تمارين شاملة في المستوي

تمرين 1

1) أ) عين النقط $A(5;0)$ و $B(-2;2)$ و $C(4;-2)$.

ب) بين أن $I(1,0)$ منتصف $[BC]$.

قاعدة إحداثيات المنتصف:

إحداثيات منتصف القطعة $[BC]$ تُحسب كالتالي:

$$ x_M = \frac{x_B + x_C}{2} \quad , \quad y_M = \frac{y_B + y_C}{2} $$

بتطبيق القاعدة على $B(-2, 2)$ و $C(4, -2)$:

$$ x_M = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \quad , \quad y_M = \frac{2 + (-2)}{2} = 0 $$

إحداثيات المنتصف هي $(1, 0)$, وهي نفسها إحداثيات النقطة $I$.

ج) بين أن $(BD) // (IA)$ حيث $D(6,2)$.

قاعدة التوازي مع محور الفواصل: إذا كان لنقطتين نفس الترتيبة، فإن المستقيم المار بهما يوازي محور الفواصل (OI).

دراسة $(BD)$: لدينا $B(-2, 2)$ و $D(6, 2)$. بما أن $y_B = y_D = 2$، فإن $(BD) // (OI)$.
دراسة $(IA)$: لدينا $I(1, 0)$ و $A(5, 0)$. بما أن $y_I = y_A = 0$، فإن $(IA) // (OI)$.

الاستنتاج: بما أن كلا المستقيمين يوازيان نفس المحور $(OI)$، فإنهما متوازيان.

تمرين 2 (مثلث قائم ومتقايس الضلعين)

ليكن $(O; I; J)$ معينا متعامدا في المستوي والنقاط $A(-1;1)$ و $B(2;1)$. و C ذات الترتيبة الموجبة حيث يكون ABC مثلثا متقايس الضلعين في A و $\hat{ABC} = 45^\circ$.

1) أ) بيّن أنّ ABC مثلث قائم الزاوية ثم استنتج أنّ $x_c = -1$.

إثبات أن المثلث قائم:

بما أن المثلث متقايس الضلعين في A و $\hat{ABC} = 45^\circ$, فإن $\hat{ACB} = 45^\circ$.
إذن زاوية الرأس $\hat{BAC} = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ$.
إذن المثلث ABC قائم الزاوية في A.

استنتاج أن $x_C = -1$:

المستقيم (AB) أفقي لأن $y_A = y_B = 1$.
بما أن $(AC) \perp (AB)$, فإن (AC) يجب أن يكون عموديا.
بما أن (AC) مستقيم عمودي يمر بالنقطة $A(-1,1)$, فإن فاصلة كل نقاطه هي -1.
إذن، $x_C = -1$.

ب) احسب البعد AC ثم استنتج أنّ $y_c = 4$.

بما أن المثلث متقايس الضلعين في A، فإن $AC = AB$.

$$ AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{3^2} = 3 $$

إذن $AC = 3$. الآن نستخدم صيغة المسافة لإيجاد $y_C$:

$$ 3 = AC = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (y_C - 1)^2} = \sqrt{(y_C - 1)^2} = |y_C - 1| $$

هذا يعطي حلين: $y_C - 1 = 3 \implies y_C = 4$ أو $y_C - 1 = -3 \implies y_C = -2$.

بما أن ترتيبة C موجبة، فإن الحل الصحيح هو $y_C = 4$.

2) لتكن النقطة D حيث ABDC متوازي الأضلاع. حدّد إحداثيات D.

في متوازي الأضلاع ABDC، القطران [AD] و [BC] لهما نفس المنتصف.

منتصف [BC]: $$ M(\frac{2 + (-1)}{2}, \frac{1 + 4}{2}) = M(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}) $$

إيجاد D: M هو أيضا منتصف [AD].

$$ \frac{1}{2} = \frac{-1 + x_D}{2} \implies 1 = -1 + x_D \implies x_D = 2 $$

$$ \frac{5}{2} = \frac{1 + y_D}{2} \implies 5 = 1 + y_D \implies y_D = 4 $$

إذن، إحداثيات النقطة D هي $(2, 4)$.

تمرين 3 (مبرهنة طالس)

في مثلث ABC القائم في A، لدينا $AB=6$, $AC=8$, $BC=10$. النقطة H هي المسقط العمودي لـ A على (BC). و M مناظرة C بالنسبة إلى H.

أ) بيّن أنّ $AH=4,8$.

يمكن حساب مساحة المثلث ABC بطريقتين:

$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 $$

$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 10 \times AH = 5 \times AH $$

بمساواة الطريقتين: $$ 5 \times AH = 24 \implies AH = \frac{24}{5} = 4.8 $$

ب) بين أن (MN) // (AH) حيث N مناظرة C بالنسبة إلى A.

نعتبر المثلث CMN:

لدينا A مناظرة C بالنسبة إلى N، إذن N هي منتصف [AC] (خطأ في النص، الصحيح هو A منتصف [CN]).
لدينا M مناظرة C بالنسبة إلى H، إذن H هي منتصف [CM].

بما أن A منتصف [CN] و H منتصف [CM]، فإن المستقيم (AH) الذي يربط منتصفي ضلعين في المثلث CMN يكون موازيا للضلع الثالث (MN).

إذن، (MN) // (AH).

المعطيات	الإجابة 1	الإجابة 2	الإجابة 3
1) القيمة التقريبية بثلاثة أرقام بعد الفاصل في الكتابة العشرية 4,72 تساوي :	قيمته التقريبية بالنقصان بثلاثة أرقام بعد الفاصل	قيمته التقريبية بالزيادة بثلاثة أرقام بعد الفاصل	4,720
2) نعتبر العدد \( x = ab2a0 \) حيث \(a\) و \(b\) رقمين. يكون العدد \(x\) قابلا للقسمة على 8 و 12 و 15 إذا كان:	\(b=2\) و \(a=4\)	\(b=1\) و \(a=6\)	\(a=b=4\)
3) في المعين المتعامد \( (O;I;J) \) لدينا \( A(2;1) \) و \( B(-1;1) \) و \( C(-1;3) \). إذن إحداثيات النقطة I في المعين \( (B;C;A) \) هي:	\( I(\frac{2}{3};\frac{1}{2}) \)	\( I(\frac{1}{2};\frac{2}{3}) \)	\( I(1;0) \)