تمارين في الجبر

الحل الكامل

1) تبيين أن \( E = a - b - \pi \):

ننطلق من العبارة الأصلية ونقوم بتبسيطها. نلاحظ أن 0.5 = \( \frac{1}{2} \).

\( E = -\frac{1}{2} + a - [b - (\sqrt{5} - a + \frac{1}{2})] - (\pi - a + \sqrt{5}) \)

نزيل الأقواس الداخلية أولاً:

\( E = -\frac{1}{2} + a - [b - \sqrt{5} + a - \frac{1}{2}] - \pi + a - \sqrt{5} \)

نزيل المعقوفات:

\( E = -\frac{1}{2} + a - b + \sqrt{5} - a + \frac{1}{2} - \pi + a - \sqrt{5} \)

نجمع الحدود المتشابهة:

\( E = (a - a + a) - b + (-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{5}) - \pi \)

\( E = a - b + 0 + 0 - \pi \)

$$ E = a - b - \pi $$

---

2) حساب العبارة E:

لدينا \( b - a = 2 - \pi \). يمكننا استنتاج \( a - b \):

\( a - b = -(b - a) = -(2 - \pi) = \pi - 2 \)

نعوض هذه القيمة في الصيغة المختصرة لـ E:

\( E = (a - b) - \pi = (\pi - 2) - \pi \)

$$ E = -2 $$

---

3) إيجاد العدد الحقيقي b:

E و \( (\frac{22}{7} - a) \) متقابلان يعني أن مجموعهما يساوي صفر، أي \( E = -(\frac{22}{7} - a) = a - \frac{22}{7} \).

نساوي بين الصيغتين لـ E:

\( a - b - \pi = a - \frac{22}{7} \)

نطرح a من كلا الطرفين:

\( -b - \pi = -\frac{22}{7} \)

نضرب المعادلة في -1:

\( b + \pi = \frac{22}{7} \)

$$ b = \frac{22}{7} - \pi $$

---

4) إيجاد العدد الحقيقي a:

لدينا E و \( \frac{1}{2} - (\pi + b) \) متساويان.

\( E = \frac{1}{2} - \pi - b \)

نساوي بين الصيغتين لـ E:

\( a - b - \pi = \frac{1}{2} - \pi - b \)

نضيف \( (\pi + b) \) إلى كلا الطرفين:

\( a - b - \pi + b + \pi = \frac{1}{2} - \pi - b + b + \pi \)

\( a = \frac{1}{2} \)

$$ a = \frac{1}{2} $$