📝 تمارين في الهندسة (9 أساسي - تونس)

⚠️ ملاحظة: تحتوي بعض الأسئلة على تناقضات في المعطيات

التمرين رقم 9

($\text{وحدة القيس هي السنتيمتر}$)

1) أرسم مثلث $\text{ABC}$ حيث $\text{BC} = 8$ و $\text{AB} = 6$ و $\text{I}$ منتصف $[\text{BC}]$ و $\text{AI} = 5$ .
نعتبر النقطة $\text{G}$ التي تنتمي إلى $[\text{AI}]$ حيث $\text{AG} = 4$ .

الإصلاح:

1) نبني قطعة مستقيم $[\text{BC}]$ طولها $8\text{cm}$ .
2) نعين $\text{I}$ منتصف $[\text{BC}]$، إذن $\text{BI} = \text{IC} = 4\text{cm}$ .
3) نرسم قوس دائرة مركزها $\text{I}$ و شعاعها $5\text{cm}$ ($\text{AI}=5$) .
4) نرسم قوس دائرة مركزها $\text{B}$ و شعاعها $6\text{cm}$ ($\text{AB}=6$) .
5) نقطة تقاطع القوسين هي $\text{A}$.
6) نعين $\text{G}$ على $[\text{AI}]$ بحيث $\text{AG}=4\text{cm}$ .
2) المستقيم المار من $\text{I}$ و الموازي لـ $(\text{AB})$ يقطع $(\text{AC})$ في $\text{J}$ .
أ) بين أن $\text{J}$ منتصف $[\text{AC}]$ .

الإصلاح:

تطبيق نظرية مستقيم المنتصفين في المثلث $\text{ABC}$ :

1) في المثلث $\text{ABC}$، لدينا $\text{I}$ منتصف $[\text{BC}]$ .
2) لدينا $(\text{IJ}) \parallel (\text{AB})$ و $\text{J} \in (\text{AC})$ .
3) بما أن المستقيم يمر من منتصف ضلع ومواز لضلع ثان، فإنه يقطع الضلع الثالث في منتصفه.
4) إذن $\text{J}$ منتصف $[\text{AC}]$ .
ب) بين أن $\text{B}$ و $\text{G}$ و $\text{J}$ على استقامة واحدة .

الإصلاح:

⚠️ تنبيه: يوجد تناقض في المعطيات!
1) $\text{I}$ منتصف $[\text{BC}]$، إذن $(\text{AI})$ هو موسط المثلث المتعلق بالضلع $[\text{BC}]$ .
2) $\text{J}$ منتصف $[\text{AC}]$، إذن $(\text{BJ})$ هو موسط المثلث المتعلق بالضلع $[\text{AC}]$ .
3) لكي تكون النقط B و G و J على استقامة واحدة، يجب أن تكون $\text{G}$ هي نقطة تقاطع الموسطين.
4) نقطة تقاطع موسطي مثلث تحقق العلاقة: $\text{AG} = \frac{2}{3}\text{AI}$ .
5) بالتعويض: $\text{AG} = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ cm}$ .
6) لكن المعطى في التمرين هو: $\text{AG} = 4 \text{ cm}$ .
7) بما أن $4 \ne \frac{10}{3}$، فإن $\text{G}$ ليست نقطة تقاطع الموسطين.
8) الاستنتاج: مع المعطى $\text{AG} = 4$، النقط $\text{B}$ و $\text{G}$ و $\text{J}$ ليست على استقامة واحدة.
💡 تصحيح مقترح: لكي يكون السؤال صحيحا، يجب أن يكون $\text{AG} = \frac{10}{3} \text{ cm}$ بدلا من $4 \text{ cm}$.
3) لتكن $\text{D}$ مناظرة $\text{G}$ بالنسبة إلى $\text{I}$ .
أ) بين أن $\text{DG} = \frac{2}{3} \text{AI}$ .

الإصلاح:

⚠️ تنبيه: المساواة المطلوبة غير صحيحة مع المعطيات!
1) $\text{D}$ مناظرة $\text{G}$ بالنسبة إلى $\text{I}$، إذن $\text{I}$ منتصف $[\text{GD}]$.
2) إذن $\text{DG} = 2 \times \text{GI}$ .
3) لدينا $\text{GI} = \text{AI} - \text{AG} = 5 - 4 = 1 \text{ cm}$ .
4) إذن $\text{DG} = 2 \times 1 = 2 \text{ cm}$ .
5) التحقق من المساواة المطلوبة: $\frac{2}{3} \text{AI} = \frac{2}{3} \times 5 = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ cm}$ .
6) بما أن $\text{DG} = 2 \text{ cm} \ne \frac{10}{3} \text{ cm}$، فإن المساواة $\text{DG} = \frac{2}{3} \text{AI}$ غير صحيحة.
💡 ملاحظة: المساواة الصحيحة هي $\text{DG} = 2\text{GI} = 2(\text{AI} - \text{AG}) = 2 \text{ cm}$.
ب) استنتج أن $\text{G}$ هي منتصف $[\text{AD}]$ .

الإصلاح:

⚠️ تنبيه: الاستنتاج المطلوب غير صحيح مع المعطيات!
1) لكي تكون $\text{G}$ منتصف $[\text{AD}]$، يجب أن يكون $\text{AG} = \text{GD}$ .
2) لدينا $\text{AG} = 4 \text{ cm}$ (معطى).
3) ولدينا $\text{GD} = 2 \text{ cm}$ (من السؤال 3 أ)).
4) بما أن $\text{AG} = 4 \ne 2 = \text{GD}$، فإن $\text{G}$ ليست منتصف $[\text{AD}]$.
حساب موقع G على [AD]:
• $\text{AD} = \text{AG} + \text{GD} = 4 + 2 = 6 \text{ cm}$
• $\frac{\text{AG}}{\text{AD}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
• إذن G تقسم [AD] بنسبة 2 : 1
4) المستقيم $(\text{CD})$ يقطع $(\text{AB})$ في $\text{E}$ .
أ) بين أن $\frac{\text{BJ}}{\text{EC}} = \frac{\text{AB}}{\text{AE}}$ و $\frac{\text{BJ}}{\text{ED}} = \frac{\text{AB}}{\text{AD}}$ .

الإصلاح:

⚠️ تنبيه: هذا السؤال يتطلب معطيات إضافية أو افتراضات خاصة!
1) المشكلة: لإثبات هذه المساواات، نحتاج إلى علاقات هندسية محددة بين النقط.
2) المحاولة بتطبيق مبرهنة طالاس: نحتاج إلى توازيات واضحة، لكن لا توجد معطيات كافية.
3) افتراض ممكن: إذا كانت ABDC متوازي أضلاع، عندئذ:
• $(\text{CD}) \parallel (\text{AB})$
• لكن هذا يتناقض مع وجود E نقطة تقاطع بين (CD) و (AB)
4) الاستنتاج: بالمعطيات الحالية، لا يمكن إثبات المساواتين.
💡 ملاحظة: هذا السؤال يحتاج إلى مراجعة الصياغة أو إضافة معطيات.
ب) استنتج أن $\text{ED} = 2 \text{EC}$ .

الإصلاح:

⚠️ تنبيه: لا يمكن الاستنتاج بدون صحة السؤال 4 أ)!
1) بافتراض صحة المساواتين في السؤال 4 أ):
• $\frac{\text{BJ}}{\text{EC}} = \frac{\text{AB}}{\text{AE}}$
• $\frac{\text{BJ}}{\text{ED}} = \frac{\text{AB}}{\text{AD}}$
2) بقسمة المساواة الأولى على الثانية:
$\frac{\text{ED}}{\text{EC}} = \frac{\text{AD}}{\text{AE}}$
3) لإثبات $\text{ED} = 2 \text{EC}$: يجب أن يكون $\frac{\text{AD}}{\text{AE}} = 2$
4) أي $\text{AD} = 2 \text{AE}$، مما يعني أن E منتصف [AD].
5) لكن: هذا غير مثبت من المعطيات.
6) الاستنتاج: لا يمكن إثبات $\text{ED} = 2 \text{EC}$ بالمعطيات الحالية.