دليل شامل للمعادلات والقيمة المطلقة

📚 معادلات القيمة المطلقة

القواعد الأساسية:

|x| = a حيث a > 0 ⇒ x = a أو x = -a
|x| = 0 ⇒ x = 0
|x| = -a حيث a > 0 ⇒ لا يوجد حل

⚠️ أخطاء شائعة

• نسيان الحل السالب في معادلات القيمة المطلقة

• عدم التحقق من صحة الحلول

• الخلط بين شروط الوجود والعدم

• إهمال الحالات الخاصة (القيمة المطلقة = 0)

• عدم ترتيب المعادلات في الأنظمة

تمارين متنوعة في الجبر والمعادلات

القيمة المطلقة الأنظمة الخطية التبسيط الجبري
التمرين 54
معادلات القيمة المطلقة

أوجد العدد الصحيح النسبي x في كل من الحالات التالية:

أ- x + 19 = (-35)
ب- -|x| + 43 = -15
ج- (-15) + (x + 27) = 3
د- -18 - (7 - |x|) = -12
معطى إضافي:

x و y هما عددان صحيحان نسبيان بحيث a - b = -3

قارن بين X و Y في كل من الحالات التالية:

1- Y = 31a = -(bX20)
2- Y = (13-a) + bb = -10 + (-a)
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

هذه التمارين تتطلب فهماً عميقاً لخصائص القيمة المطلقة. دعني أطرح عليك أسئلة توجيهية:

بالنسبة للمعادلة (ب):

ما رأيك في المعادلة -|x| + 43 = -15؟

إذا أعدنا ترتيبها لتصبح |x| = ?، ما القيمة التي ستحصل عليها؟

وهل هذه القيمة موجبة أم سالبة؟ وماذا يعني ذلك؟

بالنسبة للمعادلة (د):

كيف تتعامل مع 7 - |x| داخل القوس؟

هل تبدأ بحل ما داخل القوس أم تزيل القوس أولاً؟

سؤال أساسي: في أي حالات تكون معادلة القيمة المطلقة بدون حل؟

📝 منهجية الحل

الاستراتيجية العامة:

1 للمعادلات العادية: اعزل المجهول في طرف واحد
2 للمعادلات مع القيمة المطلقة: اعزل القيمة المطلقة أولاً
3 تحقق من إشارة الطرف الثاني
4 طبق تعريف القيمة المطلقة

مثال على المعادلة (ب):

-|x| + 43 = -15

-|x| = -15 - 43

-|x| = -58

|x| = 58

إذن: x = 58 أو x = -58

نصيحة مهمة: دائماً تحقق من صحة حلولك بالتعويض في المعادلة الأصلية

✅ الحل النهائي

أ- x + 19 = -35
x = -35 - 19 = -54
الجواب: x = -54
ب- -|x| + 43 = -15
-|x| = -58
|x| = 58
الجواب: x = 58 أو x = -58
ج- (-15) + (x + 27) = 3
-15 + x + 27 = 3
x + 12 = 3
x = 3 - 12 = -9
الجواب: x = -9
د- -18 - (7 - |x|) = -12
-18 - 7 + |x| = -12
-25 + |x| = -12
|x| = -12 + 25 = 13
الجواب: x = 13 أو x = -13

الجزء الثاني - المقارنات:

نلاحظ أن هناك أخطاء في النص الأصلي، لكن يمكن تفسيرها كالتالي:

بما أن a - b = -3، فإن a = b - 3
هذا يعني أن a < b بمقدار 3 وحدات
التمارين 55-56
تبسيط العبارات المعقدة
التمرين 55:

a و b و c أعداد صحيحة نسبية سالبة بحيث:

|a| < 2 و |b| = 2 و |c| > 3

رتب الأعداد a و b

التمرين 56:

نعتبر العبارتين التاليتين حيث a و b عددان كسريان نسبيان:

B = -(a - 5 + b) + (b - 7)
M = 1 - (a + 3) - [b - (3 + a)]
1) اختصر العبارتين التاليتين
2) احسب A إذا علمت أن y = -10
3) أوجد x إذا علمت أن |B| = 3
4) قارن بين A و B إذا علمت أن x - y = -11
5) أوجد x - y إذا علمت أن A و B متساويان
6) أوجد x + y إذا علمت أن A و B متقابلان
لم تبدأ بعد

💡 توجيهات للتفكير

للتمرين 55:

إذا كانت الأعداد سالبة، فكيف تؤثر القيمة المطلقة على ترتيبها؟

مثلاً، إذا كان a سالب و |a| < 2، فما هي القيم الممكنة لـ a؟

للتمرين 56:

لاحظ أن هناك خطأ في النص - يُذكر A و B لكن معطى فقط B و M

هل تستطيع أن تخمن ما المقصود؟

عند التبسيط:

في العبارة M، انتبه للأعقاف. ما ترتيب العمليات؟

وما معنى أن يكون عددان "متقابلين"؟

📝 منهجية الحل

التمرين 55 - تحليل القيود:

a سالب و |a| < 2 ⇒ a ∈ {-1}
b سالب و |b| = 2 ⇒ b = -2
c سالب و |c| > 3 ⇒ c ∈ {-4, -5, -6, ...}

التمرين 56 - خطوات التبسيط:

1 بسط كل عبارة منفصلة
2 اجمع الحدود المتشابهة
3 استخدم الشروط المعطاة لحل المطلوب

✅ الحل النهائي

التمرين 55:

بما أن الأعداد سالبة وصحيحة:
• a = -1 (الوحيد السالب الصحيح مع قيمة مطلقة أصغر من 2)
• b = -2 (الوحيد السالب مع قيمة مطلقة تساوي 2)
الترتيب: b < a أي -2 < -1

التمرين 56:

1) تبسيط العبارات:
B = -(a - 5 + b) + (b - 7) = -a + 5 - b + b - 7 = -a - 2
M = 1 - (a + 3) - [b - (3 + a)] = 1 - a - 3 - [b - 3 - a] = 1 - a - 3 - b + 3 + a = 1 - b
تفسير الأسئلة:
يبدو أن هناك خطأ في النص، لكن يمكننا تفسير A كـ M
إذن: A = M = 1 - b و B = -a - 2
2) إذا كان b = -10:
A = 1 - (-10) = 1 + 10 = 11
3) إذا كان |B| = 3:
|−a − 2| = 3
إما -a - 2 = 3 ⇒ a = -5
أو -a - 2 = -3 ⇒ a = 1
5) إذا كان A = B:
1 - b = -a - 2
a - b = -3
6) إذا كان A + B = 0 (متقابلان):
(1 - b) + (-a - 2) = 0
-1 - a - b = 0
a + b = -1