تمارين في الجبر والمجموعات

الحل الكامل

I) تحديد الأعداد ذات ثلاثة أرقام:

نبحث عن أعداد على الشكل `مئات عشرات آحاد` من المجموعة \( \{0, 1, 2, 4, 5\} \).
الشروط هي: 1) رقم المئات لا يساوي صفر. 2) رقم العشرات من مضاعفات رقم المئات. 3) رقم الآحاد = رقم المئات + رقم العشرات.

• إذا كان رقم المئات 1:
  • العشرات=0، الآحاد=1+0=1. العدد 101.
  • العشرات=1، الآحاد=1+1=2. العدد 112.
  • العشرات=4، الآحاد=1+4=5. العدد 145.
• إذا كان رقم المئات 2:
  • العشرات=0، الآحاد=2+0=2. العدد 202.
  • العشرات=2، الآحاد=2+2=4. العدد 224.
• إذا كان رقم المئات 4:
  • العشرات=0، الآحاد=4+0=4. العدد 404.
• إذا كان رقم المئات 5:
  • العشرات=0، الآحاد=5+0=5. العدد 505.

إذن، مجموعة الأعداد هي: \( \{101, 112, 145, 202, 224, 404, 505\} \).

---

II) حل أسئلة المجموعات:

أولاً: تبسيط عناصر المجموعتين A و B.

عناصر A: \( \sqrt{0.009} \notin \mathbb{Q} \), \( 3.14 \in \mathbb{Q} \), \( -\frac{7}{6} \in \mathbb{Q} \), \( -\sqrt{\frac{147}{27}} = -\sqrt{\frac{49 \times 3}{9 \times 3}} = -\sqrt{\frac{49}{9}} = -\frac{7}{3} \in \mathbb{Q} \), \( \sqrt{2}-1.5 \notin \mathbb{Q} \), \( \sqrt{5^2-3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4 \in \mathbb{Q} \).

عناصر B: \( 0.03 \in \mathbb{D} \), \( -1.16 \in \mathbb{D} \), \( 2 \in \mathbb{D} \), \( \pi \notin \mathbb{Q} \), \( \sqrt{3+\frac{6}{25}} = \sqrt{\frac{75+6}{25}} = \sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{9}{5} = 1.8 \in \mathbb{D} \).

1) إيجاد المجموعات:

• \( A \cap \mathbb{Q} = \{3.14; -\frac{7}{6}; -\frac{7}{3}; 4\} \)
• \( A \cap \mathbb{I} = \{\sqrt{0.009}; \sqrt{2}-1.5\} \)
• \( B \cap \mathbb{D} = \{0.03; -1.16; 2; 1.8\} \)
• \( A \cap B = \emptyset \) (لا يوجد عناصر مشتركة)

2) تحديد المجموعة C:

الشرط \( |x| = -x \) يعني أن x يجب أن يكون عدداً سالباً أو صفراً ( \( x \le 0 \) ).

نبحث عن الأعداد غير الموجبة في المجموعة A المبسطة: \( \{ \sqrt{0.009}; 3.14; -\frac{7}{6}; -\frac{7}{3}; \sqrt{2}-1.5; 4 \} \)

• \( -\frac{7}{6} < 0 \)
• \( -\frac{7}{3} < 0 \)
• \( \sqrt{2}-1.5 \approx 1.414 - 1.5 = -0.086 < 0 \)

$$ C = \left\{-\frac{7}{6}; -\frac{7}{3}; \sqrt{2}-1.5\right\} $$