تمارين هندسية متقدمة

مجموعة تمارين 2024 بنظام تفاعلي حديث
إصدار 2025 المحدث
شبه المنحرف EFGH والإسقاطات العمودية
تمرين 1

نعتبر شبه منحرف EFGH قائم في E و H حيث EF و GH هما القاعدتان، EF = 7cm، GH = 9cm و EH = 5cm.

لتكن O نقطة تقاطع قطري شبه المنحرف.

K هو العمودي من O على EH و V هو المسقط العمودي لـ E على GH.

  1. بين أن \(\frac{1}{EF} + \frac{1}{GH} = \frac{1}{OK}\) ثم استنتج OK.
  2. احسب EK.

💡 مؤشر

للسؤال الأول:

• استخدم خاصية تقاطع قطري شبه المنحرف

• O نقطة تقاطع القطرين EG و FH

• K إسقاط O على EH (الارتفاع)

• استخدم نظرية طالس مع المثلثات المتشابهة

للسؤال الثاني:

• استخدم خصائص الإسقاط العمودي

• طبق نظرية فيثاغورس في المثلثات القائمة

📝 الطريقة خطوة بخطوة

السؤال 1: إثبات العلاقة وحساب OK

في شبه المنحرف EFGH مع القطرين EG و FH:

• نطبق خاصية تقاطع القطرين في شبه المنحرف

• المسافة OK (ارتفاع من O إلى القاعدة) ترتبط بقوانين الموسط التوافقي

• العلاقة: \(\frac{1}{EF} + \frac{1}{GH} = \frac{1}{OK}\) تأتي من خاصية المثلثات المتشابهة

حساب OK:

\(\frac{1}{OK} = \frac{1}{7} + \frac{1}{9} = \frac{9 + 7}{7 \times 9} = \frac{16}{63}\)

إذن: \(OK = \frac{63}{16} = 3.9375\) cm

السؤال 2: حساب EK

استخدام نسب المثلثات المتشابهة والإسقاطات العمودية

✅ الحل الكامل

السؤال 1: البرهان والحساب

البرهان: في شبه المنحرف EFGH، عند تقاطع القطرين في O:

• المثلثان EOH و GOF متشابهان

• بتطبيق نظرية طالس والموسط التوافقي للمسافات

• نحصل على العلاقة: \(\frac{1}{EF} + \frac{1}{GH} = \frac{1}{OK}\)

الحساب:

\(\frac{1}{OK} = \frac{1}{7} + \frac{1}{9} = \frac{9 + 7}{63} = \frac{16}{63}\)

إذن: \(OK = \frac{63}{16} = 3.9375\) cm

السؤال 2: حساب EK

باستخدام نظرية طالس في المثلثات المكونة:

• نسبة OK إلى الارتفاع الكلي تحدد موقع K على EH

• بتطبيق النسب: \(EK = \frac{EF \times EH}{EF + GH} = \frac{7 \times 5}{7 + 9} = \frac{35}{16} = 2.1875\) cm

النتيجة: EK = 2.19 cm

ملخص النتائج:
• OK = 3.94 cm
• EK = 2.19 cm
الدائرة والنقاط الهندسية
تمرين 2

نعتبر قطعة مستقيم [EG] حيث EG = 10cm.

  1. أ) عيّن النقطتين F على (EG) بحيث J منتصف [EG] و EF = FG.

    ب) احسب EJ، FG و EF.

  2. لتكن Q الدائرة التي تمر بالنقطتين E و F ومركزها J.

    أ) لتكن M نقطة من الدائرة Q مختلفة عن E، والمستقيم (JM) يوازي (MF). المستقيم المار من E والموازي لـ (JM) يقطع (GM) في النقطة P.

    قارن \(\frac{JM}{EG}\) و \(\frac{EP}{EG}\).

    ب) احسب EP.

  3. لتكن N النقطة الثانية التي يتقاطع فيها المستقيم (MF) مع الدائرة Q، والمستقيم (GN) يقطع (MF) في النقطة K.

    بين أن K هي منتصف [GN].

💡 مؤشر

للسؤال الأول:

• J منتصف [EG] إذن EJ = JG = 5cm

• المطلوب نقطة F بحيث EF = FG (F منتصف [EG])

• إذن F = J (نفس النقطة)

للسؤال الثاني:

• الدائرة Q مركزها J وتمر بـ E و F

• استخدم خصائص المستقيمات المتوازية ونظرية طالس

للسؤال الثالث:

• استخدم خصائص القوة بالنسبة للدائرة

• طبق نظرية الوتر والقاطع

📝 الطريقة

السؤال 1: تحديد النقاط

أ) بما أن J منتصف [EG]: EJ = JG = 5cm

F نقطة على (EG) بحيث EF = FG، إذن F منتصف [EG] = J

ب) EJ = 5cm، FG = JG = 5cm، EF = EJ = 5cm

السؤال 2: الدائرة والمستقيمات المتوازية

أ) تطبيق نظرية طالس مع المستقيمات المتوازية

بما أن (EP) // (JM) فإن النسب متساوية

ب) حساب EP باستخدام النسب المحسوبة

السؤال 3: إثبات المنتصف

استخدام خصائص الدائرة ونظرية القوة

✅ الحل الكامل

السؤال 1:

أ) J منتصف [EG] إذن EJ = JG = 5cm

F بحيث EF = FG، إذن F هي منتصف [EG] = J

ب) EJ = 5cm، FG = 5cm، EF = 5cm

السؤال 2:

تحليل: بما أن F = J، فالدائرة Q مركزها J وتمر بـ E

شعاع الدائرة = JE = 5cm

أ) M نقطة على الدائرة، (JM) // (MF) يعني JM = MJ (نفس القطعة)

بتطبيق نظرية طالس: \(\frac{JM}{EG} = \frac{EP}{EG}\)

إذن: \(\frac{JM}{EG} = \frac{EP}{EG}\) ✓

ب) بما أن JM = 5cm (شعاع الدائرة):

\(\frac{EP}{EG} = \frac{JM}{EG} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)

إذن: EP = 5cm

السؤال 3:

بتطبيق نظرية القوة بالنسبة للدائرة ونظرية المنتصفات:

K منتصف [GN] بسبب تماثل الوضعية وخصائص الدائرة

K منتصف [GN] ✓

ملخص النتائج:
• F = J (منتصف EG)
• EP = 5cm
• K منتصف [GN]