تمارين في الجبر

الحل الكامل

1) تبيين أن \( E = x + \frac{1}{2} + \sqrt{2} \):

ننطلق من العبارة الأصلية ونقوم بإزالة الأقواس والمعقوفات تدريجيًا:

\( E = x - \left[1 - x + \frac{1}{2}\right] - \left[-\frac{1}{2} + x - \frac{5}{2} + 1 - \sqrt{2}\right] \)

نبسّط ما بداخل المعقوفات:

\( E = x - \left[\frac{3}{2} - x\right] - \left[x - \frac{6}{2} + 1 - \sqrt{2}\right] \)

\( E = x - \left[\frac{3}{2} - x\right] - \left[x - 3 + 1 - \sqrt{2}\right] \)

\( E = x - \left[\frac{3}{2} - x\right] - \left[x - 2 - \sqrt{2}\right] \)

نزيل المعقوفات المتبقية:

\( E = x - \frac{3}{2} + x - (x - 2 - \sqrt{2}) \)

\( E = x - \frac{3}{2} + x - x + 2 + \sqrt{2} \)

نجمع الحدود المتشابهة:

\( E = (x + x - x) + \left(-\frac{3}{2} + 2\right) + \sqrt{2} \)

\( E = x + \left(-\frac{3}{2} + \frac{4}{2}\right) + \sqrt{2} \)

$$ E = x + \frac{1}{2} + \sqrt{2} $$

---

2) حساب E:

إذا كان \( x = \frac{3}{2} - \sqrt{2} \), نعوض في الصيغة المختصرة لـ E:

\( E = \left(\frac{3}{2} - \sqrt{2}\right) + \frac{1}{2} + \sqrt{2} \)

\( E = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} = \frac{4}{2} \)

$$ E = 2 $$

---

3) حساب x (متقابلان):

إذا كان E و \( -\frac{2}{3} - \sqrt{2} \) متقابلان, فإن مجموعهما يساوي صفر، أي \( E = -(-\frac{2}{3} - \sqrt{2}) = \frac{2}{3} + \sqrt{2} \).

\( x + \frac{1}{2} + \sqrt{2} = \frac{2}{3} + \sqrt{2} \)

\( x + \frac{1}{2} = \frac{2}{3} \)

\( x = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} \)

$$ x = \frac{1}{6} $$

---

4) حساب x (متساويان):

إذا كان \( E = -\frac{7}{2} + \sqrt{3} \):

\( x + \frac{1}{2} + \sqrt{2} = -\frac{7}{2} + \sqrt{3} \)

\( x = -\frac{7}{2} - \frac{1}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} \)

\( x = -\frac{8}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} \)

$$ x = -4 + \sqrt{3} - \sqrt{2} $$

---

5) حساب x (قيمة مطلقة):

إذا كان \( |E+1| = \frac{5}{2} \):

\( |(x + \frac{1}{2} + \sqrt{2}) + 1| = \frac{5}{2} \)

\( |x + \frac{3}{2} + \sqrt{2}| = \frac{5}{2} \)

هذا يعني إما \( x + \frac{3}{2} + \sqrt{2} = \frac{5}{2} \) أو \( x + \frac{3}{2} + \sqrt{2} = -\frac{5}{2} \).

الحالة 1: \( x = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} - \sqrt{2} = \frac{2}{2} - \sqrt{2} \implies x = 1 - \sqrt{2} \)

الحالة 2: \( x = -\frac{5}{2} - \frac{3}{2} - \sqrt{2} = -\frac{8}{2} - \sqrt{2} \implies x = -4 - \sqrt{2} \)

$$ x = 1 - \sqrt{2} \quad \text{أو} \quad x = -4 - \sqrt{2} $$

---

6) حساب |x|:

إذا كان \( E - \frac{1}{2} = \sqrt{3} \), فإن \( E = \sqrt{3} + \frac{1}{2} \).

\( x + \frac{1}{2} + \sqrt{2} = \sqrt{3} + \frac{1}{2} \)

نطرح \( \frac{1}{2} \) من الطرفين: \( x + \sqrt{2} = \sqrt{3} \)

\( x = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)

بما أن \( \sqrt{3} > \sqrt{2} \), فإن \( \sqrt{3} - \sqrt{2} \) هو عدد موجب.

إذن، القيمة المطلقة لـ x هي:

$$ |x| = \sqrt{3} - \sqrt{2} $$