المشترك الأكبر (PGCD) هو **جداء العوامل الأولية المشتركة** (2 و 3 فقط).
نأخذ هذه العوامل بأصغر أس (القوة) لها في التفكيكين:
بالنسبة للعامل 2، القوى هي $2^2$ و $2^2$. أصغر أس هو 2.
$2^2$
بالنسبة للعامل 3، القوى هي $3^2$ و $3^3$. أصغر أس هو 2.
$3^2$
نحسب الجداء:
$\text{PGCD}(180, 108) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$
3. التحقق باستخدام خوارزمية إقليدس:
نقسم $A$ على $B$:
$180 = 108 \times 1 + 72$
نقسم القاسم 108 على الباقي 72:
$108 = 72 \times 1 + 36$
نقسم القاسم 72 على الباقي 36:
$72 = 36 \times 2 + 0$
آخر باقي غير معدوم هو 36.
إذن،
$\text{PGCD}(180, 108) = 36$