ليكن العبارات التالية:
العبارة الأولى:
العبارة الثانية:
العبارة الثالثة:
الحلول التفصيلية المتقدمة
أولاً، نحسب $$\sqrt{15} - 4$$. بما أن $$\sqrt{15} \approx 3.87$$، فإن $$\sqrt{15} - 4 \approx -0.13$$ وهو سالب.
نحسب:
نحسب:
نحسب:
إذن:
نحسب $$\sqrt{64} = 8$$
نحسب $$\sqrt{60} = 2\sqrt{15}$$ (كما حسبناها سابقاً)
نحسب $$\sqrt{540} = \sqrt{36 \times 15} = 6\sqrt{15}$$
إذن:
نحسب $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$$
نحسب $$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$$
نحسب $$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$$
نحسب $$\sqrt{49} = 7$$
إذن:
عند تبسيط $$\sqrt{60}$$، نبحث عن أكبر مربع كامل يقسم 60:
$$60 = 4 \times 15 = 2^2 \times 15$$
لذا $$\sqrt{60} = \sqrt{2^2 \times 15} = 2\sqrt{15}$$
هذه الطريقة تعمل مع جميع الجذور المربعة!
1) بين أن $$a = 8 - 2\sqrt{15}$$ و $$b = 8 + 2\sqrt{15}$$ و $$c = \sqrt{7} + 4\sqrt{3}$$
2) بين أن $$a \times b = 4$$ و استنتج علامة $$a$$
3) انشر و اختصر العبارة $$(2 + \sqrt{3})^2$$ ثم اختصر العبارة $$c$$
4) لتكن العبارة $$d = \sqrt{a} - \sqrt{b}$$
أ) بين أن $$d^2 = 12$$ ثم استنتج $$d$$
ب) بين أن $$d + 2c$$ عدد صحيح طبيعي
5) لتكن العبارة $$E = \frac{a}{b}$$ بين أن $$E = 31 - 8\sqrt{15}$$
6) اختصر كلا من العبارتين $$F = \frac{b}{4}a^2 - a$$ و $$G = \sqrt{a}(\sqrt{b} - \frac{1}{\sqrt{a}}) + \sqrt{b}(\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{b}})$$
الحلول الشاملة والمتقدمة
من الحسابات السابقة، نعلم أن $$a = 2\sqrt{31 - 8\sqrt{15}}$$
لإثبات أن $$a = 8 - 2\sqrt{15}$$، نحسب:
وبالتالي $$\sqrt{a} = \sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$$، وهذا يعني $$a = 8 - 2\sqrt{15}$$ ✓
وقد أثبتنا سابقاً أن $$b = 8 + 2\sqrt{15}$$ ✓
$$a \times b = (8 - 2\sqrt{15})(8 + 2\sqrt{15})$$
باستخدام قانون الفرق بين مربعين $$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$$:
بما أن $$a \times b = 4 > 0$$ و $$b = 8 + 2\sqrt{15} > 0$$، إذن $$a > 0$$ ✓
من الحسابات السابقة، $$e = 4\sqrt{3} + 7 = 7 + 4\sqrt{3}$$
لذا $$c = \sqrt{e} = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$$ ✓
$$d = \sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{8 - 2\sqrt{15}} - \sqrt{8 + 2\sqrt{15}}$$
$$d^2 = 16 - 4 = 12$$ ✓، إذن $$d = \pm 2\sqrt{3}$$
بما أن $$a < b$$، فإن $$\sqrt{a} < \sqrt{b}$$، لذا $$d = -2\sqrt{3}$$
وهو عدد صحيح طبيعي ✓
$$E = \frac{a}{b} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{8 + 2\sqrt{15}}$$
نضرب البسط والمقام في المرافق $$(8 - 2\sqrt{15})$$:
$$E = 31 - 8\sqrt{15}$$ ✓
للعبارة F: نستغل العلاقة $$a \times b = 4$$، والتي تعني أن $$b = \frac{4}{a}$$
للعبارة G: ننشر الأقواس
بما أن $$ab=4$$، فإن $$\sqrt{ab}=2$$.
$$G = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$$
عند حساب $$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$$، استخدم الصيغة: $$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy}$$
وتذكر أن $$\sqrt{a} - \sqrt{b}$$ سالب إذا كان $$a < b$$
لترشيد المقام، اضرب في المرافق الحسابي
بين أن $$a = 8 - 2\sqrt{15}$$ و $$b = 8 + 2\sqrt{15}$$ و $$c = \sqrt{7} + 4\sqrt{3}$$
ثم احسب $$\sqrt{a}$$، $$\sqrt{b}$$، و $$\sqrt{c}$$ باستخدام الطريقة المتقدمة
الطريقة المتقدمة لحساب الجذور المركبة
نبحث عن عددين $$x$$ و $$y$$ بحيث $$(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = 7 + 4\sqrt{3}$$
من التطوير: $$(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy}$$
بمقارنة المعاملات: $$x + y = 7$$ و $$2\sqrt{xy} = 4\sqrt{3}$$
من المعادلة الثانية: $$\sqrt{xy} = 2\sqrt{3}$$، إذن $$xy = 12$$
إذن $$x$$ و $$y$$ جذرا المعادلة التربيعية: $$t^2 - 7t + 12 = 0$$
بالتحليل: $$(t - 3)(t - 4) = 0$$، إذن $$t = 3$$ أو $$t = 4$$
لذا $$\sqrt{c} = \sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}$$ ✓
لحساب $$\sqrt{8 - 2\sqrt{15}}$$، نبحث عن $$x$$ و $$y$$ بحيث $$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = 8 - 2\sqrt{15}$$
من التطوير: $$(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy}$$
بمقارنة المعاملات: $$x + y = 8$$ و $$2\sqrt{xy} = 2\sqrt{15}$$
من المعادلة الثانية: $$xy = 15$$
إذن $$x$$ و $$y$$ جذرا المعادلة: $$t^2 - 8t + 15 = 0$$
بالتحليل: $$(t - 3)(t - 5) = 0$$، إذن $$t = 3$$ أو $$t = 5$$
لذا $$\sqrt{a} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$$ و $$\sqrt{b} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$$ ✓
$$(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = 5 + 3 - 2\sqrt{15} = 8 - 2\sqrt{15} = a$$ ✓
$$(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 5 + 3 + 2\sqrt{15} = 8 + 2\sqrt{15} = b$$ ✓
$$(2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} = c$$ ✓
ليكن $$a$$ و $$b$$ عددان صحيحان نسبيان:
1) احسب العبارات التالية علماً أن $$a + b = (-\frac{3}{2})$$:
2) احسب $$E$$ إذا كان $$a$$ هو مقابل $$b$$
3) احسب $$F$$ إذا كان $$a$$ هو مقابل $$b - \sqrt{3} - \frac{5}{2}$$
4) جد العدد الصحيح النسبي $$x$$ في كل من الحالات التالية:
$$\Pi + |x| + \frac{3}{4} = 3$$ ؛ $$\sqrt{2} + [(-\frac{1}{2}) - x] = 0$$ ؛ $$-\Pi - (x + \frac{5}{3}) = 1$$
الحلول الاحترافية المتقدمة
معطى: $$a + b = -\frac{3}{2}$$
لحساب $$E$$:
$$E = -\pi + \frac{2}{5} + 2.7 - 1.5 = -\pi + \frac{2}{5} + 1.2$$
لحساب $$F$$:
$$F = 2.5 - (-\frac{3}{2}) - \pi = 2.5 + 1.5 - \pi = 4 - \pi$$
إذا كان $$a = -b$$، فإن $$a + b = 0$$
لكن المعطى أن $$a + b = -\frac{3}{2}$$، وهذا تناقض!
إذن لا يمكن أن يكون $$a$$ مقابل $$b$$ في هذه الحالة.
إذا كان $$a$$ مقابل $$b - \sqrt{3} - \frac{5}{2}$$، فإن:
إذن: $$a + b = \sqrt{3} + \frac{5}{2}$$
$$F = 2.5 - \sqrt{3} - 2.5 - \pi = -\sqrt{3} - \pi$$
المعادلة الأولى: $$\pi + |x| + \frac{3}{4} = 3$$
$$|x| = 3 - \pi - \frac{3}{4} = \frac{9}{4} - \pi$$
بما أن $$\pi \approx 3.14$$ و $$\frac{9}{4} = 2.25$$، فإن $$|x| < 0$$
وهذا مستحيل! المعادلة ليس لها حل
المعادلة الثانية: $$\sqrt{2} + [(-\frac{1}{2}) - x] = 0$$
$$-\frac{1}{2} - x = -\sqrt{2}$$
$$x = -\frac{1}{2} + \sqrt{2} = \sqrt{2} - \frac{1}{2}$$
المعادلة الثالثة: $$-\pi - (x + \frac{5}{3}) = 1$$
$$-(x + \frac{5}{3}) = 1 + \pi$$
$$x + \frac{5}{3} = -1 - \pi$$
$$x = -1 - \pi - \frac{5}{3} = -\frac{8}{3} - \pi$$
عند حل معادلة تحتوي على القيمة المطلقة $$|x|$$، تذكر أن النتيجة يجب أن تكون موجبة دائماً.
إذا حصلت على قيمة سالبة للقيمة المطلقة، فإن المعادلة ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية!
1) اكتب بدون رمز القيمة المطلقة:
$$|\sqrt{3} - 2|$$ ؛ $$|-\pi - \sqrt{3}|$$ ؛ $$|\sqrt{3} - 1|$$
2) احسب أن:
الحلول المتخصصة للقيمة المطلقة
حساب $$|\sqrt{3} - 2|$$:
نقارن $$\sqrt{3}$$ مع $$2$$: بما أن $$\sqrt{3} \approx 1.732 < 2$$
إذن $$\sqrt{3} - 2 < 0$$، لذا:
$$|\sqrt{3} - 2| = -({\sqrt{3} - 2}) = 2 - \sqrt{3}$$
حساب $$|-\pi - \sqrt{3}|$$:
$$-\pi - \sqrt{3} = -(π + \sqrt{3})$$ وهو سالب دائماً
إذن $$|-\pi - \sqrt{3}| = -(-\pi - \sqrt{3}) = \pi + \sqrt{3}$$
حساب $$|\sqrt{3} - 1|$$:
بما أن $$\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$$
إذن $$\sqrt{3} - 1 > 0$$، لذا:
$$|\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1$$
نعوض بالقيم المحسوبة:
الاستراتيجية: مقارنة الأعداد أولاً، ثم تطبيق القاعدة!
نصيحة: استخدم التقريب العشري للمقارنة السريعة