إصلاح مفصّل

المطلوب : بيّن أنّ العدد الأوّل عشري وأنّ الثاني كسري نسبي غير عشري :

العبارة : \( \dfrac{7}{40}\quad\text{و}\quad\dfrac{11}{9} \)

نتذكّر : كسر غير قابل للاختزال يكون عشريا إذا وفقط إذا كان مقامه من الشكل \(2^{a}\times5^{b}\) — لا عامل أوّلي آخر. أيّ عامل 3 أو 7 أو 11 يمنع الكتابة العشرية المحدودة.

\( 40=2^{3}\times5 \) — نفكّك المقام الأوّل إلى عوامل أوّلية
\( \dfrac{7}{40}=\dfrac{7\times25}{40\times25}=\dfrac{175}{1000} \) — نكمل المقام إلى قوّة للعدد 10 : \(40\times25=1000\)
\( \dfrac{7}{40}=0{,}175 \) — كتابة عشرية محدودة : العدد عشري
\( 9=3^{2} \) — نفكّك المقام الثاني
\( 3\nmid10^{n}\ \text{لكلّ}\ n \) — العامل 3 لا يظهر أبدا في تفكيك \(10^{n}=2^{n}\times5^{n}\)
\( \dfrac{11}{9}=1{,}\underline{2}=1{,}2222\ldots \) — الكتابة غير محدودة : العدد ليس عشريا
\( \dfrac{11}{9}\in\mathbb{Q}\ \text{و}\ \dfrac{11}{9}\notin\mathbb{D} \) — لكنّه كسري نسبي : « ليس عشريا » لا يعني أبدا « أصمّ »

النتيجة : \( 7/40=0,175 عشري ؛ 11/9=1,2 دوري غير عشري \)

فرض تأليفي — العمليات والقيمة المطلقة في ℝ

🎉 أحسنت!