تمارين مبرهنة طالس

التمرين رقم 1

ABCD متوازي أضلاع بحيث AB=10cm و CB=6cm و AC=8cm و I منتصف [AB]. و E النقطة من [AC] بحيث AE=2cm و M مناظرة B بالنسبة إلى (AC). المستقيم (BE) يقطع (AD) في F و (CD) في G.

تحقق أن المثلث ABC قائم الزاوية في C.
أحسب AF و CG.
بيّن أن $EB^2 = EF \times EG$.
لتكن H مناظرة A بالنسبة إلى E. بيّن أن (MH) يوازي (AC). (ملاحظة: تم تصحيح السؤال الأصلي الذي كان غير واضح).
الدائرة التي قطرها [BM] تقطع (AB) في نقطة K و N نقطة تقاطع (MK) و (AC). بيّن أن (BN) عمودي على (AM).

تصحيح التمرين رقم 1

التحقق من أن المثلث ABC قائم الزاوية في C:
لنطبق عكس نظرية فيثاغورس. يجب أن نتحقق مما إذا كان مربع طول أطول ضلع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. لدينا $AB = 10$, $BC = 6$, $AC = 8$.
$AB^2 = 10^2 = 100$.
$AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.
بما أن $AB^2 = AC^2 + BC^2$, فإن المثلث ABC قائم الزاوية في C.
حساب AF و CG:
لحساب AF: بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن (AD) || (BC). إذن (AF) || (BC). في المثلث FAE والمثلث CBE:
- $\angle{AEF} = \angle{CEB}$ (زاويتان متقابلتان بالرأس).
- $\angle{FAE} = \angle{BCE}$ (زاويتان متبادلتان داخليا لأن (AF) || (BC)).
إذن المثلثان FAE و CBE متشابهان. ومنه نستنتج تناسب الأضلاع: $$ \frac{AF}{CB} = \frac{AE}{CE} $$ لدينا $AE = 2$ و $AC = 8$, إذن $CE = AC - AE = 8 - 2 = 6$. $$ \frac{AF}{6} = \frac{2}{6} \implies AF = 2 \text{ cm} $$ لحساب CG: بما أن ABCD متوازي أضلاع، فإن (AB) || (DC). إذن (AB) || (GC). في المثلث ABE والمثلث CGE:
- $\angle{AEB} = \angle{CEG}$ (زاويتان متقابلتان بالرأس).
- $\angle{BAE} = \angle{GCE}$ (زاويتان متبادلتان داخليا لأن (AB) || (GC)).
إذن المثلثان ABE و CGE متشابهان. ومنه نستنتج: $$ \frac{CG}{AB} = \frac{CE}{AE} $$ $$ \frac{CG}{10} = \frac{6}{2} = 3 \implies CG = 30 \text{ cm} $$
إثبات أن $EB^2 = EF \times EG$:
من تشابه المثلثين FAE و CBE (من السؤال 2)، لدينا: $$ \frac{EF}{EB} = \frac{AE}{CE} \implies EF = EB \cdot \frac{AE}{CE} $$ ومن تشابه المثلثين ABE و CGE (من السؤال 2)، لدينا: $$ \frac{EG}{EB} = \frac{CE}{AE} \implies EG = EB \cdot \frac{CE}{AE} $$ الآن، نقوم بحساب الجداء $EF \times EG$: $$ EF \times EG = \left(EB \cdot \frac{AE}{CE}\right) \times \left(EB \cdot \frac{CE}{AE}\right) = EB^2 \cdot \frac{AE \cdot CE}{CE \cdot AE} = EB^2 $$ وهو المطلوب إثباته.
إثبات أن (MH) || (AC):
لدينا M مناظرة B بالنسبة إلى (AC). بما أن المثلث ABC قائم في C, فإن (BC) ⊥ (AC). إذن المستقيم (AC) هو الموسط العمودي للقطعة [BM] عند النقطة C. وهذا يعني أن C هي منتصف [BM].
لدينا H مناظرة A بالنسبة إلى E. هذا يعني أن E هي منتصف [AH].
في المثلث ABM, لدينا C منتصف [BM].
في المثلث AMH, لدينا E منتصف [AH].
لننظر في المثلث AMB. النقطة C هي منتصف [BM]. لنطبق نظرية المنتصفين. نحتاج إلى منتصف ضلع آخر.
باستخدام المتجهات: E منتصف [AH] يعني $\vec{AH} = 2\vec{AE}$. و C منتصف [BM] يعني $\vec{BM} = 2\vec{BC}$. نريد أن نثبت أن $\vec{MH}$ و $\vec{AC}$ مرتبطان خطيا. $$ \vec{MH} = \vec{MA} + \vec{AH} = (\vec{MC} + \vec{CA}) + 2\vec{AE} $$ $$ \vec{MH} = \vec{BC} - \vec{AC} + 2\vec{AE} $$ بما أن E نقطة من [AC] و AE=2, AC=8, فإن $\vec{AE} = \frac{2}{8}\vec{AC} = \frac{1}{4}\vec{AC}$. $$ \vec{MH} = \vec{BC} - \vec{AC} + 2\left(\frac{1}{4}\vec{AC}\right) = \vec{BC} - \vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{AC} = \vec{BC} - \frac{1}{2}\vec{AC} $$ المتجهان ليسا مرتبطين خطيا. يبدو أن هناك خطأ في نص السؤال الأصلي. التفسير الأكثر منطقية هو أنه في المثلث ABH، النقطة E هي منتصف AH والنقطة C' (نقطة أخرى) هي منتصف AB، مما يجعل (EC') || (BH). لكن بالمعطيات المتوفرة، لا يمكن إثبات المطلوب.
إثبات أن (BN) ⊥ (AM):
الدائرة التي قطرها [BM] تمر بالنقطة K الموجودة على (AB). حسب خاصية الدائرة المحيطة بمثلث قائم, فإن المثلث BKM قائم الزاوية في K. إذن (MK) ⊥ (BK), وبما أن K على (AB), فإن (MK) ⊥ (AB). إذن, (MK) هو الارتفاع الصادر من M في المثلث ABM.
لدينا M مناظرة B بالنسبة لـ(AC), والمثلث ABC قائم في C. هذا يعني أن (AC) ⊥ (BC). وبما أن M تقع على امتداد (BC), فإن (AC) ⊥ (BM). إذن, (AC) هو الارتفاع الصادر من A في المثلث ABM.
النقطة N هي نقطة تقاطع (MK) و (AC). بما أن (MK) و (AC) هما ارتفاعان في المثلث ABM, فإن نقطة تقاطعهما N هي مركز قائم (orthocenter) المثلث ABM.
الارتفاع الثالث في المثلث ABM, الصادر من الرأس B, يجب أن يمر أيضا من المركز القائم N.
إذن المستقيم (BN) هو حامل الارتفاع الصادر من B على الضلع المقابل [AM]. وبالتالي, فإن (BN) ⊥ (AM).

التمرين رقم 2

ABCD شبه منحرف قائم في A و D بحيث AB=3cm و AD=4cm و CD=9cm و E منتصف [AD]. المستقيم المار من E والموازي للقاعدتين يقطع (BC) في F.

بيّن أن F منتصف [BC].
أحسب EF.
المستقيم (EF) يقطع (BD) في G. أحسب FG ثم استنتج EG.
المستقيم المار من F والموازي لـ(AD) يقطع (BD) في H و (CD) في I. أحسب HF بطريقتين مختلفتين.
أحسب $\frac{FG}{DG}$.

تصحيح التمرين رقم 2

إثبات أن F منتصف [BC]:
المستقيم (EF) يمر من منتصف الضلع [AD] (النقطة E) ويوازي القاعدتين (AB) و (CD). حسب خاصية المستقيم المار من منتصف أحد الضلعين غير المتوازيين في شبه منحرف ومواز للقاعدتين، فإنه يقطع الضلع الثاني غير الموازي في منتصفه.
إذن, F هي منتصف [BC].
حساب EF:
طول القطعة الواصلة بين منتصفي الضلعين غير المتوازيين في شبه منحرف (والتي تسمى القاعدة المتوسطة) يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين. $$ EF = \frac{AB + CD}{2} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm} $$
حساب FG و EG:
في المثلث DAB, لدينا E منتصف [AD] و (EG) يوازي (AB) (لأن (EF) يوازي (AB)). حسب مبرهنة المنتصفين، فإن G هي منتصف [DB] و: $$ EG = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 3 = 1.5 \text{ cm} $$ يمكننا الآن استنتاج FG: $$ FG = EF - EG = 6 - 1.5 = 4.5 \text{ cm} $$ للتحقق: في المثلث DCB, F منتصف [BC] و (FG) يوازي (CD). حسب مبرهنة المنتصفين، G يجب أن تكون منتصف [DB] و: $$ FG = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \times 9 = 4.5 \text{ cm} $$ النتائج متطابقة.
حساب HF بطريقتين مختلفتين:
المستقيم المار من F والموازي لـ(AD) هو مستقيم رأسي (عمودي على القاعدتين). ليكن هذا المستقيم $\ell$. بما أن ABCD قائم في A و D، فإن (AD) عمودي على (CD). إذن المستقيم $\ell$ عمودي على (CD) في I وعلى (AB) (أو امتداده).
الطريقة الأولى (باستخدام طالس): لتكن K المسقط العمودي لـ B على (CD). إذن K(3,0) و B(3,4) في نظام إحداثيات حيث D(0,0). إذن (BK) || (AD). ليكن I المسقط العمودي لـ F على (CD). بما أن F منتصف BC، فإن I هي منتصف KC. إحداثيات C هي (9,0) و K هي (3,0). إذن منتصف KC هو I$(\frac{3+9}{2}, 0) = (6,0)$. المستقيم المار من F والموازي لـ AD هو المستقيم $x=6$. هذا المستقيم يقطع (BD) (الذي معادلته $y=\frac{4}{3}x$) في النقطة H. $x_H = 6 \implies y_H = \frac{4}{3}(6) = 8$. إذن H(6,8). إحداثيات F هي منتصف B(3,4) و C(9,0) أي F$(\frac{3+9}{2}, \frac{4+0}{2}) = (6,2)$. إذن HF هو المسافة بين H(6,8) و F(6,2). $$ HF = |y_H - y_F| = |8 - 2| = 6 \text{ cm} $$ الطريقة الثانية (باستخدام التشابه): نريد حساب HF. المستقيم (HFI) يوازي (AD). في المثلث DKB (حيث K هي مسقط B على CD)، لدينا المستقيم (HI) يوازي (KB) (لأن كلاهما عمودي على DC). بتطبيق مبرهنة طالس: $$ \frac{DI}{DK} = \frac{HI}{BK} $$ لدينا D(0,0), I(6,0), K(3,0), B(3,4). $DI = 6$, $DK = 3$, $BK = 4$. $$ \frac{6}{3} = \frac{HI}{4} \implies 2 = \frac{HI}{4} \implies HI = 8 \text{ cm} $$ الآن نحسب FI. في شبه المنحرف القائم BKCF، القطعة FI هي ارتفاع F على القاعدة KC. في المثلث CKB، لدينا F منتصف CB و I منتصف CK. إذن (FI) يوازي (BK). $$ \frac{FI}{BK} = \frac{CF}{CB} = \frac{1}{2} \implies FI = \frac{1}{2} BK = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \text{ cm} $$ إذن: $$ HF = HI - FI = 8 - 2 = 6 \text{ cm} $$
حساب $\frac{FG}{DG}$:
لقد حسبنا $FG = 4.5$ cm. نحتاج لحساب DG. G هي منتصف DB. نحسب طول القطر DB باستخدام فيثاغورس في المثلث القائم DAB: $$ DB^2 = AD^2 + AB^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 $$ $$ DB = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} $$ بما أن G منتصف DB, فإن $DG = \frac{1}{2} DB = \frac{5}{2} = 2.5$ cm. إذن: $$ \frac{FG}{DG} = \frac{4.5}{2.5} = \frac{45}{25} = \frac{9}{5} $$

التمرين رقم 3

وحدة قيس الطول هي الصنتمتر. ABC مثلث و M منتصف [BC]. المستقيم المار من M والموازي للمستقيم (AB) يقطع [AC] في النقطة N.

بيّن أن N منتصف [AC].
أحسب النسب $\frac{CM}{CB}$ و $\frac{CN}{CA}$ و $\frac{MN}{AB}$. ماذا تستنتج؟
عين النقطة I على [BA) بحيث AI=3. المستقيم (IC) يقطع (MN) في J.
أ. ما هي مساقط C و J و I على (AC) وفقا لمنحى (AB)؟
ب. بيّن أن $\frac{CJ}{CI} = \frac{CN}{CA}$.
ج. أحسب NJ.

تصحيح التمرين رقم 3

إثبات أن N منتصف [AC]:
في المثلث ABC، لدينا M منتصف الضلع [BC]، والمستقيم (MN) يمر من M ويوازي الضلع (AB). حسب مبرهنة المنتصفين (أو مبرهنة طالس)، فإن المستقيم المار من منتصف ضلع في مثلث ومواز لضلع ثان، يقطع الضلع الثالث في منتصفه.
إذن، N هي منتصف [AC].
حساب النسب والاستنتاج:
بتطبيق مبرهنة طالس في المثلث CAB والمستقيم (MN) الموازي لـ (AB) نجد: $$ \frac{CM}{CB} = \frac{CN}{CA} = \frac{MN}{AB} $$ بما أن M منتصف [BC]، فإن $CM = \frac{1}{2} CB$, إذن $\frac{CM}{CB} = \frac{1}{2}$.
بما أن N منتصف [AC]، فإن $CN = \frac{1}{2} CA$, إذن $\frac{CN}{CA} = \frac{1}{2}$.
من مبرهنة المنتصفين، $MN = \frac{1}{2} AB$, إذن $\frac{MN}{AB} = \frac{1}{2}$.
الاستنتاج: جميع هذه النسب متساوية وتساوي $\frac{1}{2}$.
دراسة تقاطع (IC) و (MN):
أ. تحديد المساقط:
الإسقاط على المستقيم (AC) بتوجيه مواز لـ (AB).
- مسقط C على (AC) هو C نفسها.
- مسقط I على (AC): المستقيم المار من I والموازي لـ (AB) هو المستقيم (AB) نفسه (لأن I تنتمي لـ (AB)). تقاطع (AB) و (AC) هو النقطة A. إذن مسقط I هو A.
- مسقط J على (AC): المستقيم المار من J والموازي لـ (AB) هو المستقيم (MN) نفسه (لأن J تنتمي لـ (MN) و (MN)||(AB)). تقاطع (MN) و (AC) هو النقطة N. إذن مسقط J هو N.
ب. إثبات النسبة:
الإسقاط يحافظ على النسب النقطية على مستقيم. النقاط C, J, I تقع على استقامة واحدة (على المستقيم IC). مساقطها هي C, N, A وهي أيضا على استقامة واحدة (على المستقيم AC). حسب خاصية طالس للإسقاط: $$ \frac{CJ}{CI} = \frac{\text{مسافة}(pr(C), pr(J))}{\text{مسافة}(pr(C), pr(I))} = \frac{CN}{CA} $$ ج. حساب NJ:
من السؤال السابق، لدينا $\frac{CJ}{CI} = \frac{CN}{CA}$. وبما أن N منتصف AC، فإن $\frac{CN}{CA} = \frac{1}{2}$. إذن $\frac{CJ}{CI} = \frac{1}{2}$، مما يعني أن J هي منتصف القطعة [IC].
الآن، في المثلث IAC، لدينا N منتصف [AC] و J منتصف [IC]. حسب مبرهنة المنتصفين في المثلث IAC: $$ NJ = \frac{1}{2} IA $$ لدينا $IA = 3$ cm. $$ NJ = \frac{1}{2} \times 3 = 1.5 \text{ cm} $$

التمرين رقم 4

(وحدة القيس هي الصنتمتر)
ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [CD] حيث AB=6 و CD=9. القطران [AC] و [BD] يتقاطعان في O.

بيّن أن $3 OA = 2 OC$. (ملاحظة: تم تصحيح نص السؤال $6OC=9OA$).
لتكن النقطة M من [AD] حيث $AM = \frac{2}{5} AD$.
المستقيم المار من O والموازي لـ(AB) يقطع (AD) في M و (BC) في N. (ملاحظة: تم توحيد تعريف M و N حسب سياق الأسئلة).
أحسب OM و ON.
عين I و J منتصفي [MD] و [NC] على التوالي. بيّن أن (IJ) || (DC) وأحسب IJ.
(IJ) يقطع (OD) في P.
أ. بيّن أن P منتصف [OD].
ب. أحسب IP.

تصحيح التمرين رقم 4

إثبات العلاقة بين OA و OC:
في شبه المنحرف ABCD، لدينا القاعدتان (AB) || (CD). ننظر إلى المثلثين OAB و OCD.
- $\angle{AOB} = \angle{COD}$ (زاويتان متقابلتان بالرأس).
- $\angle{OAB} = \angle{OCD}$ (زاويتان متبادلتان داخليا).
- $\angle{OBA} = \angle{ODC}$ (زاويتان متبادلتان داخليا).
إذن، المثلثان OAB و OCD متشابهان. من التشابه، نستنتج تناسب الأضلاع: $$ \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{AB}{CD} $$ بالتعويض بالقيم المعطاة: $$ \frac{OA}{OC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $$ من هذه النسبة، نجد أن $3 \times OA = 2 \times OC$.
موقع النقطة M:
النقطة M على [AD] تحقق $AM = \frac{2}{5} AD$. هذا يعني أن النقطة M تقسم الضلع [AD] بنسبة 2 إلى 3.
تعريف المستقيم (MN):
هو المستقيم المار من O والموازي للقاعدتين AB و CD.
حساب OM و ON:
لحساب OM: في المثلث ADC، لدينا (OM) || (DC). بتطبيق مبرهنة طالس: $$ \frac{AO}{AC} = \frac{OM}{DC} $$ نحتاج إلى النسبة $\frac{AO}{AC}$. من السؤال 1، $3 OA = 2 OC \implies OC = \frac{3}{2} OA$. $AC = AO + OC = AO + \frac{3}{2} AO = \frac{5}{2} AO$. إذن، $\frac{AO}{AC} = \frac{AO}{\frac{5}{2} AO} = \frac{2}{5}$. $$ \frac{OM}{9} = \frac{2}{5} \implies OM = \frac{9 \times 2}{5} = \frac{18}{5} = 3.6 \text{ cm} $$ لحساب ON: في المثلث ABC، لدينا (ON) || (AB). بتطبيق مبرهنة طالس: $$ \frac{CO}{CA} = \frac{ON}{AB} $$ لدينا $\frac{AO}{AC} = \frac{2}{5}$, إذن $\frac{CO}{CA} = \frac{AC - AO}{AC} = 1 - \frac{AO}{AC} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$. $$ \frac{ON}{6} = \frac{3}{5} \implies ON = \frac{6 \times 3}{5} = \frac{18}{5} = 3.6 \text{ cm} $$ نلاحظ أن O هي منتصف القطعة [MN].
دراسة القطعة [IJ]:
لدينا M على AD و N على BC بحيث (MN) || (DC). إذن الشكل MNCD هو شبه منحرف. I منتصف [MD] و J منتصف [NC]. القطعة [IJ] تصل بين منتصفي الضلعين غير المتوازيين في شبه المنحرف MNCD. إذن، (IJ) توازي القاعدتين (MN) و (DC). $$ IJ = \frac{MN + CD}{2} $$ لدينا $MN = OM + ON = 3.6 + 3.6 = 7.2$ cm. $$ IJ = \frac{7.2 + 9}{2} = \frac{16.2}{2} = 8.1 \text{ cm} $$
دراسة النقطة P:
أ. إثبات أن P منتصف [OD]:
في المثلث OMD، لدينا I منتصف [MD]. والمستقيم (IP) هو جزء من المستقيم (IJ) الذي يوازي (DC). كذلك، المستقيم (OM) يوازي (DC) (لأنه جزء من MN). إذن (IP) || (OM). في المثلث OMD، المستقيم المار من منتصف الضلع [MD] (النقطة I) والموازي للضلع [OM] (المستقيم IP) يقطع الضلع الثالث [OD] في منتصفه. إذن، P هي منتصف [OD].
ب. حساب IP:
في المثلث OMD، لدينا I منتصف [MD] و P منتصف [OD]. حسب مبرهنة المنتصفين في المثلث OMD: $$ IP = \frac{1}{2} OM $$ لقد حسبنا $OM = 3.6$ cm. $$ IP = \frac{1}{2} \times 3.6 = 1.8 \text{ cm} $$

التمرين رقم 5

ABCD مستطيل بحيث AB=9 و AD=4. النقطة M من [AB] بحيث AM=6. المستقيمان (DM) و (BC) يتقاطعان في O. لتكن I صورة O بالتناظر المركزي بالنسبة إلى B.

أحسب OB ثم استنتج أن I هي منتصف [BC].
ابن L مسقط I على (OD) وفقا لمنحى (AB).
أ) أحسب IL.
ب) بيّن أن (AL) // (IM). (ملاحظة: تم تصحيح السؤال الأصلي).
لتكن K منتصف [CD] و G نقطة تقاطع المستقيمين (OK) و (IL). أحسب $\frac{OG}{OK}$.
الدائرة (C) التي قطرها [OJ] تقطع (OK) في O و P. المستقيم (PJ) يقطع (OC) في E.
أ) بين أن I تنتمي إلى (C).
ب) بين أن (EG) يعامد (OI). (ملاحظة: الأسئلة الأخيرة غير واضحة وتحتوي على رموز لم يتم تعريفها مثل J).

تصحيح التمرين رقم 5

حساب OB واستنتاج موقع I:
في المستطيل ABCD، لدينا (AD) || (BC)، إذن (AD) || (OB). ننظر إلى المثلثين ADM و BOM.
- $\angle{DAM} = \angle{OBM} = 90^\circ$ (لأن ABCD مستطيل و O على امتداد BC).
- $\angle{AMD} = \angle{BMO}$ (زاويتان متقابلتان بالرأس).
إذن، المثلثان ADM و BOM متشابهان. نستنتج تناسب الأضلاع: $$ \frac{OB}{AD} = \frac{MB}{AM} $$ لدينا $AD=4$, $AM=6$, $AB=9$. إذن $MB = AB - AM = 9 - 6 = 3$. $$ \frac{OB}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies OB = \frac{1}{2} \times 4 = 2 $$ لدينا I صورة O بالتناظر المركزي بالنسبة إلى B. هذا يعني أن B هي منتصف [OI].
لنستخدم الإحداثيات للتحقق: نضع D(0,0), C(9,0), B(9,4), A(0,4). O تقع على المستقيم (BC) الذي معادلته $x=9$. O تقع أيضا على المستقيم (DM). M(6,4). معادلة (DM) هي $y=\frac{4}{6}x = \frac{2}{3}x$. إحداثيات O هي $x_O=9, y_O = \frac{2}{3}(9) = 6$. إذن O(9,6). B هي منتصف [OI]. $x_B = \frac{x_O+x_I}{2} \implies 9 = \frac{9+x_I}{2} \implies x_I = 9$. $y_B = \frac{y_O+y_I}{2} \implies 4 = \frac{6+y_I}{2} \implies 8 = 6+y_I \implies y_I = 2$. إذن I(9,2). الآن، نحسب منتصف [BC]: $(\frac{9+9}{2}, \frac{4+0}{2}) = (9, 2)$. إحداثيات I تطابق إحداثيات منتصف [BC]. إذن I هي منتصف [BC].
دراسة النقطة L:
أ) حساب IL:
L هي مسقط I على (OD) بتوجيه يوازي (AB). المستقيم المار من I ومواز لـ (AB) هو مستقيم أفقي معادلته $y=y_I=2$. المستقيم (OD) هو نفسه (DM) الذي معادلته $y=\frac{2}{3}x$. L هي نقطة تقاطع $y=2$ و $y=\frac{2}{3}x$. $2 = \frac{2}{3}x \implies x=3$. إذن L(3,2). لدينا I(9,2). المسافة IL هي: $$ IL = \sqrt{(9-3)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{6^2} = 6 $$ ب) إثبات أن (AL) || (IM):
نحسب ميل كل مستقيم. A(0,4), L(3,2). ميل (AL) هو $m_{AL} = \frac{2-4}{3-0} = -\frac{2}{3}$. I(9,2), M(6,4). ميل (IM) هو $m_{IM} = \frac{4-2}{6-9} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$. بما أن للمستقيمين نفس الميل، فإنهما متوازيان. (AL) || (IM).
حساب النسبة $\frac{OG}{OK}$:
K منتصف [CD]. D(0,0), C(9,0). إذن K(4.5, 0). O(9,6). المستقيم (IL) هو المستقيم $y=2$. نوجد معادلة المستقيم (OK): الميل هو $m_{OK} = \frac{6-0}{9-4.5} = \frac{6}{4.5} = \frac{4}{3}$. المعادلة هي $y-0 = \frac{4}{3}(x-4.5) \implies y=\frac{4}{3}x - 6$. G هي نقطة تقاطع (OK) و (IL). $2 = \frac{4}{3}x - 6 \implies 8 = \frac{4}{3}x \implies x = 6$. إذن G(6,2). الآن نحسب المسافات: $OG = \sqrt{(9-6)^2+(6-2)^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$. $OK = \sqrt{(9-4.5)^2+(6-0)^2} = \sqrt{4.5^2+6^2} = \sqrt{20.25+36} = \sqrt{56.25} = 7.5$. $$ \frac{OG}{OK} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3} $$

التمرين رقم 6

نعتبر مثلثا ABC بحيث AB=4 و AC=7 و BC=8 (وحدة القيس هي الصم). M نقطة من الضلع [BC] بحيث BM=3.

المستقيم المار من M والموازي للمستقيم (AB) يقطع [AC] في N. أحسب البعد MN.
المستقيم المار من C والموازي للمستقيم (AB) يقطع (BN) في D. ولتكن {I} = (MN) $\cap$ (AD).
أ) بيّن أن $\frac{DI}{DA} = \frac{IN}{AB}$.
ب) بيّن أن $\frac{CM}{CB} = \frac{DI}{DA}$.
ج) استنتج أنّ النقطة N هي منتصف القطعة [MI].
لتكن J مناظرة B بالنسبة للنقطة N و K هي منتصف القطعة [CJ]. أحسب البعد NK.

تصحيح التمرين رقم 6

حساب MN:
في المثلث CBA، لدينا M على (CB) و N على (CA) و (MN) || (AB). بتطبيق مبرهنة طالس: $$ \frac{CM}{CB} = \frac{CN}{CA} = \frac{MN}{AB} $$ لدينا $BC=8$ و $BM=3$, إذن $CM = BC - BM = 8 - 3 = 5$. $$ \frac{5}{8} = \frac{MN}{4} \implies MN = \frac{5 \times 4}{8} = \frac{20}{8} = 2.5 $$
دراسة النقطة I:
لدينا ثلاث مستقيمات متوازية: (AB) || (MN) || (CD).
أ) إثبات النسبة الأولى:
في المثلث DAB، لدينا I على (DA) و N على (DB) (هنا يجب الانتباه N على (BN) و I على AD). بما أن I نقطة من (MN) و (MN) || (AB)، فإن (IN) || (AB). نطبق طالس في المثلث DAB مع المستقيم (IN): $$ \frac{DI}{DA} = \frac{DN}{DB} = \frac{IN}{AB} $$ إذن المطلوب صحيح.
ب) إثبات النسبة الثانية:
لدينا المستقيمات المتوازية (CD) || (NI) تقطعها القاطعان (AC) و (AD). بتطبيق طالس: $$ \frac{AI}{AD} = \frac{AN}{AC} $$ ولدينا في المثلث ABC و (MN)||(AB): $\frac{AN}{AC} = \frac{BM}{BC} = \frac{3}{8}$. إذن $\frac{AI}{AD} = \frac{3}{8}$. ومنه فإن $\frac{DI}{DA} = 1 - \frac{AI}{AD} = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$. من جهة أخرى، $\frac{CM}{CB} = \frac{5}{8}$. إذن، $\frac{CM}{CB} = \frac{DI}{DA}$.
ج) استنتاج أن N منتصف [MI]:
لإثبات أن N منتصف [MI]، يجب أن نثبت أن MN = NI. من (1)، $MN = 2.5$. نحسب NI. من تشابه المثلثين ABN و CDN (لأن (AB)||(CD))، لدينا: $$ \frac{CN}{AN} = \frac{CD}{AB} $$ لدينا $\frac{AN}{AC}=\frac{3}{8}$ و $\frac{CN}{AC} = \frac{5}{8}$. إذن $\frac{CN}{AN} = \frac{5/8}{3/8} = \frac{5}{3}$. $$ \frac{CD}{4} = \frac{5}{3} \implies CD = \frac{20}{3} $$ الآن نستخدم طالس في المثلث ADC مع (NI) || (CD): $$ \frac{NI}{CD} = \frac{AN}{AC} = \frac{3}{8} $$ $$ NI = \frac{3}{8} \times CD = \frac{3}{8} \times \frac{20}{3} = \frac{20}{8} = 2.5 $$ بما أن $MN=2.5$ و $NI=2.5$ والنقاط M, N, I على استقامة واحدة، فإن N هي منتصف [MI].
حساب NK:
لدينا J مناظرة B بالنسبة لـ N، إذن N هي منتصف [BJ]. ولدينا K هي منتصف [CJ].
في المثلث CBJ، لدينا N منتصف [BJ] و K منتصف [CJ]. حسب مبرهنة المنتصفين في المثلث CBJ، فإن القطعة [NK] توازي الضلع [CB] وطولها يساوي نصف طوله. $$ NK = \frac{1}{2} CB $$ لدينا $CB = 8$. $$ NK = \frac{1}{2} \times 8 = 4 $$

تمارين مبرهنة طالس وتطبيقاتها