$ABCD$ مستطيل مركزه $O$ و $I$ منتصف $ [AD] $ و $K$ نقطة تقاطع $ (AC) $ و $ (BI) $.
1) بيّن أنّ $K$ **مركز ثقل** المثلث $ABD$.
(أ) استنتج أنّ:
$$ AK = \frac{2}{3} AC $$
و
$$ KC = \frac{1}{2} AK $$
(ب) بيّن أنّ $I$ منتصف $ [DC] $.
الإصلاح المفصل للتمرين 1
1) تبيان أنّ $K$ مركز ثقل المثلث $ABD$:نعتبر المثلث $\triangle ABD$.بما أن $ABCD$ مستطيل و $O$ مركزه، فإنّ $O$ هي منتصف القطر $ [BD] $.إذن، $ (AO) $ هو الموسط الصادر من $A$ في المثلث $ABD$.لدينا $I$ منتصف $ [AD] $ (معطى).إذن، $ (BI) $ هو الموسط الصادر من $B$ في المثلث $ABD$.بما أن $K$ هي نقطة تقاطع $ (AC) $ و $ (BI) $.وبما أن $O \in (AC) $ و $ K \in (AO) $ (لأن $K$ تنتمي لـ $ (AC) $ و $ (BI) $).بما أن $K$ هي نقطة تقاطع الموسطين $ (AO) $ و $ (BI) $ للمثلث $ABD$.إذن، $K$ هي **مركز ثقل** المثلث $ABD$.(أ) استنتاج العلاقات:بما أن $K$ مركز ثقل المثلث $ABD$ و $ (AO) $ موسط.$$ AK = \frac{2}{3} AO $$وبما أن $O$ منتصف $ [AC] $ (قطري المستطيل):$$ AO = \frac{1}{2} AC $$بالتعويض:$$ AK = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} AC $$$$ AK = \frac{1}{3} AC $$*** ملاحظة: هناك خطأ محتمل في نص التمرين الأصلي. العلاقة المستنتجة هي $ AK = \frac{1}{3} AC $، وليس $ AK = \frac{2}{3} AC $. ***لحساب $KC$:$$ KC = AC - AK $$$$ KC = AC - \frac{1}{3} AC $$$$ KC = \frac{2}{3} AC $$لإيجاد العلاقة بين $KC$ و $AK$:$$ KC = 2 \times \frac{1}{3} AC $$$$ AK = \frac{1}{3} AC $$$$ KC = 2 AK $$*** ملاحظة: هناك خطأ محتمل في نص التمرين الأصلي. العلاقة المستنتجة هي $ KC = 2 AK $، وليس $ KC = \frac{1}{2} AK $. ***(ب) بيّن أنّ $I$ منتصف $ [DC] $:*** ملاحظة: $I$ منتصف $ [AD] $ هو معطى في بداية التمرين. لا يمكن أن تكون $I$ منتصف $ [DC] $ إلا إذا كان $A=C$ (مما يتناقض مع كون $ABCD$ مستطيل). نفترض أنّ السؤال به خطأ في الصياغة أو يقصد نقطة أخرى. ***
2) $ (JK) $ يقطع $ (AD) $ في $F$ و $ (AB) $ في $E$.
(أ) حدّد نسبتين متساويتين لـ $\frac{AF}{JC}$.
(ب) بيّن أنّ:
$$ \frac{AF}{DJ} = \frac{1}{2} $$
(ج) بيّن أنّ $A$ منتصف $ [DE] $.
(د) استنتج أنّ $H$ مركز ثقل المثلث $CDE$.
الإصلاح المفصل للتمرين 1 (تابع)
2) $ (JK) $ يقطع $ (AD) $ في $F$ و $ (AB) $ في $E$.*** ملاحظة: النقطة $J$ غير معرّفة في نص التمرين. سنفترض أنّ $J$ هي منتصف $ [DC] $، وهو افتراض شائع في هذا النوع من التمارين. ****** بناءً على الفرضية $J$ منتصف $ [DC] $. ***(أ) تحديد نسبتين متساويتين لـ $\frac{AF}{JC}$:نعتبر المثلثين $\triangle KAF$ و $\triangle KCJ$.بما أن $ABCD$ مستطيل، فإن $ (AD) // (BC) $ و $ (AB) // (DC) $.إذن $ (AD) $ و $ (DC) $ ليسا متوازيين. لا يمكن تطبيق طالاس مباشرة على $ KAF $ و $ K C J $.نطبق مبرهنة طالاس على المثلث $\triangle C K J$ و $ \triangle A K E $، حيث $ (DC) // (AB) $. لا يخدم لأن $ F $ ليست على $ C J $.نطبق مبرهنة طالاس على المثلث $KDC$ و $KAB$.لدينا $ (DC) // (AB) $، والمستقيمان $ (AC) $ و $ (DB) $ يتقاطعان في $O$. لا يخدم.سنعتبر المثلثين $\triangle KAF$ و $\triangle KJE$. لا يخدم.نعود إلى الفرضية $ J $ منتصف $ [DC] $. لدينا $ I $ منتصف $ [AD] $.في $\triangle ABD$, $K$ مركز ثقله، $AK=\frac{1}{3} AC$.نطبّق مبرهنة طالاس في المثلث $\triangle C A D$ و المستقيم $ (I O) $ يوازي $ (A D) $. لا يخدم.*** لا يمكن تحديد نسبتين متساويتين لـ $\frac{AF}{JC}$ بالمعطيات الحالية دون معرفة موقع $J$ و $F$ بوضوح. ***(ب) بيّن أنّ $\frac{AF}{DJ} = \frac{1}{2}$:*** لا يمكن إثبات هذه العلاقة إلا بمعطيات إضافية (مثل $F$ و $J$ هما نقاط تقسيم معينة). ***(ج) بيّن أنّ $A$ منتصف $ [DE] $:*** لا يمكن إثبات هذه العلاقة إلا بمعطيات إضافية. ***(د) استنتج أنّ $H$ مركز ثقل المثلث $CDE$:*** النقطة $H$ غير معرّفة في هذا الجزء. بالنظر إلى السؤال 3، $H$ هي نقطة تقاطع $ (DK) $ و $ (EC) $. ***لنفترض $A$ منتصف $ [DE] $ (من السؤال ج). إذن $ (CA) $ هو موسط في $\triangle CDE$.لنفترض $J$ منتصف $ [DC] $. إذن $ (EJ) $ هو موسط في $\triangle CDE$.مركز الثقل $H$ هو نقطة تقاطع الموسطين $ (CA) $ و $ (EJ) $.بما أن $H$ هي نقطة تقاطع $ (DK) $ و $ (EC) $ (من السؤال 3)، لا يمكن استنتاج أن $H$ هي مركز الثقل إلا إذا كانت $ (DK) $ و $ (EC) $ هما الموسطان.
3) عيّن $H$ نقطة تقاطع $ (DK) $ و $ (EC) $.
بيّن أنّ:
$$ H \in (AB) $$
الإصلاح المفصل للتمرين 1 (تابع)
3) تبيان أنّ $ H \in (AB) $:*** ملاحظة: هذه المسألة هي مسألة مركّبة تتطلب توازياً إضافياً أو علاقة نسبية لم تُذكر. لنفترض أنّ $J$ منتصف $ [DC] $. ***نعتبر المثلث $ D C E $. $H$ هي نقطة تقاطع $ (DK) $ و $ (EC) $.نستخدم مبرهنة مينيلاوس على المثلث $ \triangle A K D $ و المستعرض $ (H E C) $. لا يخدم.نستخدم الإسقاط. لا يخدم.*** لا يمكن إثبات هذه العلاقة مباشرة بالمعطيات الحالية. ***
تمرين عدد 2
$ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $O$ حيث $AD = 6 cm$ و $AB = 6 cm$ و $E$ مناظرة $D$ بالنسبة الى $A$.
عيّن $K$ نقطة من $ [AB] $ حيث
$$ AK = 2 $$
1) بيّن أنّ $K$ **مركز ثقل** المثلث $BED$.
الإصلاح المفصل للتمرين 2 (السؤال 1)
1) تبيان أنّ $K$ مركز ثقل المثلث $BED$:نعتبر المثلث $\triangle BED$.بما أن $E$ مناظرة $D$ بالنسبة الى $A$:فإن $A$ هي **منتصف** $ [DE] $.إذن، $ (BA) $ هو **الموسط** الصادر من $B$ في المثلث $BED$.بما أن $ABCD$ متوازي أضلاع مركزه $O$:فإن $O$ هي **منتصف** $ [BD] $.إذن، $ (EO) $ هو **الموسط** الصادر من $E$ في المثلث $BED$.مركز ثقل المثلث يقع على كل موسط ويقسمه بنسبة $1/3$ و $2/3$.بالنسبة للموسط $ (BA) $: يجب أن يتحقق $ AK = \frac{1}{3} AB $ أو $ BK = \frac{2}{3} AB $.لدينا $AB = 6 cm$ (معطى).$$ \frac{1}{3} AB = \frac{1}{3} \times 6 $$$$ \frac{1}{3} AB = 2 $$وبما أن $K$ نقطة من $ [AB] $ حيث $ AK = 2 $ (معطى).إذن، $K$ هي نقطة على الموسط $ (BA) $ تحقق $ AK = \frac{1}{3} AB $.وبما أن مركز ثقل المثلث $BED$ هو النقطة الوحيدة التي تقسم الموسط $ (BA) $ بهذه النسبة.إذن، $K$ هي **مركز ثقل** المثلث $BED$.
2) بيّن أنّ $K$ **مركز ثقل** المثلث $ACE$.
الإصلاح المفصل للتمرين 2 (السؤال 2)
2) تبيان أنّ $K$ مركز ثقل المثلث $ACE$:نعتبر المثلث $\triangle ACE$.بما أن $O$ منتصف $ [AC] $ (قطري متوازي الأضلاع):إذن $ (EO) $ هو **الموسط** الصادر من $E$ في المثلث $ACE$.بما أن $K$ هي مركز ثقل المثلث $BED$، فهي تقع على الموسط $ (EO) $.إذن، $K$ تقع على أحد موسطات المثلث $\triangle ACE$ وهو $ (EO) $.يجب أن يتحقق $ OK = \frac{1}{3} OE $ أو $ EK = \frac{2}{3} OE $.في المثلث $BED$، $K$ مركز ثقل والموسط هو $ (EO) $.إذن $ OK = \frac{1}{3} OE $ (حسب خاصية مركز الثقل).وبما أن $K$ تقع على الموسط $ (EO) $ للمثلث $\triangle ACE$ وتحقق $ OK = \frac{1}{3} OE $ (أو $ EK = \frac{2}{3} OE $).إذن، $K$ هي **مركز ثقل** المثلث $ACE$.
3) عيّن $I$ منتصف $ [DC] $ و $M$ نقطة تقاطع $ (OI) $ و $ (AB) $.
بيّن أنّ:
$$ AM = \frac{2}{3} AB $$
الإصلاح المفصل للتمرين 2 (السؤال 3)
3) تبيان أنّ $ AM = \frac{2}{3} AB $:في متوازي الأضلاع $ABCD$:لدينا $O$ منتصف $ [AC] $ و $ [BD] $.$I$ منتصف $ [DC] $ (معطى).نعتبر المثلث $\triangle ABC$. لا يخدم.نعتبر المثلث $\triangle DBC$. $O$ منتصف $ [DB] $. $I$ منتصف $ [DC] $.إذن، $ (OI) $ هو قطعة تربط منتصفي ضلعين في $\triangle DBC$.وبالتالي، $ (OI) // (BC) $ و $ OI = \frac{1}{2} BC $.بما أن $ABCD$ متوازي أضلاع، $ (BC) // (AD) $.وبما أن $ (OI) // (BC) $.إذن $ (OI) // (AD) $.نعتبر المثلث $\triangle A D J$ (حيث $J$ غير معرفة) لا يخدم.نطبق مبرهنة طالاس على $ (OI) // (AD) $ والقاطعين $ (CD) $ و $ (AC) $. لا يخدم.نعتبر المثلث $\triangle A B C$ و $M \in (AB)$. لا يخدم.نطبق مبرهنة طالاس على المثلث $\triangle A M J$ و $D I$. لا يخدم.نعتبر المثلث $\triangle A D C$. $O$ منتصف $ [AC] $. $I$ منتصف $ [DC] $. $ (OI) // (AD) $.نطبق مبرهنة طالاس على المثلث $\triangle A B J$. لا يخدم.*** لا يمكن إثبات $ AM = \frac{2}{3} AB $ بهذه الطريقة. ***
تمرين عدد 3
$ABC$ مثلث متقايس الأضلاع و $O$ مركز الدائرة $ (\zeta) $ المحيطة به.
في الرسم التالي $I$ منتصف $ [BC] $.
(الأسئلة غير مرئية بالكامل في الصورة الأصلية، لذا سيتم تركها بدون حل مفصل)