تمارين في الجبر

الحل الكامل

1) تبيين صيغ A و B:

بالنسبة لـ A:

بما أن \( \pi \approx 3.14 \) و \( \sqrt{3} \approx 1.73 \)، فإن \( \sqrt{3}-\pi < 0 \). إذن \( |\sqrt{3}-\pi| = -(\sqrt{3}-\pi) = \pi-\sqrt{3} \). وأيضاً \( \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \).

\( A = (\pi - \sqrt{3}) - \left[-(a+\frac{1}{3}) + \pi - \frac{2}{3}\right] \)

\( A = \pi - \sqrt{3} - \left[-a - \frac{1}{3} + \pi - \frac{2}{3}\right] \)

\( A = \pi - \sqrt{3} - [-a + \pi - (\frac{1}{3}+\frac{2}{3})] \)

\( A = \pi - \sqrt{3} - [-a + \pi - 1] \)

\( A = \pi - \sqrt{3} + a - \pi + 1 \)

$$ A = a + 1 - \sqrt{3} $$

بالنسبة لـ B:

لدينا \( \sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2 \)، و \( 0.5 = \frac{1}{2} \)، و \( \sqrt{4} = 2 \).

\( B = -(b-2) - \left[(\frac{1}{2}-b) - (-\frac{5}{2}+2)\right] + (\sqrt{5}-b) \)

\( B = -b+2 - \left[\frac{1}{2}-b - (-\frac{1}{2})\right] + \sqrt{5}-b \)

\( B = -b+2 - \left[\frac{1}{2}-b + \frac{1}{2}\right] + \sqrt{5}-b \)

\( B = -b+2 - [1-b] + \sqrt{5}-b \)

\( B = -b+2 - 1 + b + \sqrt{5}-b \)

\( B = (-b+b-b) + (2-1) + \sqrt{5} \)

$$ B = -b + 1 + \sqrt{5} \quad \text{أو} \quad B = \sqrt{5} - b + 1 $$

---

2) حساب B:

إذا كان \( b = \sqrt{5} - \frac{1}{2} \), نعوض في الصيغة المختصرة لـ B:

\( B = \sqrt{5} - (\sqrt{5} - \frac{1}{2}) + 1 \)

\( B = \sqrt{5} - \sqrt{5} + \frac{1}{2} + 1 \)

$$ B = \frac{3}{2} $$

---

3) حساب |A - B|:

إذا كان a و b متقابلان، فإن \( a = -b \)، أي \( a+b = 0 \).

أولاً، نحسب الفرق A - B:

\( A - B = (a + 1 - \sqrt{3}) - (\sqrt{5} - b + 1) \)

\( A - B = a + 1 - \sqrt{3} - \sqrt{5} + b - 1 \)

\( A - B = (a+b) - \sqrt{3} - \sqrt{5} \)

نعوض بقيمة \( a+b=0 \):

\( A - B = 0 - \sqrt{3} - \sqrt{5} = -(\sqrt{3} + \sqrt{5}) \)

الآن نحسب القيمة المطلقة:

\( |A - B| = |-(\sqrt{3} + \sqrt{5})| \)

بما أن \( \sqrt{3} + \sqrt{5} \) هو عدد موجب، فإن:

$$ |A - B| = \sqrt{3} + \sqrt{5} $$