الأستاذ: بولعراس | القسم: 9 أس | التاريخ: أكتوبر 2012
1) القسمة على 12: ليكون 3b1a قابلاً للقسمة على 12، يجب أن يقبل القسمة على 3 و 4.
- على 4: يجب أن يكون 1a قابلاً للقسمة على 4، إذن \(a=2\) أو \(a=6\).
- على 3: يجب أن يكون مجموع الأرقام \(3+b+1+a = 4+a+b\) من مضاعفات 3.
إذا \(a=2\): \(6+b\) من مضاعفات 3، إذن \(b \in \{0, 3, 6, 9\}\). الحلول: (2,0), (2,3), (2,6), (2,9).
إذا \(a=6\): \(10+b\) من مضاعفات 3، إذن \(b \in \{2, 5, 8\}\). الحلول: (6,2), (6,5), (6,8).
2) القسمة على 15: ليكون 3b2a قابلاً للقسمة على 15، يجب أن يقبل القسمة على 3 و 5.
- على 5: يجب أن يكون \(a=0\) أو \(a=5\).
- على 3: يجب أن يكون مجموع الأرقام \(3+b+2+a = 5+a+b\) من مضاعفات 3.
إذا \(a=0\): \(5+b\) من مضاعفات 3، إذن \(b \in \{1, 4, 7\}\). الحلول: (0,1), (0,4), (0,7).
إذا \(a=5\): \(10+b\) من مضاعفات 3، إذن \(b \in \{2, 5, 8\}\). الحلول: (5,2), (5,5), (5,8).
3) القسمة على 46: نبسط العبارة:
\( 5 \times (2^2)^{15} + (2^4)^7 + 2^{29} = 5 \times 2^{30} + 2^{28} + 2^{29} \)
\( = 2^{28} \times (5 \times 2^2 + 1 + 2^1) = 2^{28} \times (20 + 1 + 2) = 2^{28} \times 23 \)
\( = 2^{27} \times 2 \times 23 = 2^{27} \times 46 \). بما أن العدد هو جداء 46 وعدد صحيح، فهو يقبل القسمة على 46.
أ) نعتبر المجموعة \( A = \{\frac{5}{3}; \sqrt{16}; -7; 1.45; \sqrt{0.36}\} \)
ب) أوجد عناصر المجموعات التالية: \( A \cap \mathbb{R} \); \( A \cap \mathbb{Q} \); \( A \cap \mathbb{Z} \); \( A \cap \mathbb{N} \).
ج) أكمل بـ \( \in \), \( \notin \), \( \subset \) أو \( \not\subset \): \( \mathbb{ID}_- \dots \mathbb{Q} \); \( \mathbb{Q} \dots \mathbb{ID} \); \( \mathbb{N}^* \dots \mathbb{ID} \).
أ) تبسيط المجموعة A:
\( A = \{\frac{5}{3}; 4; -7; 1.45; 0.6\} \)
ب) عناصر المجموعات:
\( A \cap \mathbb{R} = A = \{\frac{5}{3}, 4, -7, 1.45, 0.6\} \)
\( A \cap \mathbb{Q} = A \) (كل عناصر A أعداد كسرية)
\( A \cap \mathbb{Z} = \{4, -7\} \)
\( A \cap \mathbb{N} = \{4\} \)
ج) إكمال الفراغات:
\( \mathbb{ID}_- \subset \mathbb{Q} \) (كل عدد عشري سالب هو عدد كسري)
\( \mathbb{Q} \not\subset \mathbb{ID} \) (مثال: 1/3 عدد كسري وليس عشري)
\( \mathbb{N}^* \subset \mathbb{ID} \) (كل عدد صحيح طبيعي غير منعدم هو عدد عشري)
لكل سؤال إجابة واحدة صحيحة حددها:
| المعطيات | a | b | c |
|---|---|---|---|
| القيمة التقريبية بالزيادة بثلاثة أرقام بعد الفاصل للعدد 2.7514 هي: | 2.751 | 2.757 | 2.752 |
| الرقم الذي رتبته 2011 بعد الفاصل للعدد 2.14275 هو: | 2 | 7 | 5 |
| العدد \( 3^{20} + 2 \times 25^{160} \) يمثل محيط: | مثلث متقايس الأضلاع | مربع | سداسي متقايس الأضلاع |
| المعطيات | a | b | c |
|---|---|---|---|
| القيمة التقريبية بالزيادة بثلاثة أرقام بعد الفاصل للعدد 2.7514 هي: | 2.751 | 2.757 | 2.752 |
| الرقم الذي رتبته 2011 بعد الفاصل للعدد 2.14275 هو: | 2 | 7 | 5 |
| العدد \( 3^{20} + 2 \times 25^{160} \) يمثل محيط: | مثلث متقايس الأضلاع | مربع | سداسي متقايس الأضلاع |
توضيح:
1) القيمة المقربة بـ 3 أرقام بالنقصان هي 2.751. إذن بالزيادة هي 2.751 + 0.001 = 2.752.
2) رتبة الرقم 5 هي 5، 10، 15، ... أي من مضاعفات 5. بما أن 2010 من مضاعفات 5، فإن الرقم الذي رتبته 2010 هو 5. إذن الرقم الذي رتبته 2011 هو 2. (يبدو أن هناك خطأ في الإجابة المقترحة في أوراق مشابهة، الإجابة المنطقية هي 2).
3) هذا السؤال يتطلب معرفة مسبقة بخصائص القوى. العدد ينتهي بـ 1 + 2 * 5 = ...1. لا يمكن استنتاج أي علاقة مباشرة بالمحيط بدون سياق إضافي. الإجابات المقترحة قد تكون اعتباطية.
أكمل الجدول التالي بالإجابة الصحيحة:
| المعطيات | 12 | 15 | 6 |
|---|---|---|---|
| العدد 527142 يقبل القسمة على |
| المعطيات | 9 | 4 | 3 |
|---|---|---|---|
| الرقم الذي رتبته 321 بعد الفاصل في الكتابة العشرية الدورية \(1.2\overline{5943}\) هو |
| المعطيات | عشري | كسري | أصم |
|---|---|---|---|
| العدد \( \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{98}} \) هو |
| المعطيات | \( E=-2\pi+1 \) | \( E=-1 \) | \( E=1 \) |
|---|---|---|---|
| ليكن \( E=-a+b-\pi \) حيث \( b \in \mathbb{R} \) و \( a \in \mathbb{R} \). علما أن \( a-b = \pi-1 \) إذا |
| المعطيات | 2.3 | 2.03 | 2.30 |
|---|---|---|---|
| الكتابة العشرية الدورية للعدد الكسري \( \frac{7}{3} \) هي |
1) العدد 527142: مجموع أرقامه 21 (يقبل على 3) وهو زوجي (يقبل على 2). إذن يقبل القسمة على 6.
2) الرقم الذي رتبته 321 في \(1.2\overline{5943}\): لدينا 320 رقم بعد الرقم 2. طول الدور هو 4. \(320 \div 4 = 80\) بدون باق. إذن الرقم هو آخر رقم في الدور، وهو 3.
3) العدد \( \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{98}} = \frac{\sqrt{36 \times 2}}{\sqrt{49 \times 2}} = \frac{6\sqrt{2}}{7\sqrt{2}} = \frac{6}{7} \). هذا العدد كسري.
4) لدينا \( a-b=\pi-1 \)، إذن \( b-a = -(\pi-1) = 1-\pi \). \( E = -a+b-\pi = (b-a)-\pi = (1-\pi)-\pi = 1-2\pi \). الإجابة \( E = -2\pi+1 \).
5) \( \frac{7}{3} = 2.333... = 2.\overline{3} \). الإجابة 2.3 (مع اعتبار أن الخط فوق الـ3 ضمني).
نعتبر العبارة A حيث x و y عددان حقيقيان:
\( A = y + \sqrt{(-2)^2} - [x - (-1 - \sqrt{2} + y)] + \sqrt{3} - (y - \sqrt{2} + 1) \)
1) تبسيط A:
\( A = y + 2 - [x + 1 + \sqrt{2} - y] + \sqrt{3} - y + \sqrt{2} - 1 \)
\( A = y + 2 - x - 1 - \sqrt{2} + y + \sqrt{3} - y + \sqrt{2} - 1 \)
نجمع الحدود المتشابهة:
\( A = (y+y-y) - x + (2-1-1) + (-\sqrt{2}+\sqrt{2}) + \sqrt{3} \)
\( A = y - x + 0 + 0 + \sqrt{3} \)
إذن، \( A = y - x + \sqrt{3} \).
2) حساب A:
لدينا \( x - y = \sqrt{3} - 5 \)، هذا يعني أن \( y - x = -(x-y) = -(\sqrt{3} - 5) = 5 - \sqrt{3} \).
نعوض في عبارة A: \( A = (y-x) + \sqrt{3} = (5 - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = 5 \).
3) إيجاد x:
A و \( y - \sqrt{3} \) متقابلان يعني أن مجموعهما يساوي صفر.
\( A + (y - \sqrt{3}) = 0 \)
\( (y - x + \sqrt{3}) + (y - \sqrt{3}) = 0 \)
\( 2y - x = 0 \). إذن، العلاقة هي \( x = 2y \).