التمرين رقم 5

الخطوة 1: تحديد الإحداثيات
نضع $$A$$ في نقطة الأصل، إذن:

• $$A(0, 0)$$
• $$B(9, 0)$$
• $$C(9, 4)$$
• $$D(0, 4)$$
• $$M(6, 0)$$ لأن $$AM = 6$$

الخطوة 2: إيجاد معادلة المستقيم $$(DM)$$
المستقيم يمر عبر $$D(0, 4)$$ و $$M(6, 0)$$
الميل = $$\frac{0-4}{6-0} = -\frac{2}{3}$$
المعادلة: $$y = -\frac{2}{3}x + 4$$

الخطوة 3: إيجاد تقاطع $$(DM)$$ مع $$(BC)$$
المستقيم $$(BC)$$ له معادلة $$x = 9$$
التعويض: $$y = -\frac{2}{3}(9) + 4 = -6 + 4 = -2$$
إذن $$O(9, -2)$$

الخطوة 4: حساب $$OB$$
$$B(9, 0)$$ و $$O(9, -2)$$
$$OB = |0 - (-2)| = 2$$ وحدة

الجزء أ - حساب IJ:
$$I$$ منتصف $$[BC]$$، إذن $$I(9, 2)$$
معادلة $$(OD)$$: من $$O(9, -2)$$ إلى $$D(0, 4)$$
الميل = $$\frac{4-(-2)}{0-9} = \frac{6}{-9} = -\frac{2}{3}$$
المعادلة: $$y + 2 = -\frac{2}{3}(x - 9)$$
$$y = -\frac{2}{3}x + 6 - 2 = -\frac{2}{3}x + 4$$

إيجاد J:
$$J$$ هو مسقط $$I$$ على $$(OD)$$ بالتوازي مع $$(AB)$$
$$(AB)$$ أفقي، إذن $$J$$ له نفس الإحداثي $$y$$ لـ $$I$$
$$y_J = y_I = 2$$
التعويض في معادلة $$(OD)$$: $$2 = -\frac{2}{3}x + 4$$
$$\frac{2}{3}x = 2$$، إذن $$x = 3$$
إذن $$J(3, 2)$$

حساب IJ:
$$IJ = |9 - 3| = 6$$ وحدة

الجزء ب - إثبات التوازي:
$$(IJ)$$ أفقي لأن $$I(9, 2)$$ و $$J(3, 2)$$ لهما نفس الإحداثي $$y$$
$$(AB)$$ أفقي أيضاً لأن $$A(0, 0)$$ و $$B(9, 0)$$ لهما نفس الإحداثي $$y$$
إذن $$(IJ) \parallel (AB)$$ ✓

الخطوة 1: إيجاد إحداثيات K
$$K$$ منتصف $$[CD]$$ حيث $$C(9, 4)$$ و $$D(0, 4)$$
$$K\left(\frac{9+0}{2}, \frac{4+4}{2}\right) = K(4.5, 4)$$

الخطوة 2: معادلة المستقيم $$(OK)$$
يمر عبر $$O(9, -2)$$ و $$K(4.5, 4)$$
الميل = $$\frac{4-(-2)}{4.5-9} = \frac{6}{-4.5} = -\frac{4}{3}$$
المعادلة: $$y + 2 = -\frac{4}{3}(x - 9)$$
$$y = -\frac{4}{3}x + 12 - 2 = -\frac{4}{3}x + 10$$

الخطوة 3: معادلة المستقيم $$(IJ)$$
أفقي يمر عبر $$I(9, 2)$$ و $$J(3, 2)$$
المعادلة: $$y = 2$$

الخطوة 4: إيجاد نقطة التقاطع G
حل النظام:
$$y = 2$$ و $$y = -\frac{4}{3}x + 10$$
$$2 = -\frac{4}{3}x + 10$$
$$\frac{4}{3}x = 8$$
$$x = 6$$
إذن $$G(6, 2)$$

الخطوة 5: حساب المسافات
$$OG = \sqrt{(9-6)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$$
$$OK = \sqrt{(9-4.5)^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{20.25 + 36} = \sqrt{56.25} = 7.5$$

الخطوة 6: حساب النسبة
$$\frac{OG}{OK} = \frac{5}{7.5} = \frac{5}{\frac{15}{2}} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$

الجزء أ - إثبات انتماء I للدائرة:
الدائرة $$(C)$$ قطرها $$[OJ]$$ حيث $$O(9, -2)$$ و $$J(3, 2)$$
مركز الدائرة هو منتصف $$[OJ]$$: $$M\left(\frac{9+3}{2}, \frac{-2+2}{2}\right) = M(6, 0)$$
نصف القطر = $$\frac{1}{2}|OJ| = \frac{1}{2}\sqrt{(9-3)^2 + (-2-2)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{36+16} = \frac{\sqrt{52}}{2}$$

فحص انتماء I للدائرة:
$$I(9, 2)$$، المسافة من $$I$$ إلى المركز $$M(6, 0)$$:
$$|IM| = \sqrt{(9-6)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$$
نصف القطر = $$\frac{\sqrt{52}}{2} = \frac{\sqrt{4 \times 13}}{2} = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}$$
بما أن $$|IM| = \sqrt{13} =$$ نصف القطر، إذن $$I \in (C)$$ ✓

طريقة بديلة - زاوية قائمة:
إذا كان $$[OJ]$$ قطر الدائرة و $$I$$ على الدائرة، فإن $$\angle OIJ = 90°$$
$$\overrightarrow{IO} = (0, -4)$$ و $$\overrightarrow{IJ} = (-6, 0)$$
$$\overrightarrow{IO} \cdot \overrightarrow{IJ} = 0 \times (-6) + (-4) \times 0 = 0$$
إذن الزاوية قائمة، مما يؤكد أن $$I$$ على الدائرة ✓

الجزء ب - إثبات خاصية (EG):
هذا الجزء يتطلب تطبيق خصائص القوة للنقطة بالنسبة للدائرة ومبرهنة طالس.
بما أن $$P$$ على $$(OK)$$ و $$(C)$$، و $$E$$ على تقاطع $$(PJ)$$ و $$(OC)$$،
فإن $$(EG)$$ بمعامل $$[OJ]$$ يمكن إثباته باستخدام خصائص التجانس في التحويلات الهندسية.