معين متعامد ومُتجانس:
إحداثيات نقطة $A$ هي $(x_A, y_A)$ حيث $x_A$ هو الفاصلة و $y_A$ هي الترتيبة.
تناظر مركزي (بالنسبة لنقطة $O$):
إذا كانت $A'$ مُناظرة $A(x_A, y_A)$ بالنسبة لـ $O(0, 0)$، فإن: $A'(-x_A, -y_A)$
تناظر محوري (بالنسبة لمحور الفواصل $(OI)$):
إذا كانت $A'$ مُناظرة $A(x_A, y_A)$ بالنسبة لـ $(OI)$، فإن: $A'(x_A, -y_A)$
تناظر محوري (بالنسبة لمحور التراتيب $(OJ)$):
إذا كانت $A'$ مُناظرة $A(x_A, y_A)$ بالنسبة لـ $(OJ)$، فإن: $A'(-x_A, y_A)$
المركز القائم (H):
هو نقطة تلاقي **ارتفاعات** المثلث. الارتفاع هو مستقيم يمر برأس المثلث وعمودي على الضلع المقابل.
المرجع:
هي نقطة تلاقي **المتوسطات** (المستقيم الذي يربط الرأس بمنتصف الضلع المقابل).
في المثلث القائم:
المركز القائم هو **رأس الزاوية القائمة**.
• لا تخلط بين الإحداثيات والتناظر. التناظر المركزي يغير الإشارتين.
• تذكر أن **الارتفاع** عمودي على الضلع المقابل، و**المتوسط** يمر بالمنتصف.
• إذا كان $(AC) \perp (BC)$، فإن المثلث $ABC$ قائم في $C$.
• لا تستخدم المسطرة والقلم للحصول على الإحداثيات، بل استخدم **الحساب**.
ليكن $(O, I, J)$ معلماً متعامداً حيث $OI = OJ = 1\text{cm}$.
1) عيّن النقاط $A(-5; 3)$ و $C(3; 0)$ و $B$ مُناظرة $A$ بالنسبة إلى محور الفواصل $(OI)$ .
أ) $(OI)$ يقطع $[AB]$ في النقطة $E$. ما هي إحداثيات $E$ بقراءة من الشكل؟
ب) إبن $F$ المسقط العمودي للنقطة $B$ على $(AC)$. و $(BF)$ يتقاطع مع $(CE)$ في النقطة $H$.
**بيّن أن $H$ هو المركز القائم للمثلث $ABC$.**
ج) استنتج أن: $(BC) \perp (AH)$
2) عيّن النقطة $D$ مُناظرة $B$ بالنسبة إلى محور التراتيب $(OJ)$ .
أ) ما هي إحداثيات $D$ بقراءة من الشكل؟
**ثم بيّن أن $K$ هو المركز القائم للمثلث $BCD$.**
ب) بيّن أن: $(AH) // (DK)$
هذا التمرين يركز على خصائص التناظر والمركز القائم في الهندسة التحليلية:
1) الإحداثيات:
2) المركز القائم:
1) إحداثيات النقاط:
بما أن $B$ مُناظرة $A(-5; 3)$ بالنسبة لمحور الفواصل $(OI)$، فإن إحداثيات $B$ هي $B(-5; -3)$.
أ) النقطة $E$ تقع على $[AB]$ وعلى $(OI)$ (محور الفواصل). إحداثيات جميع النقاط على $(OI)$ هي $(x; 0)$.
بما أن $E \in [AB]$، وهي أيضاً على $(OI)$ (محور الفواصل)، فإن $E$ هي منتصف القطعة $[AB]$، أو يجب أن نستنتج ذلك من الشكل.
إحداثيات $E$ بقراءة من الشكل هي $E(-5; 0)$.
2) إثبات أن $H$ هو المركز القائم:
أ) $(BF)$ ارتفاع في المثلث $ABC$ لأنه عمودي على $(AC)$ (بالتعريف المعطى).
ب) النقطة $E(-5; 0)$ تقع على محور الفواصل. $A(-5; 3)$ و $B(-5; -3)$ لهما نفس الفاصلة، إذن $(AB)$ عمودي على محور الفواصل $(OI)$.
وبما أن $E \in (AB)$، فإن $(AE) = (AB)$ عمودي على $(OI)$.
إحداثيات $C(3; 0)$. $(CE)$ يمر بالنقطتين $C$ و $E$.
نلاحظ أن $E(-5; 0)$ تقع على $(OI)$ و $C(3; 0)$ تقع على $(OI)$. إذن، $(CE)$ هو محور الفواصل $(OI)$.
بما أن $(AB)$ عمودي على $(OI)$، فإن $(AB)$ عمودي على $(CE)$.
إذن، **$(CE)$ هو الارتفاع** المُنزَل من $C$ على $AB$ (الضلع المقابل). (في الواقع، هو الارتفاع المُنزَل من $C$ على $AB$ لأن $E \in (AB)$). *نعتبر الضلع المقابل لـ $C$ هو $[AB]$.*
الارتفاعان $(BF)$ و $(CE)$ يتقاطعان في $H$، إذن $H$ هو **المركز القائم** للمثلث $ABC$.
1) إحداثيات النقاط والمركز القائم:
أ) $A(-5; 3)$. $B$ مُناظرة $A$ بالنسبة لـ $(OI)$، إذن $B(-5; -3)$.
النقطة $E$ هي تقاطع $[AB]$ و $(OI)$ (محور الفواصل). بما أن $A$ و $B$ لهما نفس الفاصلة $-5$، فإن $E$ لها نفس الفاصلة. بما أن $E$ على محور الفواصل، فإن ترتيبتها 0.
ب) إثبات أن $H$ هو المركز القائم للمثلث $ABC$:
ج) استنتاج أن $(BC) \perp (AH)$:
بما أن $H$ هو المركز القائم للمثلث $ABC$، فإن المستقيم الذي يمر بـ $A$ و $H$ هو الارتفاع الثالث للمثلث.
الارتفاع الذي يمر بـ $A$ يكون **عمودياً** على الضلع المقابل $[BC]$.
إذن، **$(AH) \perp (BC)$**.
2) إحداثيات $D$ والمقارنة:
أ) $D$ مُناظرة $B(-5; -3)$ بالنسبة إلى محور التراتيب $(OJ)$. التناظر بالنسبة لمحور التراتيب يغير فاصلة النقطة فقط.
ب) إثبات أن $K$ هو المركز القائم للمثلث $BCD$:
لنحسب إحداثيات $K$. النقطة $K$ مُعَرَّفة في السؤال $2$/ب بأنها مركز قائم. لنبحث عن إحداثياته عبر خاصية التعامد.
لدينا $C(3; 0)$ و $D(5; -3)$ و $B(-5; -3)$.
لاحظ أن $B$ و $D$ لهما نفس الترتيبة $-3$. إذن، $(BD)$ مستقيم أفقي موازٍ لمحور الفواصل $(OI)$، و**عمودي على محور التراتيب $(OJ)$**. (الخطأ في السؤال $2$/ب لا يطلب بيّن أن $K$ مركز قائم، بل يطلب إيجاده ثم بيان التوازي).
ب) بيّن أن $(AH) // (DK)$:
من السؤال 1/ج، لدينا **$(AH) \perp (BC)$**.
لنثبت أن $(DK) \perp (BC)$. $(DK)$ هو الارتفاع الثالث للمثلث $BCD$.
نلاحظ أن $(BD)$ عمودي على $(OJ)$. إحداثيات $K$ غير مُعطاة، ولكن حسب نص السؤال، $K$ هو المركز القائم للمثلث $BCD$.
بما أن $K$ هو المركز القائم للمثلث $BCD$، فإن $(DK)$ هو الارتفاع المُنزَل من $D$ على الضلع المقابل $[BC]$.
إذن، **$(DK) \perp (BC)$**.
وبما أن $(AH) \perp (BC)$ و $(DK) \perp (BC)$، فإن مستقيمين عموديان على نفس المستقيم هما متوازيان.
إذن، **$(AH) // (DK)$**.
3) عيّن $C$ نقطة تقاطع $(OI)$ و $(AB)$، والنقطة $D$ مُنتصف $[AI]$، والنقطة $E$ مُنتصف $[BF]$.
أ) علل لماذا **ترتيبة $C$ تساوي صفر**.
ب) ما هو **المركز القائم للمثلث $ACI$**؟ علل جوابك.
ج) ما هو **مركز الدائرة المُحيطة بالمثلث $ACI$**؟ علل جوابك.
4) المستقيمان $(IC)$ و $(BD)$ يتقاطعان في النقطة $G$.
أ) ماذا تُمثّل النقطة $G$ في المثلث $ABI$؟ علل جوابك.
ب) المستقيم $(AG)$ يقطع $[BI]$ في النقطة $E$. بيّن أن **$E$ مُنتصف $[BI]$**.
5) ليكن $\Delta$ المُتوسط العمودي لـ $[BC]$.
أ) بيّن أن: $E \in \Delta$
ب) بيّن أن: $(ED) // (AH)$
هذا التمرين يعتمد على خصائص المعين المتعامد والمراكز المميزة للمثلث:
1) الإحداثيات والخصائص الأساسية:
2) المراكز المُتميزة:
3) النقاط والمراكز:
أ) بما أن $C$ هي نقطة تقاطع المستقيم $(OI)$ (محور الفواصل) والمستقيم $(AB)$، وبما أن جميع النقاط على محور الفواصل لها ترتيبتها $0$، فإن **ترتيبة $C$ تساوي $0$**.
ب) إيجاد المركز القائم للمثلث $ACI$:
ج) إيجاد مركز الدائرة المُحيطة بالمثلث $ACI$:
إذا كان المثلث $ACI$ قائمًا في $R$، فإن مركز الدائرة المُحيطة هو **مُنتصف الوتر** المقابل للزاوية القائمة.
4) نقطة التلاقي $G$:
أ) النقطة $D$ مُنتصف $[AI]$، إذن $(BD)$ هو **مُتوسط** في المثلث $ABI$.
النقطة $E$ مُنتصف $[BF]$، إذن $(AE)$ هو **مُتوسط** في المثلث $ABF$.
المستقيمان $(IC)$ و $(BD)$ يتقاطعان في $G$. نحتاج إلى معرفة ما يُمثّل $(IC)$ في المثلث $ABI$.
إذا كانت $C$ مُنتصف $AB$ (وهذا ليس بالضرورة صحيحًا)، فسيكون $(IC)$ مُتوسطًا. لكن $D$ هو مُنتصف $[AI]$.
هذا الجزء من السؤال يتطلب أن يكون $(IC)$ و $(BD)$ متوسطين في المثلث $ABI$. لدينا $(BD)$ متوسط لأن $D$ منتصف $[AI]$. لكي تكون $G$ هي **المرجع** (مركز الثقل)، يجب أن يكون $(IC)$ متوسطًا أيضًا. $(IC)$ يربط الرأس $I$ بالنقطة $C$ على الضلع المقابل $[AB]$. لكي يكون $(IC)$ متوسطًا، يجب أن تكون $C$ **مُنتصف $[AB]$**.
إذا كانت $C$ مُنتصف $[AB]$، فإن $G$ هي **مرجع (مركز ثقل)** المثلث $ABI$ (نقطة تلاقي المتوسطات).
3) النقاط والمراكز:
أ) ترتيبة $C$ تساوي $0$:
التعليل: لأن $C$ هي نقطة تقاطع $(OI)$ (محور الفواصل)، وجميع النقاط الواقعة على محور الفواصل لها ترتيبتها تساوي $0$.
ب) المركز القائم للمثلث $ACI$:
بما أن $(OI) \perp (OJ)$، و $I$ و $C$ نقطتان على $(OI)$، فإن المثلث $ACI$ لا يمكن أن يكون قائمًا في $I$ أو $C$ إلا في حالات خاصة. ولكن $O(0, 0)$ و $I(1, 0)$ على محور الفواصل. **بافتراض أن $A$ لها فاصلة $x_A \neq 0$ وترتيبة $y_A \neq 0$.**
المركز القائم هو نقطة تلاقي الارتفاعات. في هذا المستوى، نعتمد على حالة المثلث القائم:
إذا كان $A(0, y_A)$ (على محور التراتيب)، فإن $(AO) \perp (OI)$. بما أن $C$ و $I$ على $(OI)$، فإن **$(AI) \perp (AC)$**. المثلث $AIC$ قائم في $A$.
**الجواب (النموذجي):** المركز القائم للمثلث $ACI$ هو **رأس الزاوية القائمة** للمثلث $ACI$. (يجب إثبات أنه قائم أولاً).
ج) مركز الدائرة المُحيطة بالمثلث $ACI$:
إذا كان المثلث $ACI$ قائمًا، فإن مركز الدائرة المُحيطة به هو **مُنتصف وتره** (الضلع المقابل للزاوية القائمة). (مثلاً: مُنتصف $[IC]$ إذا كان قائمًا في $A$).
4) نقطة التلاقي $G$:
أ) ماذا تُمثّل النقطة $G$ في المثلث $ABI$؟
ب) بيّن أن $E$ مُنتصف $[BI]$:
بما أن $G$ هو المرجع، فإن المستقيم الثالث $(AG)$ الذي يمر بالرأس $A$ يمر أيضًا بمنتصف الضلع المقابل $[BI]$.
وبما أن $(AG)$ يقطع $[BI]$ في النقطة $E$، فإن **$E$ هي مُنتصف $[BI]$** (بالتعريف). (وهذا يتعارض مع التعريف المعطى في السؤال 3: $E$ مُنتصف $[BF]$).
5) المُتوسط العمودي:
أ) بيّن أن $E \in \Delta$:
$\Delta$ هو المُتوسط العمودي لـ $[BC]$. جميع نقاطه مُتساوية المسافة عن $B$ و $C$. يجب إثبات أن $EB = EC$.
ب) بيّن أن $(ED) // (AH)$:
نحتاج لاستخدام نظرية في الهندسة التحليلية، أو نظرية مُنتصف ضلعين في مثلث.
$D$ مُنتصف $[AI]$. $E$ مُنتصف $[BI]$ (من السؤال $4$/ب). (باستخدام $E$ منتصف $[BI]$).
في المثلث $ABI$، بما أن $D$ منتصف $[AI]$ و $E$ منتصف $[BI]$، فإن $(DE)$ يوازي الضلع الثالث **$(AB)$** (نظرية مُنتصف ضلعين).
لدينا $(AH) \perp (BC)$ (من التمرين $4$/ج). نحن مطالبون بإثبات أن $(DE) // (AH)$.
**إذن، هناك خطأ منطقي**؛ يجب مراجعة علاقات التعامد والتوازي في سياق كامل التمرين.