1
نعتبر العبارات التالية:
\( a = 2 \times [(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + 2\sqrt{15}] \)
\( b = \sqrt{64} + 4\sqrt{60} - \sqrt{540} \)
\( c = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \)
بيّن أن: \(a=16\), \(b=8+2\sqrt{15}\) و \(c=2+\sqrt{3}\).
\( a = 2 \times [(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + 2\sqrt{15}] \)
\( b = \sqrt{64} + 4\sqrt{60} - \sqrt{540} \)
\( c = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \)
بيّن أن: \(a=16\), \(b=8+2\sqrt{15}\) و \(c=2+\sqrt{3}\).
أ) تبسيط العبارة a
\[ a = 2 \times [(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + 2\sqrt{15}] \]
\[ (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15} \]
\[ a = 2 \times [(8 - 2\sqrt{15}) + 2\sqrt{15}] = 2 \times [8] = 16 \]
ب) تبسيط العبارة b
\[ b = \sqrt{64} + 4\sqrt{60} - \sqrt{540} \]
\[ \sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15} \]
\[ \sqrt{540} = \sqrt{36 \times 15} = 6\sqrt{15} \]
\[ b = 8 + 4(2\sqrt{15}) - 6\sqrt{15} = 8 + 8\sqrt{15} - 6\sqrt{15} = 8 + 2\sqrt{15} \]
ج) تبسيط العبارة c
\[ c = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \]
\[ \text{نلاحظ أن ما بداخل الجذر يمكن كتابته على شكل جذاء معتبر:} \]
\[ (2+\sqrt{3})^2 = 2^2 + 2(2)\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} \]
\[ c = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = |2+\sqrt{3}| = 2+\sqrt{3} \]
2
إذا اعتبرنا \(a = 8 - 2\sqrt{15}\) و \(b=8+2\sqrt{15}\)، بين أن \( a \times b = 4 \).
حساب الجداء a x b
\[ a \times b = (8 - 2\sqrt{15})(8 + 2\sqrt{15}) \]
\[ \text{نستخدم الجذاء المعتبر }(x-y)(x+y) = x^2 - y^2: \]
\[ = (8)^2 - (2\sqrt{15})^2 = 64 - (4 \times 15) = 64 - 60 = 4 \]
3
أنشر وبسط \( ( \sqrt{5} - \sqrt{3} )^2 \). ماذا تستنتج؟
النشر والتبسيط
\[ (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{5})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 \]
\[ = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15} \]
الاستنتاج
نستنتج أن العبارة \( \sqrt{8 - 2\sqrt{15}} \) يمكن تبسيطها.
\[ \sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{3}| = \sqrt{5} - \sqrt{3} \]
(لأن \(\sqrt{5} > \sqrt{3}\))
4
لتكن \( d = \sqrt{a} - \sqrt{b} \)
أ) ما هي إشارة d؟
ب) أحسب \(d^2\)
ج) استنتج قيمة d.
أ) ما هي إشارة d؟
ب) أحسب \(d^2\)
ج) استنتج قيمة d.
أ) إشارة d
لدينا \(a = 8 - 2\sqrt{15}\) و \(b = 8 + 2\sqrt{15}\).
بما أن \(b > a\)، فإن \(\sqrt{b} > \sqrt{a}\).
إذن، \(d = \sqrt{a} - \sqrt{b}\) هو عدد سالب.
ب) حساب \(d^2\)
\[ d^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b \]
\[ a+b = (8-2\sqrt{15})+(8+2\sqrt{15}) = 16 \]
\[ ab = 4 \implies \sqrt{ab} = \sqrt{4} = 2 \]
\[ d^2 = (a+b) - 2\sqrt{ab} = 16 - 2(2) = 12 \]
ج) استنتاج قيمة d
لدينا \(d^2 = 12\). هذا يعني أن \( d = \sqrt{12} \) أو \( d = -\sqrt{12} \).
بما أننا أثبتنا في (أ) أن \(d\) عدد سالب، فإننا نختار الحل السالب.
\[ d = -\sqrt{12} = -\sqrt{4 \times 3} = -2\sqrt{3} \]