📝 تمارين في الهندسة (9 أساسي - تونس)

تمرين عدد 21 من الفرض السيدة بوقيلة

التمرين رقم 21

نعتبر مثلثاً $\text{ABC}$ بحيث : $\text{AC} = 6\text{cm}$ و $\text{BC} = 7\text{cm}$ و $\text{AB} = 5\text{cm}$ .

1) أ/ عين على $[\text{AB}]$ النقطتين $\text{I}$ و $\text{J}$ بحيث : $\text{AI} = \frac{1}{2} \text{IJ}$ و $\text{IJ} = \frac{1}{2} \text{JB}$ .
ب/ أحسب $\text{AI}$ و $\text{IJ}$ و $\text{JB}$ ثم استنتج أن $\text{J}$ منتصف $[\text{IB}]$ .

الإصلاح:

1) لدينا $\text{A}$، $\text{I}$، $\text{J}$، $\text{B}$ نقاط على استقامة واحدة وبنفس الترتيب.
2) إذن $\text{AB} = \text{AI} + \text{IJ} + \text{JB}$ .
3) من المعطيات: $\text{AI} = \frac{1}{2} \text{IJ}$ أي $\text{IJ} = 2 \text{AI}$ .
4) ومن المعطيات: $\text{IJ} = \frac{1}{2} \text{JB}$ أي $\text{JB} = 2 \text{IJ}$ .
5) نعوض $\text{IJ}$ في المعادلة الأخيرة: $\text{JB} = 2 \times (2 \text{AI}) = 4 \text{AI}$ .
6) نعوض $\text{IJ}$ و $\text{JB}$ في $\text{AB}$: $\text{AB} = \text{AI} + 2 \text{AI} + 4 \text{AI}$ .
7) إذن: $5 = 7 \text{AI}$ .
8) حساب $\text{AI}$: $\text{AI} = \frac{5}{7}\text{cm}$ .
9) حساب $\text{IJ}$: $\text{IJ} = 2 \text{AI} = 2 \times \frac{5}{7} = \frac{10}{7}\text{cm}$ .
10) حساب $\text{JB}$: $\text{JB} = 4 \text{AI} = 4 \times \frac{5}{7} = \frac{20}{7}\text{cm}$ .

استنتاج أن $\text{J}$ منتصف $[\text{IB}]$ :

11) $\text{J}$ منتصف $[\text{IB}]$ تعني $\text{IJ} = \text{JB}$ .
12) لدينا $\text{IJ} = \frac{10}{7}$ و $\text{JB} = \frac{20}{7}$ .
13) بما أن $\frac{10}{7} \ne \frac{20}{7}$، إذن $\text{J}$ **ليست منتصف** $[\text{IB}]$.
2) لتكن $\text{K}$ مسقط $\text{I}$ على $(\text{AC})$ و على $(\text{BC})$. أحسب $\text{IK}$ .

الإصلاح:

1) **خطأ في نص التمرين:** $\text{K}$ مسقط $\text{I}$ على مستقيمين مختلفين $(\text{AC})$ و $(\text{BC})$. يجب أن تكون $\text{K}$ نقطة على أحد المستقيمين، و النقطة الأخرى هي $\text{L}$ مثلاً.
2) **افتراض:** $\text{K}$ مسقط $\text{I}$ على $(\text{BC})$، و $\text{L}$ مسقط $\text{I}$ على $(\text{AC})$.
3) لا يمكن حساب $\text{IK}$ بمعطيات التمرين، حيث لا يوجد زوايا أو ارتفاعات معروفة، ولا نستطيع استخدام نظرية فيثاغورس. **(يحتاج التمرين إلى معطيات إضافية)**.
3) لتكن النقطة $\text{L}$ منتصف $[\text{KC}]$ . بين أن $(\text{JL}) \parallel (\text{BC})$ ثم أحسب $\text{JL}$ ، معتبراً شبه المنحرف $\text{IBCK}$ .

الإصلاح:

1) **افتراض تصحيح التمرين:** يجب أن يكون شبه المنحرف هو $\text{IBKC}$ و أن $\text{K}$ نقطة أخرى غير التي في السؤال 2، أو أن $\text{K}$ هي نقطة على $(\text{AC})$ أو $(\text{BC})$.
2) **افتراض بسيط:** لنعتبر $\text{K}$ نقطة على $(\text{BC})$ بحيث $\text{IK} \perp \text{BC}$.
3) في المثلث $\text{IKC}$: $\text{L}$ منتصف $[\text{KC}]$.
4) بما أن $\text{J}$ **ليست** منتصف $[\text{IB}]$ (من السؤال 1)، لا يمكن استخدام نظرية مستقيم المنتصفين في شبه المنحرف $\text{IBCK}$.
5) **إذا كانت $\text{G}$ منتصف $[\text{IK}]$**، فإن $(\text{JG}) \parallel (\text{BC})$. **خطأ**.
6) **الاستنتاج:** لا يمكن إثبات التوازي أو الحساب بالمعطيات الحالية. **(مشكلة في صياغة التمرين)**.
4) المستقيم المار من $\text{B}$ و الموازي لـ $(\text{JC})$ يقطع $(\text{AC})$ في النقطة $\text{D}$ .
أ/ أوجد، مع تحليل الجواب، نسبتين مساويتين لـ $\frac{\text{AJ}}{\text{AD}}$ (بتطبيق نظرية طالاس على مثلثين مختلفين).

الإصلاح:

لدينا $(\text{BD}) \parallel (\text{JC})$ و $\text{D} \in (\text{AC})$ و $\text{J} \in (\text{AB})$ .

التطبيق 1: في المثلث $\text{ABD}$ مع التوازي $\text{(JC)} \parallel \text{(BD)}$ :

1) لدينا $\text{C} \in (\text{AD})$.
2) لدينا $\text{J} \in (\text{AB})$ .
3) بما أن $\text{(JC)} \parallel \text{(BD)}$، وبتطبيق نظرية طالاس على $\triangle \text{ABD}$.
4) **النسبة الأولى:** $\frac{\text{AJ}}{\text{AB}} = \frac{\text{AC}}{\text{AD}} = \frac{\text{JC}}{\text{BD}}$ .
5) من المساواة: $\frac{\text{AC}}{\text{AD}}$ هي النسبة الأولى المساويـة لـ $\frac{\text{AJ}}{\text{AB}}$ (مطلوب $\frac{\text{AJ}}{\text{AD}}$). **خطأ في التطبيق.**
6) **التطبيق الصحيح (باستخدام $\text{C}$ كنقطة على $(\text{AD})$):** $\frac{\text{AJ}}{\text{AB}} = \frac{\text{AC}}{\text{AD}}$ .
7) **من المساواة:** $\frac{\text{AJ}}{\text{AD}} = \frac{\text{AC}}{\text{AB}}$ . **النسبة الأولى هي $\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$**.
8) لدينا $\frac{\text{AC}}{\text{AB}} = \frac{6}{5}$ .

التطبيق 2: في المثلث $\text{ABC}$ (مختلف):

9) **نطبق نظرية طالاس على $\triangle \text{ABC}$ مع التوازي $\text{(BD)} \parallel \text{(JC)}$:** لا يمكن، المستقيم المار من $\text{B}$ لا يمر بضلع آخر.
10) **نطبق نظرية طالاس على $\triangle \text{CBD}$ مع التوازي $\text{(JC)} \parallel \text{(BD)}$:** لا يمكن.
11) **التطبيق 2 (في المثلث $\text{AEC}$ مع $\text{E}$ نقطة تقاطع):** لا يوجد.
12) **التطبيق 2 (باستخدام $\frac{\text{AJ}}{\text{AD}} = \frac{\text{AC}}{\text{AB}}$):** يمكن أن تكون النسبة الثانية هي $\frac{\text{AI}}{\text{AD}}$ إذا كانت $\text{I}$ في مكان ما.
13) **النسبة الثانية:** هي النسبة المساويـة لـ $\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$. لا يوجد نسبة أخرى بنفس التحليل. **النسبة الثانية هي $\frac{\text{JC}}{\text{BD}}$**. **خطأ في صياغة السؤال**.
14) **نستنتج من المساواة الأولى:** $\frac{\text{AJ}}{\text{AD}} = \frac{\text{AC}}{\text{AB}}$.
15) **النسبة الثانية** يجب أن تكون $\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$.
16) **الإجابة:** النسبة الأولى هي $\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$. والنسبة الثانية هي $\frac{\text{JC}}{\text{BD}} \times \frac{\text{AB}}{\text{AD}}$. **(مشكلة في صياغة التمرين)**.
ب/ استنتج أن $\text{AC}^2 = \text{AD} \times \text{AL}$ .

الإصلاح:

1) من السؤال 4 أ): $\frac{\text{AJ}}{\text{AD}} = \frac{\text{AC}}{\text{AB}}$ .
2) إذن $\text{AJ} \times \text{AB} = \text{AD} \times \text{AC}$ . **خطأ:** لا يمكن أن نستنتج المطلوب مباشرة.
3) **لإثبات $\text{AC}^2 = \text{AD} \times \text{AL}$:** يجب أن يكون $\frac{\text{AC}}{\text{AD}} = \frac{\text{AL}}{\text{AC}}$، أي $\triangle \text{ACL}$ يشبه $\triangle \text{ADC}$.
4) **الاستنتاج:** يتطلب هذا السؤال أن تكون $\text{L}$ نقطة على $[\text{AC}]$ بحيث $\frac{\text{AJ}}{\text{AD}} = \frac{\text{AC}}{\text{AB}}$، وهو غير ممكن بالمعطيات الحالية. **(مشكلة في صياغة التمرين)**.

تمرين عدد 22 من الفرض السيدة بوقيلة

التمرين رقم 22

1) ابن مثلث $\text{ABC}$ بحيث: $\text{BC} = 10$ و $\text{AB} = 8$ و $\text{AC} = 7$ . ($\text{وحدة القيس هي السنتيمتر}$)

2) أ/ عين على $[\text{BC}]$ النقطتين $\text{I}$ و $\text{J}$ بحيث : $\frac{\text{BI}}{\text{IC}} = \frac{3}{2}$ و $\frac{\text{LJ}}{\text{JB}} = \frac{2}{3}$ .
ب/ أحسب $\text{CI}$ و $\text{CJ}$ ثم استنتج أن $\text{I}$ منتصف $[\text{BC}]$ .

الإصلاح:

أولاً: حساب $\text{CI}$ (استناداً إلى النسبة $\frac{\text{BI}}{\text{IC}} = \frac{3}{2}$):

1) لدينا $\text{BC} = \text{BI} + \text{IC}$ و $\text{BC} = 10$ .
2) من النسبة: $\text{BI} = \frac{3}{2} \text{IC}$ .
3) نعوض $\text{BI}$ في المعادلة: $\frac{3}{2} \text{IC} + \text{IC} = 10$ .
4) إذن: $\frac{5}{2} \text{IC} = 10$ .
5) حساب $\text{CI}$: $\text{CI} = \text{IC} = 10 \times \frac{2}{5} = 4\text{cm}$ .
6) وحساب $\text{BI}$: $\text{BI} = 10 - 4 = 6\text{cm}$ .

ثانياً: حساب $\text{CJ}$ (استناداً إلى النسبة $\frac{\text{LJ}}{\text{JB}} = \frac{2}{3}$):

7) **خطأ في نص التمرين:** النقطة $\text{L}$ غير معرفة في هذه المرحلة. **(افتراض أن النسبة هي $\frac{\text{CJ}}{\text{JB}} = \frac{2}{3}$).**
8) من النسبة (المفترضة): $\text{CJ} = \frac{2}{3} \text{JB}$ .
9) لدينا $\text{BC} = \text{CJ} + \text{JB}$ .
10) نعوض $\text{CJ}$: $\frac{2}{3} \text{JB} + \text{JB} = 10$ .
11) إذن: $\frac{5}{3} \text{JB} = 10$ .
12) حساب $\text{JB}$: $\text{JB} = 10 \times \frac{3}{5} = 6\text{cm}$ .
13) حساب $\text{CJ}$: $\text{CJ} = 10 - 6 = 4\text{cm}$ .

استنتاج أن $\text{I}$ منتصف $[\text{BC}]$ :

14) $\text{I}$ منتصف $[\text{BC}]$ تعني $\text{BI} = \text{IC} = 5$.
15) لدينا $\text{BI} = 6$ و $\text{IC} = 4$ .
16) بما أن $6 \ne 4$، إذن $\text{I}$ **ليست منتصف** $[\text{BC}]$.
3) الموازي لـ $(\text{AB})$ و المار من $\text{J}$ يقطع $(\text{AI})$ في $\text{O}$ و $(\text{AC})$ في $\text{E}$ . أحسب $\text{CE}$ و $\text{AE}$ .

الإصلاح:

لدينا $(\text{JE}) \parallel (\text{AB})$ . $\text{J} \in (\text{BC})$ ، $\text{E} \in (\text{AC})$ ، $\text{O} \in (\text{AI})$ .

حساب $\text{CE}$ و $\text{AE}$ (تطبيق نظرية طالاس في $\triangle \text{ABC}$ ):

1) في المثلث $\text{ABC}$، لدينا $\text{J} \in (\text{BC})$ و $\text{E} \in (\text{AC})$ .
2) بما أن $(\text{JE}) \parallel (\text{AB})$، نطبق نظرية طالاس: $\frac{\text{CJ}}{\text{CB}} = \frac{\text{CE}}{\text{CA}} = \frac{\text{JE}}{\text{AB}}$ .
3) نعوض القيم: $\text{CB}=10$، $\text{CA}=7$، $\text{AB}=8$، $\text{CJ}=4$ .
4) $\frac{4}{10} = \frac{\text{CE}}{7}$ .
5) حساب $\text{CE}$: $\text{CE} = 7 \times \frac{4}{10} = 7 \times \frac{2}{5} = \frac{14}{5} = 2.8\text{cm}$ .
6) حساب $\text{AE}$: $\text{AE} = \text{AC} - \text{CE} = 7 - 2.8 = 4.2\text{cm}$ .
4) الموازي لـ $(\text{AC})$ و المار من $\text{O}$ يقطع $(\text{AB})$ في $\text{F}$ و $(\text{BC})$ في $\text{K}$ .
أ) قارن بين $\frac{\text{IO}}{\text{IK}}$ و $\frac{\text{IO}}{\text{IJ}}$ ثم بين $\frac{\text{UI}}{\text{IK}} = \frac{3}{5}$ .

الإصلاح:

لدينا $(\text{OK}) \parallel (\text{AC})$ . $\text{O} \in (\text{AI})$ ، $\text{K} \in (\text{BC})$ ، $\text{F} \in (\text{AB})$ .

أولاً: مقارنة $\frac{\text{IO}}{\text{IK}}$ و $\frac{\text{IO}}{\text{IJ}}$ :

1) **حساب $\text{OI}$ و $\text{IJ}$:** في $\triangle \text{AIJ}$، $(\text{OE}) \parallel (\text{AC})$. **خطأ**.
2) **نطبق نظرية طالاس في $\triangle \text{ABC}$ مع التوازي $\text{(JE)} \parallel \text{(AB)}$:** $\text{O}$ هي نقطة تقاطع $(\text{AI})$ و $(\text{JE})$ .
3) في $\triangle \text{ABI}$، لدينا $\text{O} \in (\text{AI})$. **خطأ**.
4) في $\triangle \text{CJE}$

... (**مشكلة في الصياغة**).
5) **افتراض:** $\text{I}$ هي مركز ثقل. **خطأ**.
6) **الاستنتاج:** لا يمكن المقارنة أو الإثبات بالمعطيات الحالية. **(مشكلة في صياغة التمرين)**.
ب/ بين أن $\frac{\text{IJ}}{\text{IK}} = \frac{\text{IO}}{\text{IC}}$ ثم استنتج أن $\text{I}$ منتصف $[\text{JK}]$ .

الإصلاح:

1) **لإثبات $\frac{\text{IJ}}{\text{IK}} = \frac{\text{IO}}{\text{IC}}$ :** يجب أن يكون هناك توازي مثل $(\text{JK}) \parallel (\text{OC})$. **خطأ**.
2) **استنتاج أن $\text{I}$ منتصف $[\text{JK}]$:** يعني $\text{IJ} = \text{IK}$.
3) من السؤال 4 أ)، إذا كان $\frac{\text{IJ}}{\text{IK}} = 1$، فإن $\frac{\text{IO}}{\text{IC}} = 1$، أي $\text{IO} = \text{IC}$.
4) **حساب $\text{IO}$:** في $\triangle \text{AIJ}$، $(\text{OE}) \parallel (\text{AB})$. **خطأ**.
5) **الاستنتاج:** لا يمكن إثبات أن $\text{I}$ منتصف $[\text{JK}]$ بالمعطيات الحالية.