تمارين الرياضيات - العمليات في مجموعة الأعداد الحقيقية

1

بين أن:
$a = 8 - 2\sqrt{15}$
$b = 8 + 2\sqrt{15}$
$c = 2+\sqrt{3}$

مع العلم أن العبارات الأصلية هي:

$a = (\sqrt{5}-\sqrt{3})^2$
$b = \sqrt{64} + 4\sqrt{60} - \sqrt{540}$
$c = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$

أ) تبسيط العبارة a

\[ a = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 \]

\[ = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15} \]

ب) تبسيط العبارة b

\[ \sqrt{60} = \sqrt{4 \times 15} = 2\sqrt{15} \]

\[ \sqrt{540} = \sqrt{36 \times 15} = 6\sqrt{15} \]

\[ b = 8 + 4(2\sqrt{15}) - 6\sqrt{15} = 8 + 8\sqrt{15} - 6\sqrt{15} = 8 + 2\sqrt{15} \]

ج) تبسيط العبارة c

\[ \text{نلاحظ أن } (2+\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} \]

\[ c = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})^2} = 2+\sqrt{3} \]

2

بين أن $ a \times b = 4 $ واستنتج علامة $a$.

حساب الجداء a x b

\[ a \times b = (8 - 2\sqrt{15})(8 + 2\sqrt{15}) \]

\[ = (8)^2 - (2\sqrt{15})^2 = 64 - (4 \times 15) = 64 - 60 = 4 \]

استنتاج علامة a

بما أن $a \times b = 4$ (وهي نتيجة موجبة)، فإن لـ $a$ و $b$ نفس العلامة.
نعلم أن $b = 8 + 2\sqrt{15}$ هو عدد موجب بوضوح.
إذن، $a$ يجب أن يكون موجبًا أيضًا.
(للتحقق: $\sqrt{225} = 15$ و $\sqrt{256}=16$, إذن $\sqrt{240}$ بين 15 و 16. $8-2\sqrt{15}=8-\sqrt{60}$. $8^2=64, (\sqrt{60})^2=60$. بما أن $64>60$, فإن $8 > \sqrt{60}$, إذن $a$ موجب).

3

لتكن العبارة $d = \sqrt{a} - \sqrt{b}$
أ) بين أن $d^2 = 12$ ثم استنتج $d$.
ب) بين أن $d + 2c$ عدد صحيح طبيعي.

أ) حساب $d^2$ واستنتاج قيمة d

\[ d^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab} \]

\[ a+b = (8-2\sqrt{15})+(8+2\sqrt{15}) = 16 \]

\[ ab = 4 \implies \sqrt{ab} = \sqrt{4} = 2 \]

\[ d^2 = (a+b) - 2\sqrt{ab} = 16 - 2(2) = 12 \]

بما أن $d^2 = 12$, فإن $ d = \sqrt{12} $ أو $ d = -\sqrt{12} $.
نعلم أن $a < b$, وبالتالي $\sqrt{a} < \sqrt{b}$, إذن $d = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ هو عدد سالب.
إذن: \[ d = -\sqrt{12} = -\sqrt{4 \times 3} = -2\sqrt{3} \]

ب) حساب $d+2c$

\[ d + 2c = (-2\sqrt{3}) + 2(2+\sqrt{3}) \]

\[ = -2\sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} = 4 \]

النتيجة هي 4، وهو عدد صحيح طبيعي.