ليكن العبارات التالية:
العبارة الأولى: $$a = 2 \times \sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2 - \sqrt{60} + \frac{60}{\sqrt{60}}}$$
العبارة الثانية: $$b = \sqrt{64} + 4\sqrt{60} - \sqrt{540}$$
العبارة الثالثة: $$e = 3\sqrt{12} + \sqrt{48} - \sqrt{75} - \sqrt{3} + \sqrt{49}$$
التصحيح المفصل مع الشرح الكامل
أولاً، نحسب $$\sqrt{15} - 4$$. بما أن $$\sqrt{15} \approx 3.87$$، فإن $$\sqrt{15} - 4 \approx -0.13$$ وهو سالب.
نحسب $$(\sqrt{15} - 4)^2 = 15 - 8\sqrt{15} + 16 = 31 - 8\sqrt{15}$$
نحسب $$\sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15}$$
نحسب $$\frac{60}{\sqrt{60}} = \frac{60}{2\sqrt{15}} = \frac{30}{\sqrt{15}} = \frac{30\sqrt{15}}{15} = 2\sqrt{15}$$
إذن: $$a = 2 \times \sqrt{31 - 8\sqrt{15} - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{15}} = 2 \times \sqrt{31 - 8\sqrt{15}}$$
نحسب $$\sqrt{64} = 8$$
نحسب $$\sqrt{60} = 2\sqrt{15}$$ (كما حسبناها سابقاً)
نحسب $$\sqrt{540} = \sqrt{36 \times 15} = 6\sqrt{15}$$
إذن: $$b = 8 + 4 \times 2\sqrt{15} - 6\sqrt{15} = 8 + 8\sqrt{15} - 6\sqrt{15} = 8 + 2\sqrt{15}$$
نحسب $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$$
نحسب $$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$$
نحسب $$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$$
نحسب $$\sqrt{49} = 7$$
إذن: $$e = 3 \times 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} - \sqrt{3} + 7$$
$$e = 6\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} - \sqrt{3} + 7 = 4\sqrt{3} + 7$$
عند تبسيط $$\sqrt{60}$$، نبحث عن أكبر مربع كامل يقسم 60:
$$60 = 4 \times 15 = 2^2 \times 15$$
لذا $$\sqrt{60} = \sqrt{2^2 \times 15} = 2\sqrt{15}$$
هذه الطريقة تعمل مع جميع الجذور المربعة!
1) بين أن $$a = 8 - 2\sqrt{15}$$ و $$b = 8 + 2\sqrt{15}$$ و $$c = \sqrt{7} + 4\sqrt{3}$$
2) بين أن $$a \times b = 4$$ و استنتج علامة $$a$$
3) انشر و اختصر العبارة $$(2 + \sqrt{3})^2$$ ثم اختصر العبارة $$c$$
4) لتكن العبارة $$d = \sqrt{a} - \sqrt{b}$$
أ) بين أن $$d^2 = 12$$ ثم استنتج $$d$$
ب) بين أن $$d + 2c$$ عدد صحيح طبيعي
5) لتكن العبارة $$E = \frac{a}{b}$$ بين أن $$E = 31 - 8\sqrt{15}$$
6) اختصر كلا من العبارتين $$F = \frac{b}{4}a^2 - a$$ و $$G = \sqrt{a}(\sqrt{b} - \frac{1}{\sqrt{a}}) + \sqrt{b}(\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{b}})$$
الحلول الشاملة لجميع الأسئلة
من الحسابات السابقة، نعلم أن $$a = 2\sqrt{31 - 8\sqrt{15}}$$
لإثبات أن $$a = 8 - 2\sqrt{15}$$، نحسب $$(8 - 2\sqrt{15})^2 = 64 - 32\sqrt{15} + 60 = 124 - 32\sqrt{15}$$
وبالتالي $$\sqrt{a} = \sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$$، وهذا يعني $$a = 8 - 2\sqrt{15}$$ ✅
وقد أثبتنا سابقاً أن $$b = 8 + 2\sqrt{15}$$ ✅
$$a \times b = (8 - 2\sqrt{15})(8 + 2\sqrt{15})$$
باستخدام قانون الفرق بين مربعين $$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$$:
$$a \times b = 8^2 - (2\sqrt{15})^2 = 64 - 4 \times 15 = 64 - 60 = 4$$ ✅
بما أن $$a \times b = 4 > 0$$ و $$b = 8 + 2\sqrt{15} > 0$$، إذن $$a > 0$$ ✅
$$(2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \times 2 \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$$
من الحسابات السابقة، $$e = 4\sqrt{3} + 7 = 7 + 4\sqrt{3}$$
لذا $$c = \sqrt{e} = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$$ ✅
$$d = \sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{8 - 2\sqrt{15}} - \sqrt{8 + 2\sqrt{15}}$$
$$d^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab} = (8 - 2\sqrt{15}) + (8 + 2\sqrt{15}) - 2\sqrt{4}$$
$$d^2 = 16 - 4 = 12$$ ✅، إذن $$d = \pm 2\sqrt{3}$$
بما أن $$a < b$$، فإن $$\sqrt{a} < \sqrt{b}$$، لذا $$d = -2\sqrt{3}$$
$$d + 2c = -2\sqrt{3} + 2(2 + \sqrt{3}) = -2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} = 4$$ وهو عدد صحيح طبيعي ✅
$$E = \frac{a}{b} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{8 + 2\sqrt{15}}$$
نضرب البسط والمقام في $$(8 - 2\sqrt{15})$$:
$$E = \frac{(8 - 2\sqrt{15})^2}{(8 + 2\sqrt{15})(8 - 2\sqrt{15})} = \frac{(8 - 2\sqrt{15})^2}{4}$$
$$E = \frac{64 - 32\sqrt{15} + 60}{4} = \frac{124 - 32\sqrt{15}}{4}$$
$$E = 31 - 8\sqrt{15}$$ ✅
للعبارة F:
$$F = \frac{b}{4}a^2 - a = \frac{8 + 2\sqrt{15}}{4}(8 - 2\sqrt{15})^2 - (8 - 2\sqrt{15})$$
$$= \frac{8 + 2\sqrt{15}}{4} \times 4 \times 31 - 8\sqrt{15} - (8 - 2\sqrt{15})$$
$$F = (8 + 2\sqrt{15}) \times 31 - 8 + 2\sqrt{15} = 248 + 62\sqrt{15} - 8 + 2\sqrt{15} = 240 + 64\sqrt{15}$$
للعبارة G:
$$G = \sqrt{a}(\sqrt{b} - \frac{1}{\sqrt{a}}) + \sqrt{b}(\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{b}})$$
$$= \sqrt{a}\sqrt{b} - 1 + \sqrt{b}\sqrt{a} - 1$$
$$G = 2\sqrt{ab} - 2 = 2\sqrt{4} - 2 = 4 - 2 = 2$$
عند حساب $$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$$، استخدم الصيغة: $$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy}$$
وتذكر أن $$\sqrt{a} - \sqrt{b}$$ سالب إذا كان $$a < b$$
لترشيد المقام، اضرب في المرافق الحسابي
بين أن $$a = 8 - 2\sqrt{15}$$ و $$b = 8 + 2\sqrt{15}$$ و $$c = \sqrt{7} + 4\sqrt{3}$$
ثم احسب $$\sqrt{a}$$، $$\sqrt{b}$$، و $$\sqrt{c}$$ باستخدام طريقة التحليل المتقدمة
الطريقة المتقدمة لحساب الجذور المركبة
نبحث عن عددين $$x$$ و $$y$$ بحيث $$(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = 7 + 4\sqrt{3}$$
من التطوير: $$(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy}$$
بمقارنة المعاملات: $$x + y = 7$$ و $$2\sqrt{xy} = 4\sqrt{3}$$
من المعادلة الثانية: $$\sqrt{xy} = 2\sqrt{3}$$، إذن $$xy = 12$$
إذن $$x$$ و $$y$$ جذرا المعادلة التربيعية: $$t^2 - 7t + 12 = 0$$
بالتحليل: $$(t - 3)(t - 4) = 0$$، إذن $$t = 3$$ أو $$t = 4$$
لذا $$\sqrt{c} = \sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}$$ ✅
لحساب $$\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$$، نبحث عن $$x$$ و $$y$$ بحيث $$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = 8 - 2\sqrt{15}$$
من التطوير: $$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy}$$
بمقارنة المعاملات: $$x + y = 8$$ و $$2\sqrt{xy} = 2\sqrt{15}$$
من المعادلة الثانية: $$xy = 15$$
إذن $$x$$ و $$y$$ جذرا المعادلة: $$t^2 - 8t + 15 = 0$$
بالتحليل: $$(t - 3)(t - 5) = 0$$، إذن $$t = 3$$ أو $$t = 5$$
لذا $$\sqrt{a} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$$ و $$\sqrt{b} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$$ ✅
$$(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = 5 + 3 - 2\sqrt{15} = 8 - 2\sqrt{15} = a$$ ✅
$$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 5 + 3 + 2\sqrt{15} = 8 + 2\sqrt{15} = b$$ ✅
$$(2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} = c$$ ✅