تمارين في الجبر

الحل الكامل

1) تبسيط N و M:

بالنسبة لـ N:

\( N = x - [3 - x + \sqrt{2}] - [\frac{1}{2} + x - \frac{5}{2} + 1 - \sqrt{2}] \)

\( N = x - 3 + x - \sqrt{2} - [x - \frac{4}{2} + 1 - \sqrt{2}] \)

\( N = 2x - 3 - \sqrt{2} - [x - 2 + 1 - \sqrt{2}] = 2x - 3 - \sqrt{2} - [x - 1 - \sqrt{2}] \)

\( N = 2x - 3 - \sqrt{2} - x + 1 + \sqrt{2} = (2x - x) + (-3 + 1) + (-\sqrt{2} + \sqrt{2}) \)

$$ N = x - 2 $$

بالنسبة لـ M:

\( M = -\sqrt{3} + \Pi - [x - \sqrt{3} - y + \Pi + \sqrt{3}] \)

\( M = -\sqrt{3} + \Pi - [x - y + \Pi] \)

\( M = -\sqrt{3} + \Pi - x + y - \Pi \)

$$ M = y - x - \sqrt{3} $$

---

2) حساب y إذا كان M و N متقابلان:

إذا كان M و N متقابلان، فإن \( M + N = 0 \).

\( (y - x - \sqrt{3}) + (x - 2) = 0 \)

\( y - \sqrt{3} - 2 = 0 \)

$$ y = 2 + \sqrt{3} $$

---

3) حساب M:

نبسط x و y أولاً:

\( x = \sqrt{29-\sqrt{19-\sqrt{9}}} = \sqrt{29-\sqrt{19-3}} = \sqrt{29-\sqrt{16}} = \sqrt{29-4} = \sqrt{25} = 5 \)

\( y = \sqrt{\frac{135 \times (5^2)^3}{(3 \times 5)^5}} = \sqrt{\frac{(27 \times 5) \times 5^6}{3^5 \times 5^5}} = \sqrt{\frac{3^3 \times 5^7}{3^5 \times 5^5}} = \sqrt{\frac{5^2}{3^2}} = \frac{5}{3} \)

الآن نحسب M:

\( M = y - x - \sqrt{3} = \frac{5}{3} - 5 - \sqrt{3} = \frac{5 - 15}{3} - \sqrt{3} \)

$$ M = -\frac{10}{3} - \sqrt{3} $$

---

4) حساب \( y-x \):

نبسط قيمة M المعطاة:

\( M = \sqrt{2 + \sqrt{\frac{98}{162}}} = \sqrt{2 + \sqrt{\frac{49 \times 2}{81 \times 2}}} = \sqrt{2 + \sqrt{\frac{49}{81}}} = \sqrt{2 + \frac{7}{9}} = \sqrt{\frac{18+7}{9}} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3} \)

لدينا \( M = y - x - \sqrt{3} \), إذن:

\( \frac{5}{3} = y - x - \sqrt{3} \)

نعزل \( y-x \):

$$ y - x = \frac{5}{3} + \sqrt{3} $$