ليكن العبارات التالية:
العبارة الأولى: $$a = 2 \times \sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2 }- \sqrt{60} + \frac{60}{\sqrt{60}}$$
العبارة الثانية: $$b = \sqrt{64} + 4\sqrt{60} - \sqrt{540}$$
العبارة الثالثة: $$e = 3\sqrt{12} + \sqrt{48} - \sqrt{75} - \sqrt{3} + \sqrt{49}$$
التصحيح المفصل
أولاً، نطبق القاعدة $$\sqrt{x^2} = |x|$$.
نقارن $$\sqrt{15}$$ و $$4$$. بما أن $$(\sqrt{15})^2 = 15$$ و $$4^2=16$$، فإن $$\sqrt{15} < 4$$. إذن $$\sqrt{15} - 4$$ هو عدد سالب.
لذلك: $$\sqrt{(\sqrt{15} - 4)^2} = |\sqrt{15} - 4| = -(\sqrt{15} - 4) = 4 - \sqrt{15}$$
ثم نبسط بقية الحدود:
$$\sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15}$$
$$\frac{60}{\sqrt{60}} = \frac{(\sqrt{60})^2}{\sqrt{60}} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$$
الآن نعوض في العبارة $$a$$:
$$a = 2 \times (4 - \sqrt{15}) - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{15}$$
$$a = 8 - 2\sqrt{15} - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{15} = 8 - 2\sqrt{15}$$
نبسط كل حد على حدة:
$$\sqrt{64} = 8$$
$$4\sqrt{60} = 4\sqrt{4 \times 15} = 4 \times 2\sqrt{15} = 8\sqrt{15}$$
$$\sqrt{540} = \sqrt{36 \times 15} = 6\sqrt{15}$$
إذن: $$b = 8 + 8\sqrt{15} - 6\sqrt{15} = 8 + 2\sqrt{15}$$
نبسط كل حد على حدة:
$$3\sqrt{12} = 3\sqrt{4 \times 3} = 3 \times 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$$
$$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$$
$$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}$$
$$\sqrt{49} = 7$$
إذن: $$e = 6\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{3} - \sqrt{3} + 7$$
$$e = (6+4-5-1)\sqrt{3} + 7 = 4\sqrt{3} + 7$$
عند تبسيط $$\sqrt{60}$$، نبحث عن أكبر مربع كامل يقسم 60:
$$60 = 4 \times 15 = 2^2 \times 15$$
لذا $$\sqrt{60} = \sqrt{2^2 \times 15} = 2\sqrt{15}$$
هذه الطريقة تعمل مع جميع الجذور المربعة!
1) بين أن $$a = 8 - 2\sqrt{15}$$ و $$b = 8 + 2\sqrt{15}$$ و $$e = 7 + 4\sqrt{3}$$ (ملاحظة: تم استخدام e بدلاً من c في السؤال الأصلي)
2) بين أن $$a \times b = 4$$ و استنتج علامة $$a$$
3) انشر و اختصر العبارة $$(2 + \sqrt{3})^2$$ ثم اختصر العبارة $$c = \sqrt{e}$$
4) لتكن العبارة $$d = \sqrt{a} - \sqrt{b}$$
أ) بين أن $$d^2 = 12$$ ثم استنتج $$d$$
ب) بين أن $$d + 2c$$ عدد صحيح طبيعي
5) لتكن العبارة $$E = \frac{a}{b}$$ بين أن $$E = 31 - 8\sqrt{15}$$
6) اختصر كلا من العبارتين $$F = \frac{b}{4}a^2 - a$$ و $$G = \sqrt{a}(\sqrt{b} - \frac{1}{\sqrt{a}}) + \sqrt{b}(\sqrt{a} - \frac{1}{\sqrt{b}})$$
التصحيح المفصل لجميع الأسئلة
من الحسابات في الجزء الأول، أثبتنا مباشرة أن:
$$a = 8 - 2\sqrt{15}$$ ✓
$$b = 8 + 2\sqrt{15}$$ ✓
$$e = 7 + 4\sqrt{3}$$ ✓
$$a \times b = (8 - 2\sqrt{15})(8 + 2\sqrt{15})$$
باستخدام المتطابقة الهامة $$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$$:
$$a \times b = 8^2 - (2\sqrt{15})^2 = 64 - (4 \times 15) = 64 - 60 = 4$$ ✓
لاستنتاج علامة $$a$$، نلاحظ أن $$b = 8 + 2\sqrt{15}$$ هو مجموع عددين موجبين، إذن $$b > 0$$.
بما أن $$a \times b = 4 > 0$$، يجب أن تكون لـ $$a$$ و $$b$$ نفس العلامة. إذن $$a > 0$$ ✓
(يمكن التحقق من ذلك بمقارنة $$8$$ و $$2\sqrt{15}$$. $$8^2=64$$ و $$(2\sqrt{15})^2 = 60$$. بما أن $$64 > 60$$، فإن $$8 > 2\sqrt{15}$$ وبالتالي $$a$$ موجب).
$$(2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \times 2 \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$$
نلاحظ أن هذه القيمة تساوي $$e$$.
لذا $$c = \sqrt{e} = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = |2 + \sqrt{3}| = 2 + \sqrt{3}$$ ✓
أ) $$d^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b$$
$$d^2 = (a+b) - 2\sqrt{ab}$$
لدينا $$a+b = (8 - 2\sqrt{15}) + (8 + 2\sqrt{15}) = 16$$ و $$ab=4$$.
$$d^2 = 16 - 2\sqrt{4} = 16 - 2 \times 2 = 12$$ ✓
بما أن $$d^2 = 12$$، فإن $$d = \sqrt{12}$$ أو $$d = -\sqrt{12}$$. أي $$d=2\sqrt{3}$$ أو $$d=-2\sqrt{3}$$.
لتحديد العلامة، نقارن $$a$$ و $$b$$. $$a = 8 - 2\sqrt{15}$$ و $$b = 8 + 2\sqrt{15}$$. من الواضح أن $$a < b$$، وبالتالي $$\sqrt{a} < \sqrt{b}$$، وهذا يعني أن $$d = \sqrt{a} - \sqrt{b}$$ سالب.
إذن $$d = -2\sqrt{3}$$
ب) $$d + 2c = -2\sqrt{3} + 2(2 + \sqrt{3}) = -2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} = 4$$. وهو عدد صحيح طبيعي ✓
$$E = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{8 + 2\sqrt{15}}$$
نضرب البسط والمقام في مرافق المقام وهو $$8 - 2\sqrt{15}$$:
$$E = \frac{(8 - 2\sqrt{15})(8 - 2\sqrt{15})}{(8 + 2\sqrt{15})(8 - 2\sqrt{15})} = \frac{(8 - 2\sqrt{15})^2}{8^2 - (2\sqrt{15})^2}$$
المقام هو $$a \times b = 4$$.
البسط هو $$8^2 - 2 \times 8 \times 2\sqrt{15} + (2\sqrt{15})^2 = 64 - 32\sqrt{15} + 60 = 124 - 32\sqrt{15}$$
$$E = \frac{124 - 32\sqrt{15}}{4} = 31 - 8\sqrt{15}$$ ✓
اختصار F: نستغل العلاقة $$a \times b = 4$$، والتي تعني أن $$b = \frac{4}{a}$$
$$F = \frac{b}{4}a^2 - a = \frac{(\frac{4}{a})}{4}a^2 - a$$
$$F = \frac{1}{a}a^2 - a = a - a = 0$$
اختصار G: ننشر الأقواس
$$G = \sqrt{a}\sqrt{b} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}} + \sqrt{b}\sqrt{a} - \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$$
$$G = \sqrt{ab} - 1 + \sqrt{ab} - 1 = 2\sqrt{ab} - 2$$
بما أن $$ab=4$$، فإن $$\sqrt{ab}=2$$.
$$G = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$$
معطى:
$$b = \sqrt{98} - 2\sqrt{50} - \sqrt{16}$$
$$a = \sqrt{32} - 6 + (2 - \sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})$$
1)
أ) اكتب في صيغة جداء عوامل العبارة $$\sqrt{32} - 6$$
ب) استنتج تبسيطا للعبارة $$a$$
ج) بين أن $$a = 4 - 3\sqrt{2}$$ و أن $$b = -4 - 3\sqrt{2}$$
2)
أ) هل العددان $$a$$ و $$\frac{b}{2}$$ متقابلان؟ علل جوابك.
ب) اختصر العبارة $$(2a + \frac{1}{b})(\frac{2}{a} + b)$$
ج) احسب مع تعليل الإجابة العبارة $$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}$$
التصحيح المفصل
أولاً، نبسط $$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$$
إذن: $$\sqrt{32} - 6 = 4\sqrt{2} - 6$$
نخرج العامل المشترك $$2$$:
$$\sqrt{32} - 6 = 2(2\sqrt{2} - 3)$$
تبسيط a:
$$a = (\sqrt{32} - 6) + (2 - \sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})$$
ننشر الجزء الثاني: $$(2 - \sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 6 - 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 4 = 10 - 7\sqrt{2}$$
$$a = (4\sqrt{2} - 6) + (10 - 7\sqrt{2})$$
$$a = (4\sqrt{2} - 7\sqrt{2}) + (-6 + 10) = -3\sqrt{2} + 4$$
$$a = 4 - 3\sqrt{2}$$ ✓
تبسيط b:
$$b = \sqrt{98} - 2\sqrt{50} - \sqrt{16}$$
$$b = \sqrt{49 \times 2} - 2\sqrt{25 \times 2} - 4$$
$$b = 7\sqrt{2} - 2(5\sqrt{2}) - 4 = 7\sqrt{2} - 10\sqrt{2} - 4$$
$$b = -4 - 3\sqrt{2}$$ ✓
$$a = 4 - 3\sqrt{2}$$
$$\frac{b}{2} = \frac{-4 - 3\sqrt{2}}{2} = -2 - \frac{3}{2}\sqrt{2}$$
نحسب مجموعهما: $$a + \frac{b}{2} = (4 - 3\sqrt{2}) + (-2 - \frac{3}{2}\sqrt{2})$$
$$= (4 - 2) + (-3\sqrt{2} - \frac{3}{2}\sqrt{2}) = 2 - (\frac{6}{2} + \frac{3}{2})\sqrt{2} = 2 - \frac{9}{2}\sqrt{2}$$
بما أن المجموع لا يساوي صفر، فإن العددين ليسا متقابلين.
أسهل طريقة هي نشر الأقواس:
$$(2a)(\frac{2}{a}) + (2a)(b) + (\frac{1}{b})(\frac{2}{a}) + (\frac{1}{b})(b)$$
$$= 4 + 2ab + \frac{2}{ab} + 1 = 5 + 2ab + \frac{2}{ab}$$
الآن، نحسب الجداء $$ab$$:
$$ab = (4 - 3\sqrt{2})(-4 - 3\sqrt{2}) = -(4 - 3\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2})$$
$$ab = -(4^2 - (3\sqrt{2})^2) = -(16 - 18) = -(-2) = 2$$
نعوض قيمة $$ab=2$$ في العبارة المبسطة:
$$5 + 2(2) + \frac{2}{2} = 5 + 4 + 1 = 10$$
النتيجة هي 10.
نعلم أن $$\sqrt{x^2} = |x|$$. لذا علينا حساب $$|a| - |b|$$.
علامة a: $$a = 4 - 3\sqrt{2}$$. نقارن $$4$$ و $$3\sqrt{2}$$. نربع العددين: $$4^2 = 16$$ و $$(3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$$. بما أن $$16 < 18$$، فإن $$4 < 3\sqrt{2}$$، وبالتالي $$a$$ عدد سالب.
إذن $$\sqrt{a^2} = |a| = -a = -(4 - 3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 4$$
علامة b: $$b = -4 - 3\sqrt{2}$$ هو مجموع عددين سالبين، فهو سالب بوضوح.
إذن $$\sqrt{b^2} = |b| = -b = -(-4 - 3\sqrt{2}) = 4 + 3\sqrt{2}$$
الحساب النهائي: $$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} = |a| - |b| = (3\sqrt{2} - 4) - (4 + 3\sqrt{2})$$
$$= 3\sqrt{2} - 4 - 4 - 3\sqrt{2} = -8$$
$$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} = -8$$
نعتبر العبارتين التاليتين:
$$A = \frac{4}{3} - (\sqrt{3} - 2) - [\pi - \frac{2}{3}] - (\sqrt{3} + \pi)$$
$$B = -3 - (x + \pi) - [-\pi + (\sqrt{3})^2 - \sqrt{(-2)^2}]$$ حيث $$x$$ عدد حقيقي
1) بين أن $$A = 3$$
2)
أ- بين أن $$B = -4 - x$$
ب- احسب $$B$$ في حالة $$x = -1 - \sqrt{2}$$
3) أوجد $$x$$ إذا علمت أن $$A$$ و $$B$$ متقابلان
التصحيح المفصل
$$A = \frac{4}{3} - (\sqrt{3} - 2) - [\pi - \frac{2}{3}] - (\sqrt{3} + \pi)$$
نزيل الأقواس مع الانتباه للإشارات:
$$A = \frac{4}{3} - \sqrt{3} + 2 - \pi + \frac{2}{3} - \sqrt{3} - \pi$$
نجمع الحدود المتشابهة:
$$A = (\frac{4}{3} + \frac{2}{3}) + 2 - (\sqrt{3} + \sqrt{3}) - (\pi + \pi)$$
$$A = \frac{6}{3} + 2 - 2\sqrt{3} - 2\pi$$
$$A = 2 + 2 - 2\sqrt{3} - 2\pi = 4 - 2\sqrt{3} - 2\pi$$
النتيجة الفعلية ليست 3. يوجد على الأغلب خطأ مطبعي في نص السؤال. سنكمل بقية التمرين بافتراض أن A = 3 كما هو مطلوب.
$$B = -3 - (x + \pi) - [-\pi + (\sqrt{3})^2 - \sqrt{(-2)^2}]$$
أولاً نحسب ما بداخل القوس المربع: $$(\sqrt{3})^2 = 3$$ و $$\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$$
$$B = -3 - (x + \pi) - [-\pi + 3 - 2]$$
$$B = -3 - x - \pi - [-\pi + 1]$$
$$B = -3 - x - \pi + \pi - 1$$
$$B = (-3 - 1) - x + (-\pi + \pi) = -4 - x$$ ✓
$$B = -4 - x = -4 - (-1 - \sqrt{2})$$
$$B = -4 + 1 + \sqrt{2} = -3 + \sqrt{2}$$
$$B = \sqrt{2} - 3$$
العددان متقابلان إذا كان مجموعهما يساوي صفر: $$A + B = 0$$
باستخدام $$A = 3$$ (من فرضية السؤال) و $$B = -4 - x$$:
$$3 + (-4 - x) = 0$$
$$3 - 4 - x = 0$$
$$-1 - x = 0$$
$$x = -1$$
ليكن $$a$$ و $$b$$ عددان صحيحان نسبيان:
1) احسب العبارات التالية علماً أن $$a + b = (-\frac{3}{2})$$:
$$E = -\Pi - [(-\frac{2}{5}) + (-b - 1.5)] + (1.2 + a)$$
$$F = 1 - [a + (-\frac{3}{2})] - (\Pi + b)$$
2) احسب $$E$$ إذا كان $$a$$ هو مقابل $$b$$
3) احسب $$F$$ إذا كان $$a$$ هو مقابل $$b - \sqrt{3} - \frac{5}{2}$$
4) جد العدد الصحيح النسبي $$x$$ في كل من الحالات التالية:
$$\Pi + |x| + \frac{3}{4} = 3$$ ؛ $$\sqrt{2} + [(-\frac{1}{2}) - x] = 0$$ ؛ $$-\Pi - (x + \frac{5}{3}) = 1$$
التصحيح المفصل
معطى: $$a + b = -\frac{3}{2} = -1.5$$
لحساب $$E$$:
$$E = -\pi - [-\frac{2}{5} - b - 1.5] + 1.2 + a$$
$$E = -\pi + \frac{2}{5} + b + 1.5 + 1.2 + a$$
$$E = -\pi + (a+b) + \frac{2}{5} + 1.5 + 1.2$$
$$E = -\pi + (-\frac{3}{2}) + 0.4 + 2.7 = -\pi - 1.5 + 3.1 = -\pi + 1.6$$
لحساب $$F$$:
$$F = 1 - [a - \frac{3}{2}] - \pi - b$$
$$F = 1 - a + \frac{3}{2} - \pi - b = (1 + 1.5) - (a+b) - \pi$$
$$F = 2.5 - (-\frac{3}{2}) - \pi = 2.5 + 1.5 - \pi = 4 - \pi$$
إذا كان $$a = -b$$، فإن $$a + b = 0$$.
لكن المعطى في السؤال هو أن $$a + b = -\frac{3}{2}$$. بما أن $$0 \neq -\frac{3}{2}$$، فهذا الوضع مستحيل ضمن معطيات المسألة.
إذا كان $$a = -(b - \sqrt{3} - \frac{5}{2})$$، فإن:
$$a = -b + \sqrt{3} + \frac{5}{2}$$
إذن: $$a + b = \sqrt{3} + \frac{5}{2}$$
$$F = 2.5 - (a + b) - \pi = 2.5 - (\sqrt{3} + \frac{5}{2}) - \pi$$
$$F = 2.5 - \sqrt{3} - 2.5 - \pi = -\sqrt{3} - \pi$$
المعادلة الأولى: $$\pi + |x| + \frac{3}{4} = 3$$
$$|x| = 3 - \pi - \frac{3}{4} = \frac{12}{4} - \frac{3}{4} - \pi = \frac{9}{4} - \pi = 2.25 - \pi$$
بما أن $$\pi \approx 3.14$$، فإن $$2.25 - \pi$$ عدد سالب. والقيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة، إذن المعادلة ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية.
المعادلة الثانية: $$\sqrt{2} + [(-\frac{1}{2}) - x] = 0$$
$$\sqrt{2} - \frac{1}{2} - x = 0$$
$$x = \sqrt{2} - \frac{1}{2}$$
المعادلة الثالثة: $$-\pi - (x + \frac{5}{3}) = 1$$
$$-x - \frac{5}{3} = 1 + \pi$$
$$-x = 1 + \pi + \frac{5}{3} = \frac{3}{3} + \frac{5}{3} + \pi = \frac{8}{3} + \pi$$
$$x = -\frac{8}{3} - \pi$$