مثلث $ABC$ قائم في $A$ بحيث $\text{الضالع } AB = 6 \text{cm}$ و $\text{الضالع } AC = 8 \text{cm}$ و $\text{الضالع } BC = 10 \text{cm}$. $I$ منتصف $[BC]$.
معطيات أولية: $ABC$ قائم في $A$. $I$ منتصف $[BC]$.
1) $M$ و $J$ نقطتين من $[AC]$ بحيث $\frac{AM}{2} = \frac{MJ}{3} = \frac{JC}{5}$.
بما أن $M$ و $J$ نقطتان من $[AC]$، فإن $AC = AM + MJ + JC$.
نضع $\frac{AM}{2} = \frac{MJ}{3} = \frac{JC}{5} = k$. إذن:
المسافة الكلية $AC$ هي:
بما أن $\text{الضالع } AC = 8 \text{cm}$، فإن:
إذن الأبعاد هي:
مجموع المسافات: $1.6 + 2.4 + 4 = 8 \text{cm} = AC$.
تصحيح لنص السؤال: بالنظر إلى أن $\text{الضالع } JC = 4 \text{cm}$، وهي نصف $\text{الضالع } AC$ ($\frac{8}{2} = 4 \text{cm}$)، فإن **النقطة $J$ هي منتصف $[AC]$**.
إثبات أن $J$ منتصف $[AC]$:
بما أن $\text{الضالع } JC = 4 \text{cm}$، فإن $J$ هي منتصف $[AC]$ (بافتراض أن $L$ في السؤال هي خطأ مطبعي للنقطة $J$).
$I$ منتصف $[BC]$. $J$ منتصف $[AC]$.
في المثلث $ABC$، المستقيم $[IJ]$ يربط منتصفي ضلعين، إذن $(IJ)$ يوازي الضلع الثالث $[AB]$.
المستقيم الذي يربط منتصفي ضلعين في مثلث **يوازي الضلع الثالث وطوله يساوي نصف طوله**.
بما أن $\text{الضالع } AB = 6 \text{cm}$، فإن:
2) $(IC)$ يقطع $(BJ)$ في $H$. $(AH)$ يقطع $(BC)$ في $O$.
النقاط $I$ و $J$ هما منتصفا الضلعين $[BC]$ و $[AC]$ على التوالي.
بما أن $H$ هي نقطة تقاطع الموسطين $[CI]$ و $[BJ]$، فإن $H$ هي **مركز ثقل** المثلث $ABC$. .
المستقيم $(AH)$ هو مستقيم يمر برأس $A$ و **مركز ثقل** $H$ للمثلث $ABC$.
إذن $(AH)$ هو **الموسط** الثالث للمثلث $ABC$.
بما أن $(AH)$ يقطع الضلع $[BC]$ في $O$، و $(AH)$ هو الموسط المتعلق بـ $[BC]$، فإن $O$ هي **منتصف** $[BC]$.
**ملاحظة:** بما أن $I$ هي أيضاً منتصف $[BC]$ (معطى)، نستنتج أن $O$ و $I$ هما النقطة نفسها ($\text{المعادلة } O = I$).
بما أن $H$ هو **مركز ثقل** المثلث $ABC$ و $O$ هو منتصف $[BC]$، فإن $O$ تقع على **الموسط** $[AO]$.
حسب خاصية مركز الثقل، فإن $\text{المسافة } AH = 2 \cdot OH$ و $\text{المسافة } AO = 3 \cdot OH$.
نحتاج أولاً لحساب $\text{المسافة } AO$. بما أن $ABC$ قائم في $A$ و $O$ منتصف الوتر $[BC]$، فإن $[AO]$ هو الموسط المتعلق بالوتر.
خاصية المثلث القائم: طول الموسط المتعلق بالوتر يساوي نصف طول الوتر.
بما أن $\text{الضالع } BC = 10 \text{cm}$، فإن:
نستخدم العلاقة $\text{المعادلة } AO = 3 \cdot OH$ لحساب $\text{المسافة } OH$:
3) الدائرة $\mathcal{C}$ التي قطرها $[AC]$، وتقطع $[BC]$ في $K$ و $(OH)$ في $L$. $(AK) \cap (CL) = \{E\}$.
تحديد النقطة $K$: الدائرة $\mathcal{C}$ قطرها $[AC]$. $K$ نقطة تقاطع $\mathcal{C}$ و $[BC]$.
بما أن $K \in \mathcal{C}$ و $[AC]$ هو القطر، فإن المثلث $AKC$ قائم في $K$ (زاوية محيطية تحصر نصف دائرة).
إذن $(AK) \perp (KC)$. بما أن $K \in (BC)$، فإن $(AK) \perp (BC)$.
في المثلث $AEC$، $[EK]$ هو جزء من المستقيم $(AK)$، إذن $(EK) \perp (BC)$.
تحديد النقطة $O$: لدينا $O$ منتصف $[BC]$.
نقطة $O$ في المثلث $AEC$:
لدينا $(AK) \perp (BC)$ (ارتفاع صادر من $A$ في المثلث $ABC$).
المستقيم $(AK)$ هو ارتفاع صادر من $A$ في المثلث $AEC$، فقط إذا كان $(AK) \perp (EC)$ (غير صحيح).
لننظر إلى الارتفاعات للمثلث $AEC$ التي تتقاطع في $O$.
الارتفاع الأول: $\text{المستقيم } (AK)$ يمر بالرأس $A$. لدينا $(AK) \perp (BC)$. إذا كان $(BC)$ هو حامل الضلع $[EC]$، فهذا يعني أن $A, B, C$ و $E$ على استقامة واحدة (خطأ).
لنعد إلى $(AK) \perp (BC)$. $O$ تنتمي لـ $[BC]$. إذن **$(AK)$ هو ارتفاع صادر من $A$ في المثلث $AEC$** إذا كان $(AK) \perp (EC)$ (غير صحيح). يجب أن يكون $(AO)$ هو الارتفاع.
الفرضية الصحيحة: $O$ هي نقطة تقاطع الموسطات (مركز الثقل) و $O$ هي منتصف $[BC]$.
لدينا $O \in (BC)$. إذن $O$ ليست هي المركز القائم (ملتقى الارتفاعات) بشكل عام.
هناك خطأ في صياغة السؤال: السؤال يطلب إثبات أن $O$ هي المركز القائم. لكي تكون $O$ مركزاً قائماً، يجب أن تكون نقطة تقاطع ارتفاعين على الأقل.
نحن نعلم أن $O$ هي منتصف $[BC]$. الارتفاعات تتقاطع في $O$ فقط إذا كان المثلث $AEC$ قائم الزاوية في $O$.
لننظر إلى التعامد: $\text{المستقيم } (AK)$ عمودي على $(BC)$. بما أن $O \in (BC)$ و $E \in (AK)$, إذن $(EO)$ عمودي على $(AC)$ (غير صحيح).
استنتاج: السؤال خاطئ. $\text{النقطة } O$ لا يمكن أن تكون المركز القائم للمثلث $AEC$.
ب) استنتاج أن $(AC)$ و $(OE)$ متعامدان.
بافتراض أن $O$ هي المركز القائم للمثلث $AEC$ (رغم أن هذا خطأ رياضي):
المركز القائم هو نقطة تقاطع الارتفاعات.
إذا كانت $O$ هي المركز القائم للمثلث $AEC$، فإن **المستقيم $(EO)$ يجب أن يكون ارتفاعاً** صادرًا من $E$ وعمودياً على الضلع المقابل $[AC]$.
إذن، $(OE) \perp (AC)$.
لكن هذا الاستنتاج مبني على فرضية خاطئة في السؤال (أ).
الحل الصحيح بدون افتراض أن $O$ هو المركز القائم:
نحن نعلم أن $(IC) \cap (AK) = \{E\}$ (خطأ في نص التمرين: $(AK) \cap (CL) = \{E\}$). لنعتبر $(AK) \cap (CL) = \{E\}$.
لدينا $\mathcal{C}$ قطرها $[AC]$. $L \in \mathcal{C}$ و $L \in (OH)$.
بما أن $[AC]$ قطر، فإن المثلث $ALC$ قائم في $L$. إذن $(CL) \perp (AL)$.
أيضًا، $(AK) \perp (BC)$.
في المثلث $AEC$، $[CL]$ هو ارتفاع صادر من $C$ لأن $(CL) \perp (AL)$.
المستقيم $(AK)$ هو الارتفاع الصادر من $A$ في المثلث $ABC$ (غير صحيح).
بسبب الأخطاء المتعددة في التمرين 3، سنلتزم بالإجابة المباشرة للاستنتاج المطلوب (المبني على الفرضية الخاطئة):
بما أن $O$ هو المركز القائم للمثلث $AEC$ (فرضية السؤال أ)، فإن $(OE)$ هو ارتفاع صادر من $O$ (خطأ) أو الارتفاع الصادر من $E$ يمر بـ $O$.
الارتفاع الصادر من $E$ عمودي على $(AC)$.
إذن، **$(AC) \perp (OE)$** (بافتراض صحة السؤال أ).