تمارين الهندسة

1
التمرين عدد 3

(C) هي دائرة مركزها O و ثلاث نقاط C , B , A من هذه الدّائرة بحيث \(AC \ne AB\) و H المركز القائم للمثلّث ABC.
(OA) يقطع (C) في نقطة ثانية D.

(1) بيّن أنّ (CH)//(BD)

التصحيح (1):

  1. بما أن (OA) يقطع (C) في نقطة ثانية D، فإن [AD] هو قطر في الدّائرة (C).
  2. بما أن A و B و D هي نقاط من الدّائرة (C) و [AD] قطر، فإن المثلث ABD قائم في B.
  3. إذن، \((BD) \perp (AB)\).
  4. بما أن H هو المركز القائم للمثلّث ABC، فإن (CH) هو الارتفاع الصادر من C على الضلع (AB).
  5. إذن، \((CH) \perp (AB)\).
  6. بما أن \((BD) \perp (AB)\) و \((CH) \perp (AB)\)، فإن (CH) يوازي (BD).

(2) بيّن أنّ الرّباعي BHCD متوازي أضلاع

التصحيح (2):

  1. من السؤال (1)، لدينا \((CH) // (BD)\).
  2. بما أن [AD] قطر في الدّائرة (C) (كما بيّنّا في 1)، فإن المثلث ACD قائم في C.
  3. إذن، \((CD) \perp (AC)\).
  4. بما أن H هو المركز القائم للمثلّث ABC، فإن (BH) هو الارتفاع الصادر من B على الضلع (AC).
  5. إذن، \((BH) \perp (AC)\).
  6. بما أن \((CD) \perp (AC)\) و \((BH) \perp (AC)\)، فإن (BH) يوازي (CD).
  7. بما أن لدينا \((CH) // (BD)\) و \((BH) // (CD)\)، فإن الرباعي BHCD متوازي أضلاع (لأن كل ضلعين متقابلين متوازيان).

(3) المستقيمان (HD) و (BC) يتقاطعان في I . بيّن أنّ \(OI = \frac{1}{2} AH\)

التصحيح (3):

  1. بما أن BHCD متوازي أضلاع (من السؤال 2)، فإن قطريه [HD] و [BC] يتقاطعان في منتصفهما I.
  2. إذن، I هي منتصف القطعة [HD] و منتصف القطعة [BC].
  3. في المثلث ADH:
    • O هو منتصف القطعة [AD] (لأن [AD] هو قطر الدائرة (C) و O هو مركزها).
    • I هو منتصف القطعة [HD] (كما بيّنّا في الخطوة 1).
  4. باستخدام مبرهنة المستقيم المار بمنتصفي ضلعي مثلث (أو مبرهنة طالس)، فإن المستقيم (OI) يوازي المستقيم (AH) وطوله يساوي نصف طوله.
  5. إذن، \(OI = \frac{1}{2} AH\).

(4) النّقطة G هي مركز ثقل المثلّث ABC. بيّن أنّ G , H , O على استقامة واحدة و أنّ \(HG = \frac{2}{3} HO\)

التصحيح (4):

  1. من السؤال (3)، لدينا \((OI) // (AH)\) و \(OI = \frac{1}{2} AH\).
  2. بما أن G هو مركز ثقل المثلث ABC، فإن G تقع على الموسط [AI] (حيث I هي منتصف [BC]).
  3. نعلم أن مركز الثقل يقسم الموسط بنسبة 2 إلى 1 من الرأس، إذن \(AG = 2 GI\)، أو \(\frac{GI}{GA} = \frac{1}{2}\).
  4. نعتبر المثلثين \(\triangle GIO\) و \(\triangle GAH\).
    • لدينا الزاوية \(\angle HGA\) = الزاوية \(\angle OGI\) (زاويتان متقابلتان بالرأس).
    • بما أن \((OI) // (AH)\)، فإن الزاوية \(\angle GAH\) = الزاوية \(\angle GIO\) (زاويتان متبادلتان داخلياً).
  5. إذن، المثلثان \(\triangle GIO\) و \(\triangle GAH\) متشابهان (حسب خاصية الزوايا المتناظرة).
  6. من تشابه المثلثات، لدينا نسبة الأضلاع المتناظرة متساوية: \[\frac{GI}{GA} = \frac{GO}{GH} = \frac{OI}{AH}\]
  7. نعلم أن \(\frac{GI}{GA} = \frac{1}{2}\) و \(\frac{OI}{AH} = \frac{1}{2}\).
  8. إذن، \(\frac{GO}{GH} = \frac{1}{2}\)، مما يعني \(GH = 2 GO\).
  9. بما أن \(GH = 2 GO\) والنقاط G، H، O تقع على نفس المستقيم (بسبب التشابه والزوايا المتناظرة)، فإن النقاط G, H, O على استقامة واحدة.
  10. ولدينا \(HO = HG + GO\).
  11. نعوض \(GO = \frac{1}{2} HG\): \(HO = HG + \frac{1}{2} HG = \frac{3}{2} HG\).
  12. إذن، \(HG = \frac{2}{3} HO\).