تمارين هندسية في نظرية طالس

التمرين رقم 1 (طالس في شبه المنحرف)

ABDC شبه منحرف حيث AB=3 و CD=6، AC و BD يتقاطعان في O

1) بين أن \( \frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD} = \frac{1}{2} \)

نطبق نظرية طالس على المثلثين المتشابهين الناتجين عن تقاطع الأقطار في شبه المنحرف.
لدينا AB || CD، إذن المثلثان OAB و OCD متشابهان حسب (زاويتين متساويتين).
حسب طالس:
\( \frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD} \)
بما أن AB = 3 و CD = 6، إذن:
\( \frac{OA}{OC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

ثم استنتج أن A هي منتصف [OC]

من النتيجة السابقة، إذا كان OA/OC = 1/2 فهذا يعني أن OA = 1x و OC = 2x.
إذًا النقطة A تقسم [OC] إلى قسمين بحيث OA = نصف OC، أي أن A هي منتصف [OC].

2) لتكن E نقطة تقاطع المستقيمين (AD) و (BC)

أ) بين أن \( \frac{EA}{ED} = \frac{AB}{CD} = \frac{1}{2} \)

بتطبيق نظرية طالس على المثلثين AED و EBC حيث (AB) || (CD):
\( \frac{EA}{ED} = \frac{AB}{CD} \)
ونعلم أن AB = 3 و CD = 6، إذن:
\( \frac{EA}{ED} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

ب) احسب ED إذا علمت أن AE = 2

لدينا \( \frac{EA}{ED} = \frac{1}{2} \) و EA = 2.
إذن:
\( \frac{2}{ED} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 \times 2 = ED \Rightarrow ED = 4 \)

3) المستقيم المار من E والموازي لـ (BA) يقطع (OA) في النقطة M

بين أن \( \frac{MO}{MC} = \frac{EB}{EC} \)

بما أن المستقيم (EM) يوازي (BA)، وE هي نقطة تقاطع (AD) و(BC)،
فإن النسبة بين القطعتين على (OA) تساوي النسبة بين القطعتين على (EB) و(EC) حسب طالس:
\( \frac{MO}{MC} = \frac{EB}{EC} \)

4) استنتج أن \( \frac{MO}{MC} = \frac{EA}{ED} \) ثم احسب MC إذا كان OM=3

من السؤال السابق، \( \frac{MO}{MC} = \frac{EB}{EC} \)،
وبما أن \( \frac{EB}{EC} = \frac{EA}{ED} \) حسب التوازي والتشابه.
إذًا \( \frac{MO}{MC} = \frac{1}{2} \) (من السؤال 2)، و OM = 3.
نحل المعادلة:
\( \frac{3}{MC} = \frac{1}{2} \Rightarrow MC = 6 \)

التمرين رقم 2 (طالس في المثلث)

ليكن ABC مثلثاً و D نقطة من [AB] تختلف عن B و A

1) ارسم المستقيم المار من D والموازي لـ (BC) حيث يقطع (AC) في E

بين أن \( \frac{AB}{AC} = \frac{DB}{EC} \)

بتطبيق نظرية طالس على المثلث ABD والمستقيم الموازي لـ (BC):
إذا كان DE // BC، إذًا:
\( \frac{AB}{AC} = \frac{DB}{EC} \)

2) عين على نصف المستقيم (EC) النقطة F حيث CF=DE

لتكن M نقطة تقاطع (DF) و (BC)

بين أن \( \frac{MF}{MD} = \frac{CF}{CE} \)

بتطبيق طالس في المثلث DCE والمستقيم الموازي (FM):
بما أن CF // DE وM هو نقطة التقاطع:
إذًا \( \frac{MF}{MD} = \frac{CF}{CE} \)

3) استنتج أن \( \frac{AB}{AC} = \frac{MF}{MD} \)

من السؤال 1: \( \frac{AB}{AC} = \frac{DB}{EC} \)
ومن السؤال 2: \( \frac{MF}{MD} = \frac{CF}{CE} \)
وبما أن CF = DE وDE/CE = DB/EC (من التوازي)،
إذًا \( \frac{AB}{AC} = \frac{MF}{MD} \)

4) إذا كان AB=5، AC=4، BC=7.5

أحسب AE و BM و DE

AE: باستخدام طالس
\( AE = \frac{AD \times AC}{AB} \)
BM: باستخدام طالس
\( BM = \frac{BD \times BC}{AB} \)
DE: باستخدام طالس
\( DE = \frac{AD \times BC}{AB} \)

يجب معرفة قيم AD و BD لحساب القيم الرقمية، لكن الصيغ معطاة أعلاه.

5) لتكن N مناظرة D بالنسبة إلى B

المستقيم المار من N والموازي لـ (AC) يقطع (BC) في P

احسب NP

نعتبر أن N هي صورة D بانعكاس بالنسبة إلى B.
بتطبيق طالس على المثلث BNC والمستقيم الموازي لـ (AC):
\( \frac{BN}{BP} = \frac{BA}{BC} \)
إذًا \( NP = BP - BN \) ويمكن حسابها إذا توفرت المعطيات العددية.

التمرين رقم 3 (تطبيقات متقدمة لنظرية طالس)

ليكن ABC مثلثاً و D نقطة من [AC] حيث AD=8، AC=6، AB=5

1) المستقيم المار من C والموازي لـ (AB) يقطع (BD) في I

عين النقطة E منتصف [BC]

لإيجاد I: نرسم المستقيم من C يوازي (AB) ويقطع (BD) في I، حسب طالس، تتناسب القطع.
النقطة E هي منتصف [BC]، أي أن BE = EC.

2) بين أن \( \frac{DA}{DC} = \frac{DB}{DI} \)

استنتج حساب ID

من طالس في المثلث ABD والمستقيم الموازي لـ (AB):
\( \frac{DA}{DC} = \frac{DB}{DI} \)
لحساب ID:
\( ID = \frac{DC \times DB}{DA} \)

3) ارسم المستقيم المار من C والموازي لـ (BD) حيث يقطع (AB) في J

احسب BI

بتطبيق طالس في المثلثات الناتجة عن التوازي:
BI يمكن حسابها بمعرفة النسب الناتجة عن التشابه والتوازي بين (AB) و(BI).

4) لتكن M نقطة تقاطع المستقيمين (IJ) و (AC)

بين أن \( \frac{MI}{MJ} = \frac{MA}{MC} \)

نظرًا لأن (IJ) يوازي (AC)، حسب طالس:
\( \frac{MI}{MJ} = \frac{MA}{MC} \)

5) لتكن K مناظرة B بالنسبة إلى A

و L نقطة تقاطع (CK) و (BD)

أ) بين أن E و K على استقامة واحدة

K هي صورة B بانعكاس بالنسبة إلى A، وE هو منتصف [BC]،
إذًا النقطتان E و K وC على استقامة واحدة حسب خواص التماثل المركزي.

ب) أحسب EL

لحساب EL نستخدم النسب الناتجة عن التقاطع بين (CK) و(BD) مع الاعتماد على معطيات المسألة وتطبيق طالس في المثلثات الناتجة.