تمارين في الجبر

الحل الكامل

1) أ- اختصار العبارة A:

ننطلق من العبارة الأصلية ونقوم بإزالة الأقواس والمعقوفات مع الانتباه للإشارات:

\( A = -1 - (x + \sqrt{5}) - \left[\frac{2}{3} + (-2 - y)\right] - \left(-\frac{3}{2} + \sqrt{5}\right) \)

\( A = -1 - x - \sqrt{5} - \left[\frac{2}{3} - 2 - y\right] + \frac{3}{2} - \sqrt{5} \)

\( A = -1 - x - \sqrt{5} - \frac{2}{3} + 2 + y + \frac{3}{2} - \sqrt{5} \)

نقوم بتجميع الحدود المتشابهة:

\( A = (-1 + 2) + (-\frac{2}{3} + \frac{3}{2}) + (-x + y) + (-\sqrt{5} - \sqrt{5}) \)

نوحد المقامات ونحسب:

\( A = 1 + (-\frac{4}{6} + \frac{9}{6}) - (x - y) - 2\sqrt{5} \)

\( A = 1 + \frac{5}{6} - (x - y) - 2\sqrt{5} \)

\( A = \frac{6}{6} + \frac{5}{6} - (x - y) - 2\sqrt{5} \)

إذن، الصيغة المختصرة للعبارة A هي:

$$ A = \frac{11}{6} - (x - y) - 2\sqrt{5} $$

---

1) ب- حساب العبارة A:

نعوض قيمة \( (x-y) \) في العبارة المختصرة لـ A:

لدينا: \( x - y = -\frac{1}{6} - \sqrt{5} \)

\( A = \frac{11}{6} - \left(-\frac{1}{6} - \sqrt{5}\right) - 2\sqrt{5} \)

\( A = \frac{11}{6} + \frac{1}{6} + \sqrt{5} - 2\sqrt{5} \)

\( A = \frac{12}{6} - \sqrt{5} \)

$$ A = 2 - \sqrt{5} $$

---

2) إيجاد العدد y:

نعلم أن A و B متقابلان، هذا يعني أن مجموعهم يساوي صفر: \( A + B = 0 \).

نستخدم العبارة المختصرة لـ A: \( A = \frac{11}{6} - (x - y) - 2\sqrt{5} = \frac{11}{6} - x + y - 2\sqrt{5} \)

ولدينا: \( B = \frac{1}{6} + x + y \)

نقوم بجمع A و B:

\( A + B = \left(\frac{11}{6} - x + y - 2\sqrt{5}\right) + \left(\frac{1}{6} + x + y\right) = 0 \)

نجمع الحدود المتشابهة:

\( \left(\frac{11}{6} + \frac{1}{6}\right) + (-x + x) + (y + y) - 2\sqrt{5} = 0 \)

\( \frac{12}{6} + 0 + 2y - 2\sqrt{5} = 0 \)

\( 2 + 2y - 2\sqrt{5} = 0 \)

الآن نحل المعادلة لإيجاد y:

\( 2y = 2\sqrt{5} - 2 \)

\( y = \frac{2\sqrt{5} - 2}{2} \)

$$ y = \sqrt{5} - 1 $$