تمرين في الجبر

التمرين رقم 5

ليكن a و b عددان صحيحان نسبيان:

$ E = 2 - \Pi - [(- \frac{1}{5}) + (b - \frac{3}{2})] - (1.2 - a) $

$ F = \frac{3}{4} - [a + (-\frac{3}{2})] - (\Pi + 0.75 + b) $

احسب E إذا كان a هو مقابل لـ (2-b).
احسب F إذا كان a هو مقابل لـ $ b - \sqrt{3} - \frac{5}{2} $.
جد a+b إذا علمت أن F=2.
جد a إذا علمت أن E+b+F=5.

3) جد العدد الصحيح النسبي x في كل من الحالات التالية:

$ \Pi + |x| + \frac{3}{4} = 3 $
$ \sqrt{2} + [(-\frac{1}{2}) - x] = 0 $
$ -\Pi - (x + \frac{5}{3}) = 1 $

الحل الكامل

أولاً: تبسيط العبارات E و F

بالنسبة لـ E: (مع ملاحظة أن $ 1.2 = \frac{6}{5} $)

$ E = 2 - \Pi - [-\frac{1}{5} + b - \frac{3}{2}] - \frac{6}{5} + a $

$ E = 2 - \Pi + \frac{1}{5} - b + \frac{3}{2} - \frac{6}{5} + a $

$ E = a - b + (2 + \frac{3}{2}) + (\frac{1}{5} - \frac{6}{5}) - \Pi = a - b + \frac{7}{2} - 1 - \Pi $

$$ E = a - b + \frac{5}{2} - \Pi $$

بالنسبة لـ F: (مع ملاحظة أن $ 0.75 = \frac{3}{4} $)

$ F = \frac{3}{4} - [a - \frac{3}{2}] - (\Pi + \frac{3}{4} + b) $

$ F = \frac{3}{4} - a + \frac{3}{2} - \Pi - \frac{3}{4} - b $

$ F = -a - b + (\frac{3}{4} - \frac{3}{4}) + \frac{3}{2} - \Pi $

$$ F = -a - b + \frac{3}{2} - \Pi $$

1) حساب E:

a هو مقابل (2-b) يعني $ a = -(2-b) = b-2 $. إذن $ a-b = -2 $.

$ E = (a - b) + \frac{5}{2} - \Pi = -2 + \frac{5}{2} - \Pi = -\frac{4}{2} + \frac{5}{2} - \Pi $

$$ E = \frac{1}{2} - \Pi $$

2) حساب F:

a هو مقابل $ b - \sqrt{3} - \frac{5}{2} $ يعني $ a = -(b - \sqrt{3} - \frac{5}{2}) = -b + \sqrt{3} + \frac{5}{2} $.

إذن $ a+b = \sqrt{3} + \frac{5}{2} $.

$ F = -(a+b) + \frac{3}{2} - \Pi = -(\sqrt{3} + \frac{5}{2}) + \frac{3}{2} - \Pi $

$ F = -\sqrt{3} - \frac{5}{2} + \frac{3}{2} - \Pi = -\sqrt{3} - \frac{2}{2} - \Pi $

$$ F = -1 - \sqrt{3} - \Pi $$

3) إيجاد a+b:

إذا كان F=2: $ -a - b + \frac{3}{2} - \Pi = 2 $

$ -(a+b) = 2 - \frac{3}{2} + \Pi = \frac{1}{2} + \Pi $

$$ a+b = -\frac{1}{2} - \Pi $$

4) إيجاد a:

إذا كان E+b+F=5: $ (a - b + \frac{5}{2} - \Pi) + b + (-a - b + \frac{3}{2} - \Pi) = 5 $

$ (a-a) + (-b+b-b) + (\frac{5}{2}+\frac{3}{2}) + (-\Pi-\Pi) = 5 $

$ -b + 4 - 2\Pi = 5 \implies -b = 1 + 2\Pi \implies b = -1 - 2\Pi $

المعادلة المعطاة تسمح فقط بإيجاد قيمة b. لا يمكن تحديد قيمة a من هذه المعلومة وحدها.

3) إيجاد العدد الصحيح النسبي x:

الحالة الأولى: $ \Pi + |x| + \frac{3}{4} = 3 $

$ |x| = 3 - \frac{3}{4} - \Pi = \frac{9}{4} - \Pi $. بما أن $ \Pi \approx 3.14 $, فإن $ \frac{9}{4} - \Pi \approx 2.25 - 3.14 < 0 $. القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة.

لا يوجد حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.

الحالة الثانية: $ \sqrt{2} + [(-\frac{1}{2}) - x] = 0 $

$ \sqrt{2} - \frac{1}{2} - x = 0 \implies x = \sqrt{2} - \frac{1}{2} $

الحل هو $ \sqrt{2} - \frac{1}{2} $, وهو ليس عدداً صحيحاً نسبياً كما هو مطلوب في السؤال.

الحالة الثالثة: $ -\Pi - (x + \frac{5}{3}) = 1 $

$ -\Pi - x - \frac{5}{3} = 1 \implies -x = 1 + \Pi + \frac{5}{3} = \frac{8}{3} + \Pi $

$ x = -\frac{8}{3} - \Pi $

الحل هو $ -\frac{8}{3} - \Pi $, وهو ليس عدداً صحيحاً نسبياً.

تمارين في الجبر

التمرين رقم 5

الحل الكامل