تمارين في الجبر

الحل الكامل

1) اختصار العبارات M و N:

بالنسبة لـ M:

\( M = (a - \sqrt{2}) - [-\sqrt{2} + a - b + 1] \)

\( M = a - \sqrt{2} + \sqrt{2} - a + b - 1 \)

$$ M = b - 1 $$

بالنسبة لـ N:

\( N = a - \frac{1}{2} - [-a + b - \frac{5}{2} + \pi] - a + b \)

\( N = a - \frac{1}{2} + a - b + \frac{5}{2} - \pi - a + b \)

\( N = (a+a-a) + (-b+b) + (-\frac{1}{2} + \frac{5}{2}) - \pi = a + \frac{4}{2} - \pi \)

$$ N = a + 2 - \pi $$

---

2) إيجاد \( a + b \) (متقابلان):

إذا كان M و N متقابلان، فإن \( M + N = 0 \).

\( (b - 1) + (a + 2 - \pi) = 0 \)

\( a + b + 1 - \pi = 0 \)

$$ a + b = \pi - 1 $$

---

3) إيجاد \( a - b \) (متساويان):

إذا كان M و N متساويان، فإن \( M = N \).

\( b - 1 = a + 2 - \pi \)

\( -1 - 2 + \pi = a - b \)

$$ a - b = \pi - 3 $$

---

4) إيجاد a:

لدينا \( |M - 1| = \frac{5}{2} \). نعوض M بعبارتها المختصرة:

\( |(b - 1) - 1| = \frac{5}{2} \implies |b - 2| = \frac{5}{2} \)

لدينا حالتان:

الحالة 1: \( b - 2 = \frac{5}{2} \implies b = \frac{5}{2} + 2 = \frac{9}{2} \)

الحالة 2: \( b - 2 = -\frac{5}{2} \implies b = -\frac{5}{2} + 2 = -\frac{1}{2} \)

إذن، قيم b الممكنة هي \( \frac{9}{2} \) و \( -\frac{1}{2} \).

---

5) إيجاد b:

لدينا \( \frac{3}{2} - |b| = 2 \).

\( -|b| = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \)

\( |b| = -\frac{1}{2} \)

هذا مستحيل لأن القيمة المطلقة لعدد حقيقي هي دائماً موجبة أو تساوي صفر. إذن، لا يوجد حل لـ b في هذه الحالة.

---

6) إيجاد \( |a - b| \):

لدينا \( M + \sqrt{2} - 1 \) هو مقابل لـ \( N - \pi \). هذا يعني:

\( M + \sqrt{2} - 1 = -(N - \pi) \)

\( (b - 1) + \sqrt{2} - 1 = -(a + 2 - \pi) + \pi \)

\( b + \sqrt{2} - 2 = -a - 2 + \pi + \pi \)

\( b + \sqrt{2} - 2 = -a - 2 + 2\pi \)

نضيف \( a + 2 \) إلى الطرفين:

\( a + b + \sqrt{2} = 2\pi \)