ABDC شبه منحرف حيث \( (AB) // (CD) \)، \( CD = 6 \) و \( AB = 3 \). القاطعان \( (AC) \) و \( (BD) \) يتقاطعان في \( O \).
1) بين أن \( \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} = \frac{1}{2} \). استنتج أن \( A \) منتصف \( [OC] \).
2) لتكن \( E \) نقطة تقاطع \( (BC) \) و \( (AD) \). بين أن \( \frac{EA}{ED} = \frac{1}{2} \). احسب \( ED \) إذا علمت أن \( AE = 2 \).
3) المستقيم المار من \( E \) والموازي لـ \( (BD) \) يقطع \( (OC) \) في النقطة \( M \). بين أن \( \frac{OM}{OC} = \frac{EA}{ED} \). (ملاحظة: هناك خطأ في نص التمرين الأصلي، تم تصحيحه هنا).
للسؤال 1: بما أن \( (AB) // (CD) \)، يمكنك تطبيق نظرية طالس في المثلثين OAB و OCD (شكل الفراشة).
للسؤال 2: بما أن \( (AB) // (CD) \)، يمكنك تطبيق نظرية طالس في المثلثين EAB و EDC.
للسؤال 3: بما أن \( (EM) // (DB) \)، يمكنك تطبيق نظرية طالس في المثلث CDB.
1) في المثلث OCD، لدينا \(A \in (OC)\) و \(B \in (OD)\) و \((AB)//(CD)\). طبق نظرية طالس لكتابة النسب. ثم عوض بالقيم المعطاة. إذا كانت \(OA/OC = 1/2\)، فهذا يعني أن \(OC = 2 \times OA\)، فهل A منتصف [OC]؟ انتبه للسؤال.
2) في المثلث EDC، لدينا \(A \in (ED)\) و \(B \in (EC)\) و \((AB)//(CD)\). طبق نظرية طالس. استخدم النسبة الناتجة لحساب ED.
3) في المثلث ODC، لدينا \(M \in (OC)\) و \(E \in (DC)\). المستقيم المار من E والموازي لـ(BD) لا يقطع (OA) بل (OC). بتصحيح السؤال، نطبق طالس في المثلث ODC مع المستقيم الموازي (EM) لـ(DB).
1) بما أن \( (AB) // (CD) \)، بتطبيق نظرية طالس في المثلث OCD نحصل على: \( \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} \). بالتعويض نجد \( \frac{AB}{CD} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \). إذن \( \frac{OA}{OC} = \frac{1}{2} \). هذا يعني أن \( OC = 2 \times OA \). بما أن \( O, A, C \) على استقامة واحدة، فإن A هي منتصف [OC].
2) بما أن \( (AB) // (CD) \)، بتطبيق طالس في المثلث EDC نحصل على: \( \frac{EA}{ED} = \frac{EB}{EC} = \frac{AB}{CD} = \frac{1}{2} \).
لحساب ED: \( \frac{EA}{ED} = \frac{1}{2} \implies \frac{2}{ED} = \frac{1}{2} \implies ED = 4 \).
3) بتصحيح السؤال: في المثلث ODC، المستقيم المار من E والموازي لـ(DB) يقطع (OC) في M. إذن (EM) // (DB). بتطبيق طالس: \( \frac{OM}{OD} = \frac{OE}{OC} \neq \frac{EA}{ED} \). هناك خطأ في نص التمرين الأصلي يصعب تصحيحه بدون رسم. النتيجة المطلوبة غير قابلة للإثبات بالمعطيات.
ليكن \( ABC \) مثلثاً و \( D \) نقطة من \( [AB] \). المستقيم المار من \( D \) والموازي لـ \( (BC) \) يقطع \( (AC) \) في \( E \).
1) لتكن \( F \) نقطة على نصف المستقيم \( [EC) \) بحيث \( F \notin [EC] \) و \( CF = DB \). بين أن \( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \).
2) لتكن \( M \) نقطة تقاطع \( (DF) \) و \( (BC) \). بين أن \( \frac{MC}{MB} = \frac{CF}{DB} \). استنتج أن \( M \) منتصف \( [BC] \).
3) إذا كان \( AB = 5, AC = 4, BC = 7.5, AD = 2 \)، احسب \( AE, DE, BM \).
4) لتكن \( N \) مناظرة \( D \) بالنسبة إلى \( B \). المستقيم المار من \( N \) والموازي لـ \( (AC) \) يقطع \( (BC) \) في \( P \). احسب \( NP \).
للسؤال 1: التوازي \( (DE) // (BC) \) في المثلث ABC يسمح بتطبيق طالس مباشرة.
للسؤال 2: التوازي \( (DE) // (BM) \) يسمح بتطبيق طالس في المثلث FDM (شكل الفراشة).
للسؤال 3: استخدم النسب التي وجدتها في الأسئلة السابقة للقيام بالحسابات.
للسؤال 4: بما أن N مناظرة D، فإن B هي منتصف [DN]. التوازي \( (NP) // (AC) \) يسمح بتطبيق طالس في المثلث BCN.
1) في المثلث ABC، طبق طالس مع \( (DE) // (BC) \).
2) في المثلث FDM، لدينا \( C \in (FM) \) و \( E \in (FD) \) و \( (EC) // (DM) \). طبق طالس. بما أن \( CF=DB \) من المعطيات، فإن النسبة تساوي 1، إذن M منتصف [BC].
3) استخدم \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \) للتعويض والحساب. BM هو نصف BC.
4) في المثلث BCN، لدينا \( A \in (BN) \) و \( P \in (BC) \) و \( (AP) // (NC) \). طبق طالس.
1) في المثلث ABC، لدينا \(D \in [AB], E \in [AC]\) و \((DE)//(BC)\). حسب طالس: \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \). بالقلب نحصل على \( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \).
2) بما أن \(E \in (AC)\) و \(D \in (AB)\) و \((DE)//(BC)\)، فإن \((DE)//(BM)\). في المثلث FDM، لدينا \(C \in (FM), B \in (DM)\) و \((CB)//(DE)\). حسب طالس: \( \frac{FC}{FD} = \frac{FB}{FM} = \frac{CB}{DE} \). هناك خطأ في نص التمرين. الحل الصحيح: في المثلث FBC، لدينا \(D \in (FB), E \in (FC)\) و \((DE)//(BC)\). إذن \( \frac{FD}{FB} = \frac{FE}{FC} = \frac{DE}{BC} \).
3) \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \implies \frac{2}{5} = \frac{AE}{4} \implies AE = \frac{8}{5} = 1.6 \).
\( \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \implies \frac{2}{5} = \frac{DE}{7.5} \implies DE = \frac{15}{5} = 3 \).
بما أن M منتصف [BC] (حسب السؤال 2 المصحح)، فإن \( BM = \frac{BC}{2} = \frac{7.5}{2} = 3.75 \).
4) في المثلث BCN، لدينا \(P \in (BC)\) و \(A \in (BN)\) و \((AP)//(NC)\). بتطبيق طالس، نحصل على \( \frac{BA}{BN} = \frac{BP}{BC} = \frac{AP}{NC} \). لا يمكن حساب NP بالمعطيات.
\( ABC \) مثلث حيث \( AB = 5, AC = 6, BC = 8 \). \( D \) نقطة من \( [AB] \) حيث \( AD = 2 \).
1) المستقيم المار من D والموازي لـ(BC) يقطع (AC) في E. بيّن أن E منتصف [AC].
2) أرسم المستقيم المار من C والموازي لـ(AB) يقطع الموسط (BE) في J. احسب BJ.
3) لتكن \( M \) نقطة تقاطع المستقيمين \( (AJ) \) و \( (BC) \). بين أن \( M \) منتصف \( [BC] \).
4) تعتبر النقطة \( K \) مناظرة \( B \) بالنسبة إلى \( A \). و \( L \) نقطة تقاطع \( (CK) \) و \( (BE) \). احسب \( EL \).
للسؤال 1: طبق طالس في المثلث ABC لإيجاد AE وقارنه بـ AC/2.
للسؤال 2: استخدم التوازي \( (CJ) // (AB) \) لتطبيق طالس في المثلث ABE.
للسؤال 3: M هي نقطة تقاطع موسطين. ما هي هذه النقطة؟
للسؤال 4: A منتصف [KB]. استخدم طالس في المثلث KBC مع المستقيم الموازي (AL).
1) احسب AE باستخدام \( \frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} \). إذا كان \( AE=3 \)، فإن E منتصف [AC].
2) في المثلث ABE، لدينا \( (CJ) // (AB) \). طبق طالس (شكل الفراشة) لإيجاد النسبة \( \frac{BJ}{BE} = \frac{CJ}{AE} \).
3) في المثلث ABC، (BE) هو موسط. بيّن أن (AJ) هو موسط أيضا.
4) في المثلث KBC، A منتصف [KB] و E منتصف [AC]. (AE) هو مستقيم المنتصفين، إذن (AE)//(KC). استخدم هذا التوازي لتطبيق طالس.
1) بتطبيق طالس في المثلث ABC: \( \frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} \implies \frac{AE}{6} = \frac{2}{5} \implies AE = \frac{12}{5} = 2.4 \). هذا لا يعني أن E منتصف [AC]. هناك خطأ في نص التمرين.
2) بافتراض أن E منتصف [AC] (كما يفترض السؤال)، فإن (BE) موسط. لدينا \( (CJ) // (AB) \). في المثلث ABE و JCE، بتطبيق طالس: \( \frac{JC}{AB} = \frac{JE}{EB} = \frac{CE}{AE} = 1 \). إذن \( JE=EB \), وبالتالي \( BJ = 2 \times BE \).
3) في المثلث ABC، (BE) موسط. وبما أن ABJC متوازي أضلاع (لأن (CJ)//(AB) و (AJ)//(BC)) فإن (AJ) يمر من منتصف [BC]. إذن M منتصف [BC]. (AM) هو الموسط الثاني. تقاطع الموسطين هو مركز الثقل.
4) في المثلث KBC، A منتصف [KB] و M منتصف [BC] (من السؤال 3). إذن (AM) مستقيم المنتصفين، وعليه \( (AM) // (KC) \). بما أن L على (KC)، فإن \( (AM) // (KL) \). في المثلث ABM، بتطبيق طالس مع (KL)//(AM) نحصل على \( \frac{BL}{BM} = \frac{BK}{BA} = 2 \). لا يمكن حساب EL.