تمارين في الهندسة: المثلث القائم

دفواراتي
متوازي الأضلاع والمركز القائم
تمرين 1

ABCD متوازي أضلاع و I المسقط العمودي لـ A على (BD) و K المسقط العمودي لـ C على (BD).

  1. (AI) و (CK) يتقاطعان في H. ماذا تمثل النقطة H بالنسبة للمثلث ADC؟
  2. بيّن أنّ المثلث HDC قائم الزاوية.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

الخطوة الأولى: ارسم الشكل واستخدم خصائص متوازي الأضلاع

  • في متوازي الأضلاع ABCD: الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية
  • المسقط العمودي I لـ A على (BD) يعني أن (AI) ⊥ (BD)
  • المسقط العمودي K لـ C على (BD) يعني أن (CK) ⊥ (BD)

تلميح: فكر في خصائص الارتفاعات في المثلثات وعلاقتها بالمركز القائم

📝 الطريقة خطوة بخطوة

1) تحديد طبيعة النقطة H:

• (AI) هو ارتفاع في المثلث ABD لأنه عمودي على (BD)

• (CK) هو ارتفاع في المثلث CBD لأنه عمودي على (BD)

• النقطة H هي تقاطع ارتفاعين في المثلث ADC

• الخلاصة: H هي المركز القائم للمثلث ADC

2) إثبات أن المثلث HDC قائم الزاوية:

• بما أن H مركز قائم للمثلث ADC، فإن (DH) هو الارتفاع الثالث

• إذن (DH) ⊥ (AC)

• في متوازي الأضلاع، (AC) ∥ (DC) (خاصية متوازي الأضلاع)

• إذا كان (DH) ⊥ (AC) و (AC) ∥ (DC)، فإن (DH) ⊥ (DC)

• الخلاصة: المثلث HDC قائم في D

✅ الحل الكامل

1) تحديد طبيعة النقطة H:

• في متوازي الأضلاع ABCD، لدينا (AB) ∥ (DC) و (AD) ∥ (BC)

• (AI) هو ارتفاع في المثلث ABD لأنه عمودي على (BD)

• (CK) هو ارتفاع في المثلث CBD لأنه عمودي على (BD)

• النقطة H هي نقطة تقاطع ارتفاعين في المثلث ADC

• النتيجة: H هي المركز القائم للمثلث ADC

2) إثبات أن المثلث HDC قائم الزاوية:

• بما أن H مركز قائم للمثلث ADC، فإن (DH) هو الارتفاع الثالث

• إذن (DH) ⊥ (AC)

• في متوازي الأضلاع، القطران متوازيان مع الأضلاع المقابلة

• بالتالي (AC) ∥ (DC)

• إذا كان (DH) ⊥ (AC) و (AC) ∥ (DC)، فإن (DH) ⊥ (DC)

• النتيجة: المثلث HDC قائم الزاوية في D

ملاحظة: هذا التمرين يعتمد على فهم عميق لخصائص متوازي الأضلاع والمركز القائم للمثلث
الدائرة والمركز القائم
تمرين 2

(C) دائرة مركزها O. و Δ مستقيم لا يقطع الدائرة (C). المستقيم المار من O والعمودي على Δ يقطع الدائرة في A و B و يقطع Δ في P. لتكن E نقطة من Δ. المستقيم (BE) يقطع الدائرة في نقطة أخرى K. المستقيم (AK) يقطع Δ في C.

  1. ماذا تمثل النقطة A بالنسبة للمثلث BEC؟
  2. المستقيمان (AE) و (BC) يتقاطعان في L. بيّن أنّ L تنتمي إلى الدائرة (C).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

نقاط مهمة:

  • [AB] هو قطر الدائرة (C) لأن O هو المركز والمستقيم يمر به
  • الزاوية المحيطية التي تحصر قطراً تكون قائمة
  • فكر في خصائص الارتفاعات في المثلث BEC

📝 الطريقة

1) تحديد طبيعة النقطة A:

• [AB] قطر الدائرة (C)

• الزاوية AKB قائمة لأنها تحصر قطراً

• إذن (AK) ⊥ (BK)

• (AB) ⊥ (CE) لأن (AB) عمودي على Δ و E ∈ Δ

• A هي نقطة تقاطع ارتفاعين في المثلث BEC

• الخلاصة: A هي المركز القائم للمثلث BEC

2) إثبات أن L تنتمي للدائرة (C):

• A مركز قائم للمثلث BEC ⇒ (AE) هو الارتفاع الثالث

• إذن (AE) ⊥ (BC)

• الزاوية ALB قائمة لأن (AE) ⊥ (BC)

• النقاط التي ترى القطر [AB] بزاوية قائمة تنتمي للدائرة

• الخلاصة: L ∈ (C)

✅ الحل الكامل

1) النقطة A هي المركز القائم للمثلث BEC:

• بما أن [AB] قطر الدائرة (C)، فإن الزاوية AKB قائمة (زاوية محيطية تحصر قطراً)

• إذن (AK) ⊥ (BK) أو (AK) ⊥ (BE)

• المستقيم (AB) عمودي على Δ لأنه مرسوم من O عمودياً على Δ

• إذن (AB) ⊥ (CE)

• النقطة A هي نقطة تقاطع ارتفاعين في المثلث BEC ((AB) و (AK))

• النتيجة: A هي المركز القائم للمثلث BEC

2) إثبات أن L تنتمي للدائرة (C):

• بما أن A مركز قائم للمثلث BEC، فإن (AE) هو الارتفاع الثالث

• إذن (AE) ⊥ (BC)

• الزاوية ALB قائمة لأن (AE) ⊥ (BC)

• حسب خاصية الدائرة، كل نقطة ترى القطر [AB] بزاوية قائمة تنتمي للدائرة

• النتيجة: النقطة L تنتمي للدائرة (C)

مستقيم أويلر
تمرين 3

(C) هي دائرة مركزها O و ثلاث نقاط B, C, A من هذه الدائرة بحيث \(AC \neq AB\). و H المركز القائم للمثلث ABC. المستقيم (OA) يقطع (C) في نقطة ثانية D.

  1. بيّن أن \( (CH) \parallel (BD) \).
  2. بيّن أنّ الرباعي BHCD متوازي أضلاع.
  3. المستقيمان (HD) و (BC) يتقاطعان في I. بيّن أنّ \( OI = \frac{1}{2} AH \).
  4. النقطة G هي مركز ثقل المثلث ABC. بيّن أنّ O, H, G على استقامة واحدة و أنّ \( HG = \frac{2}{3} HO \).
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

نقاط مهمة:

  • استخدم خصائص المركز القائم H
  • تذكر أن [AD] قطر الدائرة
  • فكر في خصائص متوازي الأضلاع
  • لمسألة مستقيم أويلر، تذكر أن مركز الثقل يقسم المسافة بين المركز القائم ومركز الدائرة المحيطة بنسبة 2:1

📝 الطريقة

1) إثبات أن \( (CH) \parallel (BD) \):

• (CH) هو ارتفاع في المثلث ABC ⇒ (CH) ⊥ (AB)

• [AD] قطر ⇒ المثلث ABD قائم في B ⇒ (BD) ⊥ (AB)

• الخلاصة: (CH) ∥ (BD) لأنهما عموديان على نفس المستقيم (AB)

2) إثبات أن BHCD متوازي أضلاع:

• (BH) هو ارتفاع آخر ⇒ (BH) ⊥ (AC)

• [AD] قطر ⇒ المثلث ACD قائم في C ⇒ (CD) ⊥ (AC)

• إذن (BH) ∥ (CD)

• لدينا (CH) ∥ (BD) و (BH) ∥ (CD)

• الخلاصة: BHCD متوازي أضلاع

3) إثبات أن \( OI = \frac{1}{2} AH \):

• BHCD متوازي أضلاع ⇒ I منتصف [HD] و [BC]

• في المثلث AHD، O منتصف [AD] و I منتصف [HD]

• حسب مبرهنة المنتصفين: (OI) ∥ (AH) و \( OI = \frac{1}{2} AH \)

✅ الحل الكامل

1) إثبات أن \( (CH) \parallel (BD) \):

• H مركز قائم ⇒ (CH) هو ارتفاع في المثلث ABC ⇒ (CH) ⊥ (AB)

• [AD] قطر الدائرة ⇒ المثلث ABD قائم في B (زاوية محيطية تحصر قطراً) ⇒ (BD) ⊥ (AB)

• النتيجة: (CH) ∥ (BD) لأنهما عموديان على نفس المستقيم (AB)

2) إثبات أن BHCD متوازي أضلاع:

• H مركز قائم ⇒ (BH) هو ارتفاع آخر ⇒ (BH) ⊥ (AC)

• [AD] قطر ⇒ المثلث ACD قائم في C ⇒ (CD) ⊥ (AC)

• إذن (BH) ∥ (CD)

• لدينا (CH) ∥ (BD) و (BH) ∥ (CD)

• النتيجة: الرباعي BHCD متوازي أضلاع (كل ضلعين متقابلين متوازيان)

3) إثبات أن \( OI = \frac{1}{2} AH \):

• BHCD متوازي أضلاع ⇒ قطريه [HD] و [BC] يتقاطعان في منتصفهما I

• في المثلث AHD:

  • O منتصف [AD] (لأن O مركز الدائرة و [AD] قطر)
  • I منتصف [HD] (من خصائص متوازي الأضلاع)

• حسب مبرهنة المنتصفين في المثلث: القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين توازي الضلع الثالث وطولها نصف طوله

• النتيجة: (OI) ∥ (AH) و \( OI = \frac{1}{2} AH \)

4) إثبات علاقة أويلر:

• G مركز ثقل المثلث ABC ⇒ يقع على الموسطات ويقسمها بنسبة 2:1

• من العلاقة السابقة، OI هو خط المنتصفين في المثلث AHD

• باستخدام خصائص التحاكي والتناسب، نستنتج أن O, G, H على استقامة واحدة

• النتيجة: \( HG = \frac{2}{3} HO \) (خاصية مستقيم أويلر)