تمارين رياضية حول الأعداد الصحيحة النسبية مع تصحيح تفصيلي
1) احسب العبارات التالية علما أن:
\( a + b = -10 \)
\[ E = -(1-a) + \sqrt{3} - [ -b - (1-a) ] - (2-a) \] \[ F = -b - [ -\sqrt{3} - (1-a) - b ] - (b-2) \]
\( a + b = -10 \)
\[ E = -(1-a) + \sqrt{3} - [ -b - (1-a) ] - (2-a) \] \[ F = -b - [ -\sqrt{3} - (1-a) - b ] - (b-2) \]
التصحيح:
لنحسب \(E\) و \(F\) خطوة بخطوة بفرض أن \(a + b = -10\): حساب \(E\):
نوسع كل الأقواس ونجمع الحدود المشابهة:
\[ E = -(1-a) + \sqrt{3} - [ -b - (1-a) ] - (2-a) \] اعلم أن \( -[ -b - (1-a)] = b + 1 - a \). بالتعويض: \[ = -(1-a) + \sqrt{3} + b + 1 - a - (2-a) \] \[ = (-1 + a) + \sqrt{3} + b + 1 - a - 2 + a \] لاحظ أن \(+a -a +a = a\), \(-1+1-2 = -2\): \[ = a + \sqrt{3} + b -2 \] وبما أن \(a + b = -10\): \[ = (-10) + \sqrt{3} - 2 = -12 + \sqrt{3} \]
حساب \(F\):
\[ F = -b - [ -\sqrt{3} - (1-a) - b ] - (b-2) \] أولا: \( - [ -\sqrt{3} - (1-a) - b ] = \sqrt{3} + 1 - a + b \), فتصبح: \[ F = -b + \sqrt{3} + 1 - a + b - b + 2 \] \[ = \sqrt{3} + 1 - a + 2 - b \] \[ = \sqrt{3} + 3 - a - b \] وبما أن \(a + b = -10\): \[ = \sqrt{3} + 3 - ( -10 ) = \sqrt{3} + 13 \] أمثلة تدريبية:
إذا كان \( a = -6, b = -4 \) (ممكن لأن المجموع يساوي -10)، فاحسب نفس التعبيرات وستجد نفس النتائج العددية والتفسيرية.
لنحسب \(E\) و \(F\) خطوة بخطوة بفرض أن \(a + b = -10\): حساب \(E\):
نوسع كل الأقواس ونجمع الحدود المشابهة:
\[ E = -(1-a) + \sqrt{3} - [ -b - (1-a) ] - (2-a) \] اعلم أن \( -[ -b - (1-a)] = b + 1 - a \). بالتعويض: \[ = -(1-a) + \sqrt{3} + b + 1 - a - (2-a) \] \[ = (-1 + a) + \sqrt{3} + b + 1 - a - 2 + a \] لاحظ أن \(+a -a +a = a\), \(-1+1-2 = -2\): \[ = a + \sqrt{3} + b -2 \] وبما أن \(a + b = -10\): \[ = (-10) + \sqrt{3} - 2 = -12 + \sqrt{3} \]
حساب \(F\):
\[ F = -b - [ -\sqrt{3} - (1-a) - b ] - (b-2) \] أولا: \( - [ -\sqrt{3} - (1-a) - b ] = \sqrt{3} + 1 - a + b \), فتصبح: \[ F = -b + \sqrt{3} + 1 - a + b - b + 2 \] \[ = \sqrt{3} + 1 - a + 2 - b \] \[ = \sqrt{3} + 3 - a - b \] وبما أن \(a + b = -10\): \[ = \sqrt{3} + 3 - ( -10 ) = \sqrt{3} + 13 \] أمثلة تدريبية:
إذا كان \( a = -6, b = -4 \) (ممكن لأن المجموع يساوي -10)، فاحسب نفس التعبيرات وستجد نفس النتائج العددية والتفسيرية.
2) احسب \(E\) إذا كان \( a = 2 - b \):
التصحيح:
إذا كان \(a = 2 - b\) و\(a + b = -10\), نستخرج \(a\) و \(b\):
\[ a + b = -10 \Rightarrow (2 - b) + b = -10 \Rightarrow 2 = -10 \Rightarrow لا يوجد حل \] إذًا، هذه الحالة غير ممكنة ولا يقبلها المعطى.
ملاحظة للمتعثرين: عندما تصادف حالة كهذه في التمارين تحتاج لمقارنة الشروط قبل محاولة الحساب الفعلي.
إذا كان \(a = 2 - b\) و\(a + b = -10\), نستخرج \(a\) و \(b\):
\[ a + b = -10 \Rightarrow (2 - b) + b = -10 \Rightarrow 2 = -10 \Rightarrow لا يوجد حل \] إذًا، هذه الحالة غير ممكنة ولا يقبلها المعطى.
ملاحظة للمتعثرين: عندما تصادف حالة كهذه في التمارين تحتاج لمقارنة الشروط قبل محاولة الحساب الفعلي.
3) احسب \(F\) إذا كان \(a\) و \(b\) متقابلان:
التصحيح:
إذا كان \(a\) و \(b\) متقابلان فهذا يعني \(a = -b\). لكن لدينا أيضاً \(a + b = -10\):
\[ a + b = -10 \Rightarrow (-b) + b = -10 \Rightarrow 0 = -10 \] لا يوجد حل أو ليست هناك قيم تحقق الشرطين معا.
ملاحظة هامة: عند جمع عددين متقابلين يكون المجموع دائما صفر. إذا كان المجموع عدداً غير صفر فهذا مستحيل.
إذا كان \(a\) و \(b\) متقابلان فهذا يعني \(a = -b\). لكن لدينا أيضاً \(a + b = -10\):
\[ a + b = -10 \Rightarrow (-b) + b = -10 \Rightarrow 0 = -10 \] لا يوجد حل أو ليست هناك قيم تحقق الشرطين معا.
ملاحظة هامة: عند جمع عددين متقابلين يكون المجموع دائما صفر. إذا كان المجموع عدداً غير صفر فهذا مستحيل.
4) أوجد \(a+b\) إذا علمت أن \(F\) و \(\sqrt{3}\) متقابلان:
التصحيح:
إذا كان \(F = -\sqrt{3}\)، من نتيجة السؤال الأول:
\[ F = \sqrt{3} + 13 \] إذًا:
\[ \sqrt{3} + 13 = -\sqrt{3} \] ننقل \(\sqrt{3}\) للطرف الآخر: \[ 13 = -2\sqrt{3} \implies \sqrt{3} = -\frac{13}{2} \] هذا مستحيل لأن الجذر التربيعي دائماً موجب. استنتاج: لا يوجد عددان صحيحان نسبيان يحققان هذا الشرط.
إذا كان \(F = -\sqrt{3}\)، من نتيجة السؤال الأول:
\[ F = \sqrt{3} + 13 \] إذًا:
\[ \sqrt{3} + 13 = -\sqrt{3} \] ننقل \(\sqrt{3}\) للطرف الآخر: \[ 13 = -2\sqrt{3} \implies \sqrt{3} = -\frac{13}{2} \] هذا مستحيل لأن الجذر التربيعي دائماً موجب. استنتاج: لا يوجد عددان صحيحان نسبيان يحققان هذا الشرط.
5) جد العدد الصحيح النسبي \(x\) في كل من الحالات التالية:
- \( 1 - ( -3 - |x| ) = -\Pi \)
- \( -2 - (x - \sqrt{3}) = -1 \)
- \( \frac{1}{3} - (x - \sqrt{2}) = -4 \)
الحلول خطوة بخطوة:
في كل الحالات المطروحة، لا يوجد حل صحيح نسبي \(x\) لأن التعويض يؤدي إما إلى حلول غير صحيحة نسبية أو سالبة للقيمة المطلقة.
مثال توضيحي:
إذا كان لدينا \( |x| = 5 \)، فالحلول \( x = 5 \) أو \( x = -5 \)، ولا يمكن أن تكون القيمة سالبة أو غير صحيحة نسبية.
-
\( 1 - ( -3 - |x| ) = -\Pi \)
نبسط: \[ 1 + 3 + |x| = -\Pi \ 4 + |x| = -\Pi \ |x| = -\Pi - 4 \] و\(|x|\) هو قيمة موجبة أو صفر، إذن الحل مستحيل عندما يكون الناتج سالباً أو ليس عدداً صحيحاً. -
\( -2 - (x - \sqrt{3}) = -1 \)
\[ -2 - x + \sqrt{3} = -1 \ -x = -1 + 2 - \sqrt{3} \ -x = 1 - \sqrt{3} \ x = \sqrt{3} - 1 \] هذا الحل ليس عدداً صحيحاً نسبياً إذ أن \(\sqrt{3} - 1\) غير صحيح نسبي. -
\( \frac{1}{3} - (x - \sqrt{2}) = -4 \)
\[ \frac{1}{3} - x + \sqrt{2} = -4 \ -x = -4 - \frac{1}{3} - \sqrt{2} \ x = 4 + \frac{1}{3} + \sqrt{2} \] أيضاً ليس عدداً صحيحاً نسبياً بسبب وجود \(\sqrt{2}\).
في كل الحالات المطروحة، لا يوجد حل صحيح نسبي \(x\) لأن التعويض يؤدي إما إلى حلول غير صحيحة نسبية أو سالبة للقيمة المطلقة.
مثال توضيحي:
إذا كان لدينا \( |x| = 5 \)، فالحلول \( x = 5 \) أو \( x = -5 \)، ولا يمكن أن تكون القيمة سالبة أو غير صحيحة نسبية.