√
∫
∑
π

التمرين رقم 8

الجذور والتعبيرات الجبرية

\[ M = (a - \sqrt{2}) - [ -\sqrt{2} - ( -a + b ) + 1 ] \]
\[ N = a - \frac{1}{2} - \left[ - (a - b) - \frac{5}{2} + \pi \right] - (a - b) \]
حيث \( a \) و \( b \) أعداد حقيقية.
1) اختصر العبارتين \( M \) و \( N \).
تبسيط M:
\[ M = (a - \sqrt{2}) - [ -\sqrt{2} - ( -a + b ) + 1 ] \] \[ = (a - \sqrt{2}) - [ -\sqrt{2} + a - b + 1 ] \] \[ = a - \sqrt{2} + \sqrt{2} - a + b - 1 \] \[ = b - 1 \]
تبسيط N:
\[ N = a - \frac{1}{2} - \left[ - (a - b) - \frac{5}{2} + \pi \right] - (a - b) \] \[ = a - \frac{1}{2} - [ -a + b - \frac{5}{2} + \pi ] - a + b \] \[ = a - \frac{1}{2} + a - b + \frac{5}{2} - \pi - a + b \] \[ = a + 2 - \pi \]
2) أوجد \( a + b \) إذا علمت أن \( M \) و \( N \) متقابلان و .
الحل:
\[ M = b - 1, \quad N = a + 2 - \pi \]
إذا كان M و N متقابلان:
\[ M + N = 0 \] \[ (b - 1) + (a + 2 - \pi) = 0 \] \[ a + b + 1 - \pi = 0 \]
بما أن \( a + b = 0 \):
\[ 0 + 1 - \pi = 0 \] \[ \pi = 1 \]
ملاحظة: هذه النتيجة غير صحيحة رياضياً لأن π ≈ 3.14
قد يكون هناك خطأ في نص المسألة الأصلية
3) أوجد العلاقة إذا علمت أن \( M \) و \( N \) متساويان و \( a = b \).
الحل:
\[ M = b - 1, \quad N = a + 2 - \pi \]
إذا كان M = N:
\[ b - 1 = a + 2 - \pi \]
بما أن \( a = b \):
\[ b - 1 = b + 2 - \pi \] \[ -1 = 2 - \pi \] \[ \pi = 3 \]
ملاحظة: هذه النتيجة غير دقيقة لأن π ≈ 3.14159
4) أوجد قيم \( b \) إذا علمت أن \( |M-1| = \frac{5}{2} \).
الحل:
\[ M = b - 1 \] \[ |M - 1| = |(b - 1) - 1| = |b - 2| \]
إذا كان \( |b - 2| = \frac{5}{2} \):
\[ b - 2 = \frac{5}{2} \quad \text{أو} \quad b - 2 = -\frac{5}{2} \] \[ b = 2 + \frac{5}{2} = \frac{9}{2} \quad \text{أو} \quad b = 2 - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2} \]
النتيجة:
\[ b = \frac{9}{2} \quad \text{أو} \quad b = -\frac{1}{2} \]
5) أوجد \( b \) إن أمكن إذا علمت أن \( 2 = \frac{3}{2} + |b| \).
الحل:
\[ 2 = \frac{3}{2} + |b| \] \[ |b| = 2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \]
لذلك:
\[ b = \frac{1}{2} \quad \text{أو} \quad b = -\frac{1}{2} \]
6) أوجد \( a - b \) إذا علمت أن \( M + \sqrt{2} - 1 = N - \pi \).
الحل:
\[ M + \sqrt{2} - 1 = N - \pi \] \[ M - N = -\pi - \sqrt{2} + 1 \]
بما أن \( M = b - 1 \) و \( N = a + 2 - \pi \):
\[ (b - 1) - (a + 2 - \pi) = 1 - \sqrt{2} - \pi \] \[ b - 1 - a - 2 + \pi = 1 - \sqrt{2} - \pi \] \[ b - a - 3 + \pi = 1 - \sqrt{2} - \pi \] \[ b - a = 4 - \sqrt{2} - 2\pi \] \[ a - b = -4 + \sqrt{2} + 2\pi \]