تمرين تطبيقي على مبرهنة طالس

تمرين شامل من الكتاب المدرسي

🔸 نص التمرين

ليكن ABC مثلثاً حيث:

  • $AB = 8$ سم
  • $AC = 4$ سم
  • $BC = 6$ سم

نقطة $M$ على القطعة $[AB]$ حيث $AM = 3$ سم.

المستقيم المار من $M$ والموازي للمستقيم $(BC)$ يقطع المستقيم $(AC)$ في النقطة $N$.

A B C M N 3 سم 5 سم

السؤال الأول: احسب طول القطعة AN

باستخدام مبرهنة طالس، احسب طول القطعة $AN$.

🔹 الحل التفصيلي:
الخطوة 1: تحديد المعطيات
  • $(MN) \parallel (BC)$
  • $AM = 3$ سم
  • $AB = 8$ سم
  • $AC = 4$ سم
الخطوة 2: تطبيق مبرهنة طالس
بما أن $(MN) \parallel (BC)$، فإن:
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$$
الخطوة 3: التعويض بالقيم المعلومة $$\frac{3}{8} = \frac{AN}{4}$$
الخطوة 4: حل المعادلة $$AN = \frac{3 \times 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5 \text{ سم}$$
النتيجة: طول القطعة $AN = 1.5$ سم

السؤال الثاني: احسب طول القطعة MN

باستخدام مبرهنة طالس، احسب طول القطعة $MN$.

🔹 الحل التفصيلي:
الخطوة 1: تطبيق مبرهنة طالس للضلع الثالث
بما أن $(MN) \parallel (BC)$، فإن:
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$$
الخطوة 2: نعلم أن $\frac{AM}{AB} = \frac{3}{8}$
وبالتالي: $$\frac{MN}{BC} = \frac{3}{8}$$
الخطوة 3: التعويض بقيمة $BC = 6$ سم $$\frac{MN}{6} = \frac{3}{8}$$
الخطوة 4: حل المعادلة $$MN = \frac{3 \times 6}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} = 2.25 \text{ سم}$$
النتيجة: طول القطعة $MN = 2.25$ سم

السؤال الثالث: تحقق من صحة النتائج

تحقق من أن النسب $\frac{AM}{AB}$ و $\frac{AN}{AC}$ و $\frac{MN}{BC}$ متساوية.

🔹 التحقق من النتائج:
حساب النسبة الأولى: $$\frac{AM}{AB} = \frac{3}{8} = 0.375$$
حساب النسبة الثانية: $$\frac{AN}{AC} = \frac{1.5}{4} = \frac{3}{8} = 0.375$$
حساب النسبة الثالثة: $$\frac{MN}{BC} = \frac{2.25}{6} = \frac{9/4}{6} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8} = 0.375$$
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} = \frac{3}{8}$$
الاستنتاج: النتائج صحيحة ومتطابقة مع مبرهنة طالس ✓

السؤال الرابع: احسب النسبة بين مساحتي المثلثين AMN و ABC

احسب النسبة $\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}$ حيث $S$ تمثل المساحة.

🔹 الحل التفصيلي:
قاعدة مهمة: عندما يكون لدينا مثلثان متشابهان بنسبة تشابه $$k$$، فإن نسبة مساحتيهما تساوي $$k^2$$.
تحديد نسبة التشابه:
المثلثان $AMN$ و $ABC$ متشابهان، ونسبة التشابه هي: $$k = \frac{AM}{AB} = \frac{3}{8}$$
حساب نسبة المساحتين: $$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{3}{8}\right)^2 = \frac{9}{64}$$
التحويل إلى عدد عشري: $$\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{9}{64} = 0.140625$$
النتيجة: نسبة مساحة المثلث $AMN$ إلى مساحة المثلث $ABC$ تساوي $\frac{9}{64}$ أو حوالي $14.06\%$