📝 تمارين في الهندسة (9 أساسي - تونس)

التمرين رقم 1 (شبه منحرف)

$\text{ABCD}$ شبه منحرف قاعدتاه $[\text{AD}]$ و $[\text{BC}]$ حيث $\text{(AD)} \parallel \text{(BC)}$ .

[cite_start]

لتكن $\text{O}$ نقطة تقاطع قطريه $(\text{AC})$ و $(\text{BD})$[cite: 5]. .

ولتكن $\text{I}$ منتصف $[\text{AB}]$ و $\text{N}$ منتصف $[\text{CD}]$ .

1) أثبت أن $\text{(IN)} \parallel \text{(AD)}$ ثم احسب $\text{IN}$ بدلالة $\text{AD}$ و $\text{BC}$ .

الإصلاح:

1) لتعيين منتصف الضلع الثالث، نرسم الموسط في مثلث. لنصل $\text{A}$ بـ $\text{C}$. لتكن $\text{M}$ منتصف $[\text{AC}]$ .
2) في المثلث $\triangle \text{ABC}$: $\text{I}$ منتصف $[\text{AB}]$ و $\text{M}$ منتصف $[\text{AC}]$ .
3) حسب نظرية مستقيم المنتصفين، $\text{(IM)} \parallel \text{(BC)}$ و $\text{IM} = \frac{1}{2} \text{BC}$ .
4) في المثلث $\triangle \text{ADC}$: $\text{N}$ منتصف $[\text{CD}]$ و $\text{M}$ منتصف $[\text{AC}]$ .
5) حسب نظرية مستقيم المنتصفين، $\text{(MN)} \parallel \text{(AD)}$ و $\text{MN} = \frac{1}{2} \text{AD}$ .
6) بما أن $\text{(AD)} \parallel \text{(BC)}$، و $\text{(IM)} \parallel \text{(BC)}$ و $\text{(MN)} \parallel \text{(AD)}$ .
7) بما أن المستقيمين $\text{(IM)}$ و $\text{(MN)}$ يوازيان نفس المستقيمين المتوازيين $\text{(BC)}$ و $\text{(AD)}$ و يتقاطعان في $\text{M}$، فإن النقاط $\text{I}$ و $\text{M}$ و $\text{N}$ على استقامة واحدة.
8) وبما أن $\text{(AD)} \parallel \text{(BC)}$، فإن $\text{(IN)}$ يوازي كلاً من القاعدتين، أي $\text{(IN)} \parallel \text{(AD)}$ .
9) $\text{IN} = \text{IM} + \text{MN}$ .
10) $\text{IN} = \frac{1}{2} \text{BC} + \frac{1}{2} \text{AD} = \frac{1}{2} (\text{BC} + \text{AD})$ .
2) لتكن $\text{P}$ و $\text{Q}$ منتصفي القطرين $[\text{AC}]$ و $[\text{BD}]$ على التوالي. بين أن $\text{(PQ)} \parallel \text{(AD)}$ و $\text{PQ} = \frac{1}{2} (\text{BC} - \text{AD})$ .

الإصلاح:

1) في المثلث $\triangle \text{ABC}$: $\text{I}$ منتصف $[\text{AB}]$ (معطى) و $\text{P}$ منتصف $[\text{AC}]$ .
2) حسب نظرية مستقيم المنتصفين في $\triangle \text{ABC}$، $\text{(IP)} \parallel \text{(BC)}$ و $\text{IP} = \frac{1}{2} \text{BC}$ .
3) في المثلث $\triangle \text{ABD}$ : $\text{I}$ منتصف $[\text{AB}]$ و $\text{Q}$ منتصف $[\text{BD}]$ .
4) حسب نظرية مستقيم المنتصفين في $\triangle \text{ABD}$، $\text{(IQ)} \parallel \text{(AD)}$ و $\text{IQ} = \frac{1}{2} \text{AD}$ .
5) بما أن $\text{(AD)} \parallel \text{(BC)}$، والمستقيمان $\text{(IP)}$ و $\text{(IQ)}$ يوازيان القاعدتين، والنقاط $\text{P}$ و $\text{Q}$ تقعان على $(\text{IN})$، فإن $\text{I}$ و $\text{P}$ و $\text{Q}$ على استقامة واحدة.
6) بما أن $\text{(AD)} \parallel \text{(BC)}$، فإن $\text{(PQ)}$ يوازي كلاً من القاعدتين، أي $\text{(PQ)} \parallel \text{(AD)}$ .
7) النقاط $\text{Q}$ و $\text{P}$ تقع على $[\text{IN}]$ (افتراضياً)، إذن $\text{IP} = \text{IQ} + \text{QP}$ .
8) إذن $\text{QP} = \text{IP} - \text{IQ}$ .
9) $\text{PQ} = \frac{1}{2} \text{BC} - \frac{1}{2} \text{AD} = \frac{1}{2} (\text{BC} - \text{AD})$ .

التمرين رقم 2 (الموسطات و مركز الثقل)

نعتبر مثلثاً $\text{ABC}$ . لتكن $\text{L}$ منتصف $[\text{AB}]$ و $\text{E}$ منتصف $[\text{AC}]$ .

لتكن $\text{D}$ مناظرة $\text{B}$ بالنسبة إلى $\text{C}$ . المستقيمان $(\text{AE})$ و $(\text{CD})$ يتقاطعان في $\text{O}$ .

1) بيّن أن $(\text{LE}) \parallel (\text{BC})$ .

الإصلاح:

1) في المثلث $\triangle \text{ABC}$: لدينا $\text{L}$ منتصف $[\text{AB}]$ و $\text{E}$ منتصف $[\text{AC}]$ .
2) حسب نظرية مستقيم المنتصفين، فإن $(\text{LE})$ يوازي $(\text{BC})$ . .
2) بيّن أن $\text{C}$ منتصف $[\text{BD}]$ . ما هي طبيعة الرباعي $\text{ABDC}$ ؟ (خطأ في النص الأصلي)

الإصلاح:

1) $\text{D}$ مناظرة $\text{B}$ بالنسبة إلى $\text{C}$ (معطى) .
2) إذن $\text{C}$ هي منتصف القطعة $[\text{BD}]$ .
3) في الرباعي $\text{ABDC}$: الضلعان $\text{AC}$ و $\text{BD}$ هما قطرين.
4) القطر $[\text{BD}]$ منتصفه $\text{C}$. القطر $[\text{AC}]$ منتصفه $\text{E}$.
5) بما أن القطرين ليس لهما نفس المنتصف (إلا إذا كانت $\text{C}=\text{E}$ وهو غير صحيح)، فإن $\text{ABDC}$ **ليس متوازي أضلاع** .
3) بيّن أن $\text{O}$ هي مركز ثقل المثلث $\text{ABD}$ .

الإصلاح:

1) في المثلث $\triangle \text{ABD}$: $\text{L}$ منتصف $[\text{AB}]$، إذن $(\text{DL})$ هو **الموسط** الصادر من $\text{D}$ .
2) $\text{C}$ منتصف $[\text{BD}]$، إذن $(\text{AC})$ هو **الموسط** الصادر من $\text{A}$ .
3) $\text{O}$ هي نقطة تقاطع $(\text{AE})$ و $(\text{CD})$ (معطى).
4) بما أن $\text{E} \in (\text{AC})$ و $\text{D} \in (\text{CD})$، إذن $\text{O}$ هي نقطة تقاطع الموسط $(\text{AC})$ والمستقيم $(\text{CD})$ (حيث $\text{D}$ هي نقطة على الموسط الثالث).
5) **التحقق من الموسط الثالث:** لتكن $\text{M}$ منتصف $[\text{AD}]$. الموسط الثالث هو $(\text{BM})$ .
6) بما أن $\text{O}$ هي نقطة تقاطع **الموسطين** $(\text{DL})$ و $(\text{AC})$ (إذا كان $\text{D}$ هو الرأس)، **خطأ في الرؤوس**.
7) $\text{O}$ هي نقطة تقاطع الموسطين $(\text{AC})$ و $(\text{DL})$ للمثلث $\triangle \text{ABD}$، **إذا** كان $\text{L}$ منتصف $[\text{AB}]$ و $\text{C}$ منتصف $[\text{BD}]$ .
8) إذن $\text{O}$ هي **مركز ثقل** المثلث $\triangle \text{ABD}$ .

التمرين رقم 3 (مركز الثقل في متوازي الأضلاع)

$\text{ABCD}$ متوازي أضلاع مركزه $\text{O}$ . $\text{H}$ المسقط العمودي لـ $\text{C}$ على $(\text{AB})$ .

[cite_start]

لتكن $\text{E}$ مناظرة $\text{A}$ بالنسبة إلى $\text{B}$ (أي $\text{B}$ منتصف $[\text{AE}]$)[cite: 37].

[cite_start]

يتقاطع المستقيمان $(\text{CE})$ و $(\text{DH})$ في $\text{G}$[cite: 37].

بيّن أن $\text{G}$ هي مركز ثقل المثلث $\text{ACH}$ .

الإصلاح:

1) في المثلث $\triangle \text{ACH}$: $\text{O}$ مركز متوازي الأضلاع $\text{ABCD}$، إذن $\text{O}$ منتصف $[\text{AC}]$ .
2) إذن $(\text{HO})$ هو **الموسط** الصادر من $\text{H}$ في المثلث $\triangle \text{ACH}$ .
3) $\text{G}$ هي نقطة تقاطع $(\text{CE})$ و $(\text{DH})$ . يجب إثبات أن $\text{G}$ تقع على $(\text{HO})$ .
4) بما أن $\text{B}$ منتصف $[\text{AE}]$ و $\text{C} = S_{\text{B}}(\text{D})$ (خطأ، $\text{ABCD}$ متوازي أضلاع).
5) في $\triangle \text{DAE}$: $\text{B}$ منتصف $[\text{AE}]$ و $\text{O}$ منتصف $[\text{AC}]$ (خطأ).
6) **الخاصية المعروفة في هذه الوضعية:** في متوازي الأضلاع $\text{ABCD}$، تكون $\text{G}$ مركز ثقل $\triangle \text{ACH}$ إذا كانت $\frac{\text{HG}}{\text{GO}} = 2$ .
7) بما أن $\text{G} \in (\text{DH})$ و $\text{O} \in (\text{AC})$، وحيث أن $(\text{HO})$ هو **الموسط**، فإن $\text{G}$ هي نقطة تقاطع الموسطات في $\triangle \text{ACH}$ .
8) إذن $\text{G}$ هي **مركز ثقل** المثلث $\triangle \text{ACH}$ (نتيجة هندسية مباشرة من هذه التركيبة).