تمارين الهندسة

التصحيح (1):

1. بما أن M هي مناظرة A بالنسبة إلى C، فإن C هي منتصف [AM].
2. بما أن N هي مناظرة A بالنسبة إلى B، فإن B هي منتصف [AN].
3. في المثلث AMN، لدينا B منتصف [AN] و C منتصف [AM].
4. بتطبيق مبرهنة طالس (خاصية المستقيم المنتصفين)، فإن المستقيم (BC) يوازي المستقيم (MN)، أي أن \((BC) // (MN)\).
5. بما أن المثلث ABC قائم في B، فإن المستقيم \((AB)\) عمودي على المستقيم \((BC)\)، أي \((AB) \perp (BC)\).
6. بما أن \((BC) // (MN)\) و \((AB) \perp (BC)\)، فإن المستقيم \((AB)\) عمودي أيضاً على المستقيم \((MN)\)، أي \((AB) \perp (MN)\).
7. بما أن المستقيم \((AN)\) (الذي يحتوي على A و B) عمودي على المستقيم \((MN)\)، فإن المثلث AMN قائم الزاوية في N.

التصحيح (2-أ):

1. الطريقة الأولى (باستخدام مبرهنة طالس):

   لدينا المستقيم المار من A والعمودي على (AB) هو (AP). بما أن (BC) عمودي أيضاً على (AB) (المثلث ABC قائم في B)، فإن \((AP) // (BC)\).

   في المثلث ANP، لدينا:

   • B هي منتصف [AN] (من معطيات التمرين: N مناظرة A بالنسبة إلى B).
   • المستقيم (BC) يوازي المستقيم (AP) (كما أثبتنا أعلاه).

   بتطبيق مبرهنة طالس (الخاصية العكسية للمستقيم المنتصفين): إذا مر مستقيم من منتصف أحد أضلاع مثلث وكان موازياً لضلع ثانٍ، فإنه يقطع الضلع الثالث في منتصفه.

   بما أن (BC) يمر من B منتصف [AN] ويوازي (AP)، فإنه يقطع الضلع [NP] في منتصفه. وبما أن C هي نقطة تقاطع (BC) مع (NP)، فإن C هي منتصف [NP].

2. الطريقة الثانية (باستخدام الإحداثيات):

   نضع B كأصل للمعلم \((0,0)\). بما أن المثلث ABC قائم في B:

   • نفرض \(A = (0, y_A)\) حيث \(y_A \ne 0\).
   • نفرض \(C = (x_C, 0)\) حيث \(x_C \ne 0\).

   بما أن N هي مناظرة A بالنسبة إلى B، فإن B هي منتصف [AN]. إحداثيات N هي \((0, -y_A)\).

   المستقيم (AP) يمر من A \((0, y_A)\) وعمودي على (AB) (المحور الصادي). إذن (AP) هو خط أفقي معادلته \(y = y_A\).

   المستقيم (CN) يمر من C \((x_C, 0)\) و N \((0, -y_A)\).

   ميل (CN) هو \(m_{CN} = \frac{-y_A - 0}{0 - x_C} = \frac{y_A}{x_C}\).

   معادلة (CN) هي \(y - 0 = \frac{y_A}{x_C} (x - x_C) \implies y = \frac{y_A}{x_C} x - y_A\).

   P هي نقطة تقاطع (AP) و (CN). نعوض \(y = y_A\) في معادلة (CN):

   \(y_A = \frac{y_A}{x_C} x_P - y_A\)

   \(2y_A = \frac{y_A}{x_C} x_P\)

   بما أن \(y_A \ne 0\)، نقسم على \(y_A\): \(2 = \frac{x_P}{x_C} \implies x_P = 2x_C\).

   إذن إحداثيات P هي \((2x_C, y_A)\).

   نحسب منتصف [NP]: النقطة N هي \((0, -y_A)\) والنقطة P هي \((2x_C, y_A)\).

   منتصف [NP] هو \(\left(\frac{0 + 2x_C}{2}, \frac{-y_A + y_A}{2}\right) = \left(\frac{2x_C}{2}, \frac{0}{2}\right) = (x_C, 0)\).

   إحداثيات منتصف [NP] هي نفسها إحداثيات النقطة C. إذن C هي منتصف [NP].

التصحيح (2-ب):

1. من السؤال (1)، C هي منتصف [AM] و B هي منتصف [AN].
2. من السؤال (2-أ)، C هي منتصف [NP].
3. بما أن قطري الرباعي APMN (وهما [AM] و [NP]) يتقاطعان في نفس النقطة C (منتصفهما)، فإن الرباعي APMN متوازي أضلاع.
4. من السؤال (1)، أثبتنا أن المثلث AMN قائم الزاوية في N، أي أن الزاوية \(\angle ANM = 90^\circ\).
5. بما أن APMN متوازي أضلاع ولديه زاوية قائمة (\(\angle ANM\))، فإنه مستطيل.

التصحيح (1):

1. بما أن المثلث ABC قائم في B ومتقايس الضلعين، فإن \(\angle BAC = \angle BCA = 45^\circ\) (زوايا القاعدة في مثلث قائم ومتساوي الساقين).
2. الدائرة (C) مركزها O وقطرها [AB]. هذا يعني أن O هي منتصف [AB].
3. بما أن OA و OD هما نصفا قطر في الدائرة (C)، فإن \(OA = OD\). إذن المثلث AOD هو مثلث متقايس الضلعين.
4. في المثلث AOD، لدينا \(\angle OAD = \angle BAC = 45^\circ\).
5. بما أن المثلث AOD متقايس الضلعين (\(OA = OD\))، فإن الزوايا المقابلة للضلعين المتساويين متساوية: \(\angle ODA = \angle OAD = 45^\circ\).
6. مجموع زوايا المثلث AOD هو \(180^\circ\)، إذن \(\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\).
7. بما أن \(\angle AOD = 90^\circ\)، فإن المثلث AOD قائم الزاوية في O ومتقايس الضلعين.

التصحيح (2):

1. من السؤال (1)، أثبتنا أن المثلث AOD قائم الزاوية في O، مما يعني أن المستقيم \((OD)\) عمودي على المستقيم \((AB)\)، أي \((OD) \perp (AB)\).
2. من معطيات التمرين، المثلث ABC قائم في B، مما يعني أن المستقيم \((BC)\) عمودي على المستقيم \((AB)\)، أي \((BC) \perp (AB)\).
3. بما أن كل من المستقيمين \((OD)\) و \((BC)\) عموديان على نفس المستقيم \((AB)\)، فإنهما متوازيان.
4. إذن، \((OD) // (BC)\).

التصحيح (3):

التصحيح (4):

التصحيح (1):

1. حساب AF:

   بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن \((AD) // (BC)\). وبما أن F تقع على (AD)، فإن \((AF) // (BC)\).

   نطبق مبرهنة طالس على المستقيمين المتوازيين \((AF)\) و \((BC)\) والقاطعين \((AC)\) و \((BE)\) اللذين يتقاطعان في E.

   حسب مبرهنة طالس، لدينا:

   \[\frac{EA}{EC} = \frac{EF}{EB} = \frac{AF}{BC}\]

   لدينا \(AC = 10cm\) و \(AE = 2cm\)، إذن \(EC = AC - AE = 10 - 2 = 8cm\).

   ولدينا \(BC = 8cm\) (معطى).

   نعوض بالقيم: \(\frac{AF}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

   إذن، \(AF = \frac{1}{4} \times 8 = 2cm\).

2. حساب CG:

   بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن \((AB) // (CD)\). وبما أن G تقع على (CD)، فإن \((AB) // (CG)\).

   نطبق مبرهنة طالس على المستقيمين المتوازيين \((AB)\) و \((CG)\) والقاطعين \((AG)\) و \((BG)\) اللذين يتقاطعان في E.

   حسب مبرهنة طالس، لدينا:

   \[\frac{EA}{EC} = \frac{EB}{EG} = \frac{AB}{CG}\]

   نعوض بالقيم التي نعرفها: \(\frac{2}{8} = \frac{6}{CG}\) (بما أن \(AB=6cm\) معطى).

   \(\frac{1}{4} = \frac{6}{CG}\).

   إذن، \(CG = 4 \times 6 = 24cm\).

التصحيح (2):

التصحيح (3):

التصحيح (1):

1. لدينا E منتصف [AD] (معطى).
2. (باستخدام الافتراض) المستقيم المار من E موازٍ للقاعدتين \((AB)\) و \((CD)\)، أي \((EF) // (AB)\) و \((EF) // (CD)\).
3. هذه خاصية أساسية لشبه المنحرف تستنتج مباشرة من مبرهنة طالس: المستقيم الذي يمر من منتصف أحد الضلعين غير المتوازيين في شبه منحرف ويوازي القاعدتين، يقطع الضلع الآخر (غير الموازي) في منتصفه.
4. إذن، F هي منتصف القطعة [BC].

التصحيح (2):

(بناءً على الافتراض في السؤال 1 بأن (EF) موازٍ للقاعدتين)

1. القطعة الموسطة لشبه المنحرف [EF] (التي تربط منتصفي الضلعين غير المتوازيين) طولها هو نصف مجموع طولي القاعدتين. هذه الخاصية هي نتيجة مباشرة لتطبيق مبرهنة طالس.
\[EF = \frac{AB + CD}{2}\]
2. نعوض بالقيم: \(EF = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6cm\).

التصحيح (3):

(بناءً على الافتراض في السؤال 1)

1. حساب EG:

   في المثلث ABD، لدينا E منتصف [AD] (معطى). والمستقيم (EG) هو جزء من (EF) الذي يوازي (AB) (بناءً على الافتراض).

   بتطبيق مبرهنة طالس (خاصية المستقيم المنتصفين) في \(\triangle ABD\)، بما أن E منتصف [AD] و \((EG) // (AB)\)، فإن G هي منتصف [BD].

   وبالتالي، \(EG = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 3 = 1.5cm\).

2. حساب FG:

   في المثلث BCD، لدينا F منتصف [BC] (من السؤال 1). ولدينا G منتصف [BD] (من حساب EG أعلاه).

   بتطبيق مبرهنة طالس (خاصية المستقيم المنتصفين) في \(\triangle BCD\)، بما أن F منتصف [BC] و G منتصف [BD]، فإن المستقيم \((FG)\) يوازي \((CD)\).

   وبالتالي، \(FG = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \times 9 = 4.5cm\).

3. استنتاج EG:

   للتحقق، مجموع الجزأين \(EG + FG = 1.5 + 4.5 = 6cm\)، وهذا يتوافق مع الطول الكلي لـ EF المحسوب في السؤال 2.

التصحيح (4):

(بناءً على الافتراض في السؤال 1)

بما أن شبه المنحرف ABCD قائم في A و D، فإن (AD) عمودي على القاعدتين (AB) و (CD). وبالتالي، أي مستقيم يوازي (AD) سيكون أيضاً عمودياً على القاعدتين.

1. الطريقة الأولى (باستخدام الإحداثيات):

   نضع D كأصل للمعلم \((0,0)\). بما أن ABCD قائم في D:

   • \(D = (0,0)\).
   • \(A = (0,4)\) (بما أن \(AD=4cm\) وعلى المحور الصادي).
   • \(B = (3,4)\) (بما أن \(AB=3cm\) وموازٍ للمحور السيني).
   • \(C = (9,0)\) (بما أن \(CD=9cm\) وعلى المحور السيني).

   من السؤال 1، F هي منتصف [BC]. إحداثيات F هي \(\left(\frac{3+9}{2}, \frac{4+0}{2}\right) = (6,2)\).

   المستقيم المار من F والموازي لـ (AD) هو خط عمودي يمر بالنقطة F. معادلته هي \(x = 6\).

   المستقيم (BD) يمر من D \((0,0)\) و B \((3,4)\). معادلته هي \(y = \frac{4}{3}x\).

   النقطة H هي تقاطع المستقيم \(x=6\) مع المستقيم \(y = \frac{4}{3}x\). نعوض \(x=6\):

   \(y_H = \frac{4}{3} \times 6 = 8\).

   إذن إحداثيات H هي \((6,8)\).

   لحساب طول HF: \(HF = \sqrt{(x_H - x_F)^2 + (y_H - y_F)^2} = \sqrt{(6-6)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{0^2 + 6^2} = \sqrt{36} = 6cm\).

2. الطريقة الثانية (باستخدام خصائص الأشكال الناتجة من طالس):

   نقوم بإنشاء خطوط مساعدة لربط المسألة بخصائص مبرهنة طالس بشكل غير مباشر.

   أولاً، نسقط B عمودياً على CD عند النقطة \(B'\). يصبح \(ABB'D\) مستطيلاً حيث \(DB' = AB = 3cm\) و \(BB' = AD = 4cm\).

   بالتالي، \(B'C = CD - DB' = 9 - 3 = 6cm\).

   لدينا F هي منتصف BC.

   المستقيم (FH) يوازي (AD)، وبالتالي فهو يوازي (BB') (كلاهما عمودي على CD).

   في المثلث CB'B، لدينا F منتصف BC. إذا رسمنا خطاً من F يوازي BB'، فإنه سيقطع CB' في منتصفها.

   هذا لا يعطينا H مباشرة. سنستخدم خاصية تقسيم قطعة في شبه منحرف:

   ليكن J هي النقطة على CD بحيث \((FJ) // (AD)\). (FJ) هي الخط العمودي الذي يمر بـ F.

   في المثلث CBB'، F منتصف CB. نسقط F عمودياً على CD عند J. بما أن \((FJ) // (BB')\)، فإن J هي منتصف CB' (بواسطة مبرهنة طالس).

   إذن \(CJ = JB' = \frac{1}{2} B'C = \frac{1}{2} \times 6 = 3cm\).

   هذا يعني أن J تقع على بعد 3 سم من C على CD. وبالتالي، إحداثيات J هي \((9-3, 0) = (6,0)\). (وهذا يتوافق مع طريقة الإحداثيات).

   الآن، المستقيم (FJ) هو الخط \(x=6\). النقطة H تقع على هذا الخط (لأنها على المستقيم المار من F والموازي لـ AD) وعلى المستقيم (BD).

   في هذه الحالة، H تقع على هذا الخط العمودي. ارتفاع F هو \(y_F=2\)، وارتفاع D هو \(y_D=0\).

   يمكننا أن نعتبر أن H هي نقطة على BD وأن F هي نقطة على BC، وكلاهما يقع على الخط العمودي \(x=6\).

   نستخدم تشابه المثلثات الناتج عن طالس لتحديد \(y_H\):

   في المثلث الكبير الذي يتكون من تمديد الخطين (AD) و (BC) ليتقاطعا (دع النقطة P)، سيكون لدينا \(\triangle PAB \sim \triangle PDC\).

   من هذه العلاقة، يمكن استنتاج النسب التي تسمح بحساب المسافات على الخطوط المتوازية لـ AD.

   هذه الطريقة معقدة وتتطلب إنشاءات متعددة أو نسباً من تشابه المثلثات (والتي هي نتيجة لمبرهنة طالس). الطريقة الإحداثية أكثر مباشرة في هذه الحالة.

   لذا، نجد أن \((FH)\) هو خط عمودي يقع عند \(x=6\). والنقطة H هي تقاطع هذا الخط مع \(BD\).

   يمكن التعبير عن العلاقة بشكل مباشر: H هي نقطة على المستقيم BD. إذا اعتبرنا الإسقاط العمودي على المحور الصادي (اتجاه AD)، فإن المسافة HF هي الفرق في الإحداثيات الصادية.

   نقطة H تقع على المستقيم BD. من الثابت أن \(H = (6,8)\) و \(F = (6,2)\).

   إذن \(HF = |y_H - y_F| = |8 - 2| = 6cm\).

التصحيح (5):

التصحيح (1):

1. بما أن المستقيم (DE) يوازي المستقيم (BC) ويمر من D على [AB] ويقطع (AC) في E، يمكننا تطبيق مبرهنة طالس في المثلث ABC.
2. حسب مبرهنة طالس، لدينا:
\[\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}\]
3. حساب ED:

   لدينا \(AD = 2cm\) و \(AB = 6cm\). إذن، \(\frac{AD}{AB} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

   من مبرهنة طالس: \(\frac{DE}{BC} = \frac{1}{3}\).

   بما أن \(BC = 9cm\)، فإن \(DE = \frac{1}{3} \times 9 = 3cm\).

التصحيح (2):

1. بما أن المستقيم (EF) يوازي المستقيم (AB) ويمر من E على [AC] ويقطع (BC) في F، يمكننا تطبيق مبرهنة طالس في المثلث ABC.
2. حسب مبرهنة طالس (التي تبدأ من الرأس C)، لدينا:
\[\frac{CE}{CA} = \frac{CF}{CB} = \frac{EF}{AB}\]
3. من السؤال (1)، لدينا \(\frac{AE}{AC} = \frac{1}{3}\).
4. إذن، \(\frac{CE}{CA} = 1 - \frac{AE}{AC} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).

التصحيح (3):

1. بما أن المستقيم (FG) يوازي المستقيم (AC) ويمر من F على [BC] ويقطع (AB) في G، يمكننا تطبيق مبرهنة طالس في المثلث ABC.
2. حسب مبرهنة طالس (التي تبدأ من الرأس B)، لدينا:
\[\frac{BF}{BC} = \frac{BG}{BA} = \frac{FG}{AC}\]
3. من السؤال (2)، لدينا \(\frac{CF}{CB} = \frac{2}{3}\).
4. إذن، \(\frac{BF}{BC} = 1 - \frac{CF}{CB} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).

التصحيح (4):

1. من السؤال (1)، لدينا \(\frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}\).
2. من السؤال (3)، لدينا \(\frac{BG}{BA} = \frac{1}{3}\).
3. بما أن \(\frac{AD}{AB} = \frac{BG}{BA} = \frac{1}{3}\)، وبما أن المقام AB مشترك، فإن \(AD = BG\).

التصحيح (5):

1. بما أن المستقيم (GH) يوازي المستقيم (BC) ويمر من G على [AB] ويقطع (AC) في H، يمكننا تطبيق مبرهنة طالس في المثلث ABC.
2. حسب مبرهنة طالس (التي تبدأ من الرأس A)، لدينا:
\[\frac{AG}{AB} = \frac{AH}{AC} = \frac{GH}{BC}\]
3. من السؤال (4)، لدينا \(AD = BG\). وبما أن \(AD = 2cm\) و \(AB = 6cm\)، فإن \(BG = 2cm\).
4. نحسب \(AG = AB - BG = 6 - 2 = 4cm\).
5. إذن، \(\frac{AG}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
6. من مبرهنة طالس، \(\frac{AH}{AC} = \frac{2}{3}\)، وبالتالي \(AH = \frac{2}{3} AC\).
7. من السؤال (1)، لدينا \(AE = \frac{1}{3} AC\).
8. طول القطعة EC هو \(EC = AC - AE = AC - \frac{1}{3} AC = \frac{2}{3} AC\).
9. نحسب طول EH: \(EH = AH - AE = \frac{2}{3} AC - \frac{1}{3} AC = \frac{1}{3} AC\).
10. نحسب طول HC: \(HC = AC - AH = AC - \frac{2}{3} AC = \frac{1}{3} AC\).
11. بما أن \(EH = HC = \frac{1}{3} AC\)، فإن H هي منتصف القطعة [EC].

التصحيح (6):

1. من السؤال (5)، لدينا \(\frac{GH}{BC} = \frac{AG}{AB} = \frac{2}{3}\).
2. بما أن \(BC = 9cm\)، فإن \(GH = \frac{2}{3} \times 9 = 6cm\).

التصحيح (7):

1. بيّن أن \((EK)//(CD)\):

   لإثبات هذا التوازي باستخدام مبرهنة طالس، نحتاج إلى إثبات تناسب أطوال معينة في مثلث ما. في هذه الحالة، يمكن استخدام مبرهنة طالس العكسية. دعنا نرى ما إذا كان \(\frac{CH}{CE} = \frac{CK}{CD}\) أو ما شابه ذلك.

   نحن نعلم أن H هي منتصف EC (من السؤال 5). إذن \(\frac{CH}{CE} = \frac{1}{2}\).

   لإثبات التوازي \((EK)//(CD)\) (في المثلث CDH أو BCD)، نحتاج لإيجاد نسبة \(\frac{CK}{CD}\) أو \(\frac{CE}{CH}\).

   نحن نعلم أن \((DE) // (BC)\) (من السؤال 1).

   باستخدام مبرهنة طالس على المستقيمين \((DH)\) و \((BC)\) اللذين يتقاطعان في K، والمستقيمين المتوازيين \((DE)\) و \((BK)\) (لا، \((BK)\) ليست هي نفسها \((BC)\)).

   لننظر إلى المثلث DAK والنقطة E على AC، والنقطة H على EC، والنقطة K على BC.

   هذا النوع من المسائل، لإثبات التوازي بين EK و CD، غالباً ما يتم حله باستخدام مبرهنة مينالاوس (Menelaus' Theorem) أو المتجهات، والتي توفر حلاً أكثر مباشرة من تطبيق مبرهنة طالس بشكل متسلسل ومعقد.

   بشكل عام، إذا كان D و H و K نقاطاً على أضلاع مثلث، فإن النسب تكون معقدة.

   طريقة عامة (مستخلصة من طالس):

   لدينا D على AB و E على AC. و \((DE) // (BC)\).

   ولدينا H منتصف EC. و K على BC.

   يمكننا استخدام إحداثيات مبسطة: A=(0,0). B=(6,0). C=(x_C, y_C).

   D=(2,0). E = (1/3)C = (x_C/3, y_C/3).

   H هي منتصف EC. H = (E+C)/2 = ( (x_C/3 + x_C)/2, (y_C/3 + y_C)/2 ) = ( (4x_C/3)/2, (4y_C/3)/2 ) = (2x_C/3, 2y_C/3).

   المستقيم (DH) يمر بـ D(2,0) و H(2x_C/3, 2y_C/3).

   المستقيم (BC) يمر بـ B(6,0) و C(x_C, y_C).

   هذه الطريقة تؤدي إلى حسابات معقدة. بدون تحديد إضافي، لا يمكن إعطاء حل مباشر باستخدام تطبيق واحد واضح لمبرهنة طالس.

2. حساب FK:

   بما أن K هي نقطة تقاطع (DH) مع (BC)، يجب تحديد موقع K أولاً.

   من السؤال (3)، لدينا \(\frac{BF}{BC} = \frac{1}{3}\)، وبالتالي \(BF = \frac{1}{3} BC = \frac{1}{3} \times 9 = 3cm\).

   إذن \(F\) تبعد 3 سم عن \(B\) على \([BC]\).

   بدون تحديد موقع K (والذي يعتمد على إثبات التوازي أو العلاقات الأخرى في السؤال)، لا يمكن حساب FK.