تمارين في الهندسة: المنتصفات والمتوازيات
نعتبر \(I, J, K\) منتصفات أضلاع المثلث \(ABC\) على التوالي: \([AB]\), \([AC]\) و \([BC]\).
- أنشئ الشكل. ارسم رباعي الأضلاع \(AIKJ\).
- ما هي طبيعة هذا الرباعي؟ علل إجابتك.
- كيف يجب اختيار المثلث \(ABC\) لكي يكون \(AIKJ\) مستطيلاً؟ معيناً؟ مربعاً؟
💡 مؤشر
استخدم "نظرية المنتصفات" (أو مبرهنة المستقيم المار بمنتصفي ضلعين في مثلث) لتحديد العلاقة بين أضلاع الرباعي \(AIKJ\) وأضلاع المثلث \(ABC\).
📝 الطريقة
أ. في المثلث \(ABC\)، \(I\) منتصف \([AB]\) و \(J\) منتصف
\([AC]\). ماذا تستنتج عن المستقيم \((IJ)\) وعلاقته بـ \((BC)\)؟
ب. في المثلث \(ABC\)، \(I\) منتصف \([AB]\) و \(K\) منتصف \([BC]\).
ماذا تستنتج عن المستقيم \((IK)\) وعلاقته بـ \((AC)\)؟
ج. قارن بين \((IK)\) و \((AJ)\).
د. بما أن لديك زوجين من الأضلاع المتقابلة المتوازية، ما هي طبيعة
الرباعي \(AIKJ\)؟
✅ الحل الكامل
ب. طبيعة الرباعي AIKJ:
في المثلث \(ABC\)، بما أن \(I\) منتصف \([AB]\) و \(K\) منتصف
\([BC]\)، فإن حسب نظرية المنتصفات، \((IK) // (AC)\) و \(IK =
\frac{1}{2} AC\). بما أن \(J\) هي منتصف \([AC]\)، فإن \(AJ =
\frac{1}{2} AC\). إذن، \((IK) // (AJ)\) و \(IK = AJ\).
بما أن الرباعي \(AIKJ\) له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان، فإنه
متوازي أضلاع.
ج. شروط خاصة:
- لكي يكون \(AIKJ\) مستطيلاً، يجب أن تكون له
زاوية قائمة، مثلاً \(\angle IAJ = 90^\circ\). هذا يعني أن المثلث
\(ABC\) يجب أن يكون قائماً في A.
- لكي يكون \(AIKJ\) معيناً، يجب أن يكون له ضلعان
متجاوران متقايسان، مثلاً \(AI = AJ\). هذا يعني \(\frac{1}{2} AB =
\frac{1}{2} AC\)، أي \(AB = AC\). يجب أن يكون المثلث \(ABC\) متساوي
الساقين في A.
- لكي يكون مربعاً، يجب أن يكون مستطيلاً ومعيناً
في نفس الوقت، أي أن المثلث \(ABC\) يجب أن يكون قائماً
ومتساوي الساقين في A.
في الشكل، \(A\) هي منتصف القطعة \([OB]\)، و \((AC) // (BD)\) و \((CE) // (DF)\).
أثبت أن \((AE) // (BF)\) و أن \(BF = 2 \times AE\).
💡 مؤشر
استخدم مبرهنة طالس مرتين. ابدأ بالمثلث \(OBD\) ثم المثلث \(ODF\) لإيجاد علاقة بين النسب \(\frac{OA}{OB}\), \(\frac{OC}{OD}\) و \(\frac{OE}{OF}\).
📝 الطريقة
1. في المثلث \(OBD\)، بما أن \((AC) // (BD)\)، طبّق مبرهنة طالس.
ماذا تستنتج عن النسبة \(\frac{OA}{OB}\)؟
2. في المثلث \(ODF\)، بما أن \((CE) // (DF)\)، طبّق مبرهنة طالس.
ماذا تستنتج عن النسبة \(\frac{OC}{OD}\)؟
3. اربط بين النسبتين السابقتين لتجد علاقة بين \(\frac{OA}{OB}\) و
\(\frac{OE}{OF}\).
4. الآن، في المثلث \(OBF\)، بما أن لديك علاقة بين النسب على
الأضلاع، استخدم مبرهنة طالس العكسية للاستنتاج بشأن \((AE)\) و
\((BF)\).
✅ الحل الكامل
في المثلث \(OBD\)، بما أن \((AC) // (BD)\)، فإن حسب مبرهنة طالس:
\(\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}\).
في المثلث \(ODF\)، بما أن \((CE) // (DF)\)، فإن حسب مبرهنة طالس:
\(\frac{OC}{OD} = \frac{OE}{OF}\).
من هاتين العلاقتين، نستنتج أن \(\frac{OA}{OB} = \frac{OE}{OF}\).
لدينا \(A\) منتصف \([OB]\)، إذن \(\frac{OA}{OB} = \frac{1}{2}\).
وبالتالي \(\frac{OE}{OF} = \frac{1}{2}\).
الآن، في المثلث \(OBF\)، النقاط \(O, A, B\) و \(O, E, F\) على
استقامة واحدة وبنفس الترتيب، وبما أن \(\frac{OA}{OB} =
\frac{OE}{OF} = \frac{1}{2}\)، فحسب مبرهنة طالس العكسية، نستنتج
أن \((AE) // (BF)\).
وحسب مبرهنة طالس المباشرة في المثلث \(OBF\)، لدينا
\(\frac{AE}{BF} = \frac{OA}{OB} = \frac{1}{2}\)، وهو ما يعني أن \(BF
= 2 \times AE\).
دائرتان لهما نفس المركز \(O\). نعلم أن \(OB = 2 \times OA\).
- أثبت أن المستقيمين \((AC)\) و \((BD)\) متوازيان.
- علماً أن \(AC = 7\) سم، احسب \(BD\).
✅ الحل الكامل
أ. في المثلث \(OBD\)، لدينا النقاط \(O,A,B\) و \(O,C,D\) على
استقامة واحدة وبنفس الترتيب. بما أن \(A,C\) على الدائرة الصغرى،
فإن \(OA=OC\). وبما أن \(B,D\) على الدائرة الكبرى، فإن \(OB=OD\).
لدينا \(\frac{OA}{OB} = \frac{OA}{2 \times OA} = \frac{1}{2}\) و
\(\frac{OC}{OD} = \frac{OA}{OB} = \frac{1}{2}\).
بما أن \(\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}\)، فحسب مبرهنة طالس
العكسية، \((AC) // (BD)\).
ب. حسب مبرهنة طالس المباشرة، \(\frac{AC}{BD} = \frac{OA}{OB} =
\frac{1}{2}\).
إذن \(BD = 2 \times AC = 2 \times 7 = 14\) سم.
💡 مؤشر
هذا التمرين هو تطبيق مباشر لمبرهنة طالس. انظر إلى المثلث \(OBD\) والمستقيم \((AC)\).
📝 الطريقة
1. أثبت أن النسب \(\frac{OA}{OB}\) و \(\frac{OC}{OD}\) متساوية.
استخدم حقيقة أن النقاط على نفس الدائرة تبعد نفس المسافة عن المركز.
2. استخدم مبرهنة طالس العكسية لإثبات التوازي.
3. استخدم مبرهنة طالس المباشرة لحساب الطول \(BD\).
قطرا متوازي الأضلاع \(ABCD\) يتقاطعان في \(O\). نعتبر \(M\) منتصف القطعة \([AB]\). المستقيم \((OM)\) يقطع \([DC]\) في \(N\).
- أثبت أن المستقيم \((OM)\) يوازي المستقيم \((BC)\).
- أثبت أن \(N\) هي منتصف \([DC]\).
💡 مؤشر
تذكر خصائص متوازي الأضلاع: أقطاره تتقاطع في منتصفها. استخدم نظرية المنتصفات في المثلثات المناسبة.
📝 الطريقة
أ. انظر إلى المثلث \(ABC\). ما هي طبيعة النقطتين \(O\) و \(M\)
بالنسبة لأضلاعه؟ طبّق نظرية المنتصفات.
ب. انظر إلى المثلث \(ADC\). تعلم أن \(O\) منتصف \([AC]\). لقد
أثبتت للتو أن \((OM)\) أو \((ON)\) يوازي \((BC)\)، وبما أن \((BC)
// (AD)\)، فإن \((ON) // (AD)\). ماذا يمكنك أن تستنتج الآن عن
النقطة \(N\)؟
✅ الحل الكامل
أ. في متوازي الأضلاع \(ABCD\)، الأقطار تتقاطع في منتصفها، إذن
\(O\) هي منتصف \([AC]\). في المثلث \(ABC\)، \(M\) هي منتصف
\([AB]\) (معطى) و \(O\) هي منتصف \([AC]\). حسب نظرية المنتصفات،
فإن \((OM) // (BC)\).
ب. في المثلث \(ADC\)، \(O\) هي منتصف \([AC]\). بما أن \((BC) //
(AD)\) (خاصية متوازي الأضلاع) و \((OM) // (BC)\) (من السؤال أ)،
فإن \((ON) // (AD)\).
إذن، في المثلث \(ADC\)، المستقيم المار من منتصف الضلع \([AC]\)
(النقطة O) ويوازي الضلع \((AD)\) يقطع الضلع الثالث \([DC]\) في
منتصفه. وبالتالي، \(N\) هي منتصف \([DC]\).
الرباعي \(TRAP\) هو شبه منحرف قاعدتاه \([TR]\) و \([PA]\). نعتبر \(I\) منتصف الضلع \([TP]\) و \(K\) منتصف القطر \([TA]\).
- ماذا يمكن القول عن المستقيمين \((IK)\) و \((TR)\)؟
- المستقيم \((IK)\) يقطع \([PR]\) في \(L\) و \([RA]\) في \(J\). ماذا يمكن القول عن النقطتين \(L\) و \(J\)؟
💡 مؤشر
انظر إلى المثلث \(TPA\) للعثور على علاقة أولى. ثم استخدم خصائص التوازي في شبه المنحرف لتوسيع استنتاجاتك.
📝 الطريقة
أ. في المثلث \(TPA\)، \(I\) منتصف \([TP]\) و \(K\) منتصف
\([TA]\). طبّق نظرية المنتصفات. ماذا تستنتج عن \((IK)\) وعلاقته بـ
\((PA)\)؟ بما أن \((PA) // (TR)\)، ماذا يمكنك أن تقول عن \((IK)\)
و \((TR)\)؟
ب. انظر إلى المثلث \(TPR\). تعلم أن \(I\) منتصف \([TP]\) وأن
\((IL) // (TR)\). ماذا تستنتج عن \(L\)؟
كرر نفس المنطق في المثلث \(PAR\) مع النقطة \(J\).
✅ الحل الكامل
أ. في المثلث \(TPA\)، \(I\) منتصف \([TP]\) و \(K\) منتصف
\([TA]\). حسب نظرية المنتصفات، فإن \((IK) // (PA)\).
بما أن \(TRAP\) شبه منحرف قاعدتاه \([TR]\) و \([PA]\)، فإن \((TR)
// (PA)\).
إذن، بما أن \((IK) // (PA)\) و \((PA) // (TR)\)، فإن المستقيمين
\((IK)\) و \((TR)\) متوازيان.
ب. في المثلث \(TPR\)، \(I\) هي منتصف \([TP]\). والمستقيم \((IK)\)
(أو \((IL)\)) يوازي \((TR)\). إذن المستقيم المار بمنتصف ضلع ويوازي
ضلعاً ثانياً يقطع الضلع الثالث في منتصفه. وبالتالي \(L\)
هي منتصف \([PR]\).
بنفس الطريقة، في المثلث \(PAR\)، \(K\) هي منتصف \([TA]\) والمستقيم
\((KJ)\) يوازي \((PA)\). وبالتالي \(J\) هي منتصف \([RA]\).
في الشكل، \(d\) هو الموسط العمودي للقطعة \([AH]\). \(d\) يقطع \([AB]\) في \(E\) و \([AC]\) في \(F\). نعتبر \(K\) منتصف \([AH]\). لدينا \(AH=3\) سم و \(BC=5\) سم. الارتفاع من A عمودي على (BC).
- أثبت أن \(E\) و \(F\) هما منتصفا القطعتين \([AB]\) و \([AC]\).
- احسب \(AK\) و \(EF\).
- تحقق من أن: \(\text{مساحة}(ABC) = 4 \times \text{مساحة}(AEF)\).
💡 مؤشر
أولاً، أثبت أن \((EF)\) يوازي \((BC)\). ثم استخدم مبرهنة طالس في المثلث \(ABH\) أو \(ABC\). بالنسبة للمساحات، تذكر العلاقة بين مساحة مثلث ومساحة مثلث مصغر منه.
📝 الطريقة
أ. بما أن \((AH)\) هو ارتفاع، فهو عمودي على \((BC)\). وبما أن
\(d\) هو الموسط العمودي لـ \([AH]\)، فهو عمودي على \((AH)\). ماذا
تستنتج عن العلاقة بين \(d\) (أي \((EF)\)) و \((BC)\)؟
الآن في المثلث \(ABC\)، المستقيم \((EF)\) يوازي \((BC)\) ويمر بـ
\(K\) منتصف \([AH]\). طبّق مبرهنة طالس في المثلث \(ABH\) مع
المستقيم \((EK)\) لإثبات أن \(E\) هي منتصف \([AB]\). كرر للمثلث
\(ACH\).
ب. الحساب مباشر من المعطيات ونتائج السؤال أ.
ج. استخدم صيغة مساحة المثلث \(\frac{1}{2} \times \text{قاعدة}
\times \text{ارتفاع}\). الارتفاع في المثلث \(AEF\) هو \([AK]\).
✅ الحل الكامل
أ. لدينا \((AH) \perp (BC)\) (ارتفاع) و \((EF) \perp (AH)\) (موسط
عمودي). إذن، \((EF) // (BC)\).
في المثلث \(ABH\)، المستقيم \((EK)\) يوازي \((BH)\). حسب مبرهنة
طالس: \(\frac{AE}{AB} = \frac{AK}{AH}\). بما أن \(K\) منتصف
\([AH]\)، فإن \(\frac{AK}{AH} = \frac{1}{2}\). إذن \(\frac{AE}{AB}
= \frac{1}{2}\)، مما يعني أن \(E\) هي منتصف \([AB]\).
بنفس الطريقة في المثلث \(ACH\)، نثبت أن \(F\) هي منتصف
\([AC]\).
ب. حساب الأطوال:
\(AK = \frac{AH}{2} = \frac{3}{2} = 1.5\) سم.
بما أن \(E,F\) منتصفات، حسب نظرية المنتصفات في المثلث \(ABC\)، فإن
\(EF = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\) سم.
ج. التحقق من المساحات:
\(\text{مساحة}(ABC) = \frac{BC \times AH}{2} = \frac{5 \times
3}{2} = 7.5\) سم\(^2\).
\(\text{مساحة}(AEF) = \frac{EF \times AK}{2} = \frac{2.5 \times
1.5}{2} = \frac{3.75}{2} = 1.875\) سم\(^2\).
نتحقق الآن: \(4 \times \text{مساحة}(AEF) = 4 \times 1.875 = 7.5\)
سم\(^2\).
إذن، العلاقة صحيحة: \(\text{مساحة}(ABC) = 4 \times
\text{مساحة}(AEF)\).