تمارين في الجبر

الحل الكامل

1) تبسيط العبارات D و C:

بالنسبة لـ D:

\( D = -(\sqrt{3} - x) - [ -(-x + \sqrt{3}) - (y - 2) + \sqrt{3} ] \)

\( D = -\sqrt{3} + x - [ x - \sqrt{3} - y + 2 + \sqrt{3} ] \)

\( D = -\sqrt{3} + x - [ x - y + 2 ] \)

\( D = -\sqrt{3} + x - x + y - 2 \)

$$ D = y - \sqrt{3} - 2 $$

بالنسبة لـ C:

\( C = -(\frac{1}{3} + x) + (y - \sqrt{2} + \frac{1}{3}) - (y - \frac{1}{3}) \)

\( C = -\frac{1}{3} - x + y - \sqrt{2} + \frac{1}{3} - y + \frac{1}{3} \)

\( C = (-\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - x + (y-y) - \sqrt{2} \)

$$ C = \frac{1}{3} - x - \sqrt{2} $$

---

2) حساب \( y-x \):

C و D متقابلان يعني \( C + D = 0 \).

\( (\frac{1}{3} - x - \sqrt{2}) + (y - \sqrt{3} - 2) = 0 \)

\( y - x + \frac{1}{3} - 2 - \sqrt{2} - \sqrt{3} = 0 \)

\( y - x = 2 - \frac{1}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} \)

$$ y - x = \frac{5}{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} $$

---

3) حساب C:

لدينا \( x - y = \sqrt{2} - y - \frac{1}{2} \). بإضافة y للطرفين نجد:

\( x = \sqrt{2} - \frac{1}{2} \)

نعوض بقيمة x في عبارة C:

\( C = \frac{1}{3} - (\sqrt{2} - \frac{1}{2}) - \sqrt{2} = \frac{1}{3} - \sqrt{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{2} \)

\( C = (\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) - 2\sqrt{2} = (\frac{2}{6} + \frac{3}{6}) - 2\sqrt{2} \)

$$ C = \frac{5}{6} - 2\sqrt{2} $$

---

4) إيجاد y:

D و \( \Pi - \frac{3}{5} \) متقابلان يعني \( D = -(\Pi - \frac{3}{5}) = \frac{3}{5} - \Pi \).

\( y - \sqrt{3} - 2 = \frac{3}{5} - \Pi \)

\( y = \frac{3}{5} + 2 + \sqrt{3} - \Pi = \frac{3}{5} + \frac{10}{5} + \sqrt{3} - \Pi \)

$$ y = \frac{13}{5} + \sqrt{3} - \Pi $$

---

5) إيجاد x:

لدينا \( C + \sqrt{2} - D + \frac{1}{3} = y \). نعوض بعبارات C و D:

\( (\frac{1}{3} - x - \sqrt{2}) + \sqrt{2} - (y - \sqrt{3} - 2) + \frac{1}{3} = y \)

\( \frac{1}{3} - x - \sqrt{2} + \sqrt{2} - y + \sqrt{3} + 2 + \frac{1}{3} = y \)

\( \frac{2}{3} - x - y + \sqrt{3} + 2 = y \)

\( \frac{8}{3} - x + \sqrt{3} = 2y \)

هذه المعادلة تربط بين x و y. لا يمكن إيجاد قيمة عددية وحيدة لـ x بدون معلومات إضافية.

---

6) إيجاد |x|:

إذا كان C=2:

\( \frac{1}{3} - x - \sqrt{2} = 2 \)

\( -x = 2 - \frac{1}{3} + \sqrt{2} = \frac{5}{3} + \sqrt{2} \)

\( x = -(\frac{5}{3} + \sqrt{2}) = -\frac{5}{3} - \sqrt{2} \)

بما أن x عدد سالب, فإن قيمته المطلقة هي معاكسه:

$$ |x| = \frac{5}{3} + \sqrt{2} $$

---

7) إيجاد |D+4|:

إذا كان y=3.5:

\( D = 3.5 - \sqrt{3} - 2 = 1.5 - \sqrt{3} \)

نحسب \( D+4 \):

\( D+4 = (1.5 - \sqrt{3}) + 4 = 5.5 - \sqrt{3} \)

بما أن \( 5.5^2 = 30.25 \) و \( (\sqrt{3})^2=3 \), فإن \( 5.5 > \sqrt{3} \), وبالتالي فإن \( 5.5 - \sqrt{3} \) هو عدد موجب.

$$ |D+4| = 5.5 - \sqrt{3} $$