خطوات التبسيط المنهجية:
تذكر: $-(a-b) = -a+b$ و $+(a-b) = a-b$
خصائص مهمة:
للتبسيط: احذف العوامل المربعة من تحت الجذر
للمعادلات من النوع $\sqrt{f(x)} = a$:
للمعادلات مع القيمة المطلقة:
• لا تخلط بين $\sqrt{a+b}$ و $\sqrt{a}+\sqrt{b}$
• تأكد من المجال عند التعامل مع الجذور
• احذر من الحلول الدخيلة عند رفع المعادلة للقوة
• تذكر أن $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• انتبه لترتيب العمليات في التعابير المعقدة
لتكن العبارة E حيث a و b عددان حقيقيان:
1) بين أن $E = a - b - \pi$
2) احسب العبارة إذا علمت أن $b - a = 2 - \pi$
3) أوجد العدد الحقيقي b إذا علمت أن E = $\left(\frac{22}{7} - a\right)$ مقلوباً
4) أوجد العدد الحقيقي a إذا علمت أن E = $\frac{1}{2} - (\pi + b)$ متساويان
هذا التعبير يحتوي على أعداد غير نسبية مثل $\sqrt{5}$ و $\pi$:
للتبسيط:
ابدأ بما بين الأقواس الداخلية: $(\sqrt{5} - a + 0.5)$
انتبه للإشارة السالبة أمام كل قوس
لاحظ كيف تختفي بعض المصطلحات عند التبسيط
للحسابات:
استخدم العلاقة المعطاة $b - a = 2 - \pi$ للتعويض
تذكر أن $\frac{22}{7}$ هو تقريب لـ $\pi$
خطوة التبسيط:
نبدأ بتبسيط ما بداخل الأقواس:
القوس الأول: $b - (\sqrt{5} - a + 0.5) = b - \sqrt{5} + a - 0.5$
إذن: $E = \frac{1}{2} + a - (b - \sqrt{5} + a - 0.5) - (\pi - a + \sqrt{5})$
$= \frac{1}{2} + a - b + \sqrt{5} - a + 0.5 - \pi + a - \sqrt{5}$
تجميع الحدود:
نجمع الحدود المتشابهة ونلاحظ أن $\sqrt{5}$ و $-\sqrt{5}$ يحذفان بعضهما
1) تبسيط E:
نبسط ما بداخل الأقواس:
إذن:
ولكن $\frac{1}{2} + 0.5 = 1$، إذن: $E = a - b - \pi$
2) حساب E عندما $b - a = 2 - \pi$:
إذا كان $b - a = 2 - \pi$، فإن $a - b = -(2 - \pi) = \pi - 2$
3) إيجاد b عندما E مقلوب $\frac{22}{7} - a$:
المقلوب هو $\frac{1}{\frac{22}{7} - a} = \frac{7}{22 - 7a}$
هذه معادلة معقدة تحتاج لقيم محددة لـ a
4) إيجاد a عندما E = $\frac{1}{2} - (\pi + b)$:
نعتبر العبارة:
1) بين أن $E = \sqrt{2} - x - y$
2) احسب E في حالة y و x مقلوبان
3) أوجد y في حالة x = $|1 - \sqrt{2}|$ و E = 0
هذا التعبير يحتوي على جذر تربيعي في البداية:
للجذر الأول:
احسب $2 - \frac{9}{4}$ أولاً. ما النتيجة؟
هل يمكنك تبسيط $\sqrt{-\frac{1}{4}}$؟
للقوس الثاني:
انتبه للإشارة السالبة أمام القوس الثاني
$-(-y + \sqrt{2}) = y - \sqrt{2}$
للحالات الخاصة:
عندما يكون x و y مقلوبين، فإن $xy = 1$
تذكر أن $|1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1$ لأن $\sqrt{2} > 1$
خطوة حساب الجذر:
$2 - \frac{9}{4} = \frac{8}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{1}{4}$
$\sqrt{2 - \frac{9}{4}} = \sqrt{-\frac{1}{4}}$
هذا يطرح مشكلة لأن الجذر التربيعي لعدد سالب غير معرف في الأعداد الحقيقية!
مراجعة المسألة:
قد يكون هناك خطأ في القراءة. دعنا نفترض أن المقصود هو $\sqrt{\frac{9}{4} - 2}$ أو شيء مشابه
أو ربما $\sqrt{2} \cdot \frac{9}{4}$ بدلاً من الطرح
ملاحظة مهمة:
هناك مشكلة في التعبير المعطى لأن:
والجذر التربيعي لعدد سالب غير معرف في الأعداد الحقيقية.
تفسير محتمل:
لنفترض أن المقصود هو $\sqrt{\frac{9}{4} - 2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
في هذه الحالة:
الحلول بناءً على هذا التفسير:
1) لا يمكن الحصول على $E = \sqrt{2} - x - y$ مع هذا التعبير
2) إذا كان x و y مقلوبان ($xy = 1$)، نحتاج قيماً محددة
3) لحل $E = 0$: نحتاج $x + y + 1.5 - 2\sqrt{2} = 0$
تنبيه: يُرجى مراجعة صياغة المسألة الأصلية
ليكن a و b عددان صحيحان نسبيان:
1) احسب E إذا كان b = 2-b
2) احسب F إذا كان $b - \sqrt{5} = -\frac{5}{2}$ مقلوباً
3) حل F=2 إذا علمت أن a+b=5
4) جد a إذا علمت أن E+b+F=5
5) جد العدد الصحيح النسبي x من الحالات التالية:
$\Pi + |x| + \frac{3}{4} = 3$ ; $\sqrt{2} + |(-\frac{1}{2} - x)| = 0$ ; $\Pi - (x + \frac{5}{5}) = 1$
هذا التمرين يتعامل مع الأعداد النسبية وغير النسبية:
للشرط b = 2-b:
هذا يعني $2b = 2$، إذن $b = 1$
للأعداد غير النسبية:
$\Pi$ (π) هو عدد غير نسبي
عندما تجمع عدداً نسبياً مع عدد غير نسبي، تحصل على عدد غير نسبي
للمعادلات مع القيمة المطلقة:
$|x| = a$ تعطي $x = a$ أو $x = -a$
انتبه للحالات المستحيلة مثل $|x| = -1$
تبسيط E و F أولاً:
للعبارة E:
$E = 2 - \pi - [(-\frac{1}{5}) + (b - \frac{3}{2})] - (1.2 - a)$
$= 2 - \pi - (-\frac{1}{5} + b - \frac{3}{2}) - 1.2 + a$
$= 2 - \pi + \frac{1}{5} - b + \frac{3}{2} - 1.2 + a$
للعبارة F:
$F = \frac{3}{4} - [a + (-\frac{3}{2})] - (\pi + 0.75 + b)$
$= \frac{3}{4} - (a - \frac{3}{2}) - \pi - 0.75 - b$
$= \frac{3}{4} - a + \frac{3}{2} - \pi - 0.75 - b$
استراتيجية الحل:
استخدم الشروط المعطاة للعثور على قيم المتغيرات
تذكر أن الأعداد النسبية وغير النسبية لا تختلط
تبسيط التعابير أولاً:
1) حساب E عندما b = 2-b:
من $b = 2-b$ نجد $2b = 2$، إذن $b = 1$
2) حساب F عندما $b - \sqrt{5} = -\frac{5}{2}$ مقلوباً:
المقلوب هو $\frac{1}{-\frac{5}{2}} = -\frac{2}{5}$
إذن $b - \sqrt{5} = -\frac{2}{5}$، أي $b = \sqrt{5} - \frac{2}{5}$
3) حل F=2 عندما a+b=5:
هذا مستحيل لأن الطرف الأيسر سالب والأيمن موجب
4) إيجاد a عندما E+b+F=5:
5) حل المعادلات:
• $\pi + |x| + \frac{3}{4} = 3$:
لأن $\pi > 3$، فإن $\frac{9}{4} - \pi < 0$، وهذا مستحيل
• $\sqrt{2} + |(-\frac{1}{2} - x)| = 0$:
مستحيل لأن $\sqrt{2} > 0$ و $|a| \geq 0$
• $\pi - (x + 1) = 1$:
وهذا عدد غير نسبي، ليس صحيحاً نسبياً