تمارين متنوعة في الجبر

الحل الكامل

1) قابلية القسمة على 12:
لكي يكون A قابلاً للقسمة على 12، يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 3 وعلى 4.
- القسمة على 4: يجب أن يكون العدد المكون من آخر رقمين (7b) قابلاً للقسمة على 4. هذا يتحقق إذا كان \( b=2 \) (للعدد 72) أو \( b=6 \) (للعدد 76).
- القسمة على 3: يجب أن يكون مجموع أرقامه \(3+5+a+7+b = 15+a+b\) قابلاً للقسمة على 3. بما أن 15 يقبل القسمة على 3، يجب أن يكون \(a+b\) قابلاً للقسمة على 3.
الحالة 1: إذا كان \(b=2\)، فإن \(a+2\) يجب أن يقبل القسمة على 3. الحلول الممكنة لـ a هي 1، 4، 7.
الحالة 2: إذا كان \(b=6\)، فإن \(a+6\) يجب أن يقبل القسمة على 3. الحلول الممكنة لـ a هي 0، 3، 6، 9.
الحلول الممكنة (a,b) هي: (1,2), (4,2), (7,2), (0,6), (3,6), (6,6), (9,6).

2) قابلية القسمة على 6:
لكي يقبل العدد القسمة على 6، يجب أن يقبل القسمة على 2 وعلى 3.
- القسمة على 2: \(2^{121}\) و \(2^{80}\) هما عددان زوجيان، فمجموعهما عدد زوجي. إذن العدد يقبل القسمة على 2.
- القسمة على 3: ندرس باقي قسمة قوى العدد 2 على 3. باقي قسمة \(2^1=2\) على 3 هو 2. باقي قسمة \(2^2=4\) على 3 هو 1. نلاحظ أن باقي القسمة هو 2 إذا كان دليل القوة فرديا، و 1 إذا كان دليل القوة زوجيا. دليل القوة 121 فردي, إذن باقي قسمة \(2^{121}\) على 3 هو 2. دليل القوة 80 زوجي, إذن باقي قسمة \(2^{80}\) على 3 هو 1. باقي قسمة 7 على 3 هو 1. إذن، باقي قسمة \( 7 \times 2^{80} \) على 3 هو نفس باقي قسمة \( 1 \times 1 \), وهو 1. وبالتالي، باقي قسمة المجموع \( 2^{121} + 7 \times 2^{80} \) على 3 هو نفس باقي قسمة \( 2 + 1 = 3 \) على 3, وهو 0. فالعدد يقبل القسمة على 3.
بما أن العدد يقبل القسمة على 2 و 3، فهو يقبل القسمة على 6.

3) عدد الأكلات الكاملة:
باستخدام مبدأ الضرب، عدد الأكلات الممكنة هو حاصل ضرب عدد الخيارات في كل مرحلة.
عدد الخيارات = (عدد المفتحات) × (عدد الأكلات الرئيسية) × (عدد الغلال)
عدد الخيارات = 2 × 4 × 3 = 24.
يوجد 24 أكلة كاملة ممكنة.

الحل الكامل

1) تحديد المجموعات:
أولاً، نبسط عناصر E: \(-\frac{8}{2}=-4\) و \( \sqrt{\frac{75}{12}} = \sqrt{\frac{25 \times 3}{4 \times 3}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2.5 \). إذن \( E = \{-4, 3.14, \sqrt{0.9}, \pi, 2.5\} \).
- \( E \cap \mathbb{Z} = \{-4\} \)
- \( E \cap \mathbb{N} = \emptyset \)
- \( E \cap \mathbb{ID} = \{-4, 3.14, 2.5\} \)
- \( E \cap \mathbb{Q} = \{-4, 3.14, 2.5\} \)
- \( E \cap \mathbb{R} = E \)

2) تعيين النقاط:
نحسب القيم التقريبية: \( \sqrt{2} \approx 1.41 \) و \( 1-\sqrt{2} \approx -0.41 \).
- النقطة M: فاصلتها \( \sqrt{2} \). تقع على يمين O بمسافة \( 1.41 \times 2 \approx 2.8 \) سم.
- النقطة N: فاصلتها \( 1-\sqrt{2} \). تقع على يسار O بمسافة \( 0.41 \times 2 \approx 0.8 \) سم.

الحل الكامل

1) أ- تبسيط G و H:
- \( G = \sqrt{5}-[\sqrt{3}-1-x]-[\sqrt{5}-\sqrt{3}+1]+\sqrt{5}-2+\pi \)
\( G = \sqrt{5}-\sqrt{3}+1+x-\sqrt{5}+\sqrt{3}-1+\sqrt{5}-2+\pi = x+\sqrt{5}-2+\pi \)
- \( H = \sqrt{3}-\pi-y-[\sqrt{5}-2+\sqrt{3}] = \sqrt{3}-\pi-y-\sqrt{5}+2-\sqrt{3} = 2-\pi-y-\sqrt{5} \)

1) ب- حالة G و H متقابلان:
إذا كان G و H متقابلان، فإن \( G+H=0 \).
\( (x+\sqrt{5}-2+\pi) + (2-\pi-y-\sqrt{5}) = 0 \)
\( x-y + (\sqrt{5}-\sqrt{5}) + (-2+2) + (\pi-\pi) = 0 \)
\( x-y=0 \)، إذن \( x=y \).

2) حساب H:
إذا كان \( y=2-\sqrt{5} \):
\( H = 2-\pi-(2-\sqrt{5})-\sqrt{5} = 2-\pi-2+\sqrt{5}-\sqrt{5} \)
\( H = -\pi \)