عمليات الأعداد الحقيقية

دراسة شاملة لجميع العمليات الحسابية على الأعداد الحقيقية

تصنيف الأعداد الحقيقية

الأعداد الحقيقية ($$\mathbb{R}$$): مجموعة تضم جميع الأعداد التي يمكن تمثيلها على المستقيم العددي

الأعداد الطبيعية

$$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, ...\}$$

الأعداد الصحيحة

$$\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$$

الأعداد الكسرية

$$\mathbb{Q} = \left\{\frac{a}{b} : a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\right\}$$

الأعداد غير الكسرية

$$\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$$

مثل: $$\sqrt{2}, \pi, e$$

التسلسل الهرمي: $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

العمليات الأساسية الأربع

1. الجمع +

جمع عددين حقيقيين $$a$$ و $$b$$ ينتج عنه عدد حقيقي $$a + b$$

جمع الأعداد الموجبة
$$7 + 12 = 19$$
$$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$$
$$2.5 + 3.7 = 6.2$$

جمع الأعداد السالبة:

عدد موجب + عدد سالب
$$\pi + (-\sqrt{2}) = \pi - \sqrt{2}$$
$$(-\sqrt{3}) + \sqrt{5} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$$
عددين سالبين
$$(-\sqrt{7}) + (-\sqrt{11}) = -(\sqrt{7} + \sqrt{11})$$
$$(-2\pi) + (-\sqrt{8}) = -(2\pi + 2\sqrt{2}) = -2(\pi + \sqrt{2})$$
أعداد غير كسرية مختلطة
$$\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$$
$$\pi + e - \sqrt{10}$$

جمع الجذور والثوابت الرياضية:

جذور متشابهة
$$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$$
$$2\sqrt{3} + \sqrt{12} = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$
ثوابت رياضية
$$\pi + 2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$$
$$e + \sqrt{e} + \frac{1}{e}$$
خليط من الأعداد غير الكسرية
$$\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{7}$$
$$\sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{13}$$

جمع مع التقريبات (عند الحاجة فقط):

الحفاظ على الشكل الدقيق
$$\pi + \frac{22}{7} = \pi + \frac{22}{7}$$
$$2\pi - 6 = 2\pi - 6$$
جذور تربيعية مع π
$$\pi\sqrt{2} + \sqrt{\pi}$$
$$\frac{\pi}{2} + \sqrt{3}$$

أمثلة معقدة بالأعداد الغير كسرية:

تطبيق في الهندسة

مسألة: محيط دائرة نصف قطرها $$\sqrt{5}$$ سم، زائد ضلع مربع مساحته $$2\pi$$ سم²

$$\text{المحيط} = 2\pi\sqrt{5} \text{ سم}$$
$$\text{ضلع المربع} = \sqrt{2\pi} \text{ سم}$$
$$\text{المجموع} = 2\pi\sqrt{5} + \sqrt{2\pi} \text{ سم}$$
2. الطرح -

طرح العدد $$b$$ من العدد $$a$$ هو نفسه جمع $$a$$ مع المقابل الجمعي لـ $$b$$

$$a - b = a + (-b)$$
طرح الأعداد الموجبة
$$15 - 8 = 7$$
$$8 - 15 = -(15 - 8) = -7$$

طرح الأعداد الغير كسرية:

طرح الجذور
$$\sqrt{8} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2} \approx 1.414$$
$$\sqrt{18} - \sqrt{8} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$$
طرح π من تعبيرات أخرى
$$2\pi - \frac{3\pi}{2} = \frac{4\pi - 3\pi}{2} = \frac{\pi}{2} \approx 1.571$$
$$\pi^2 - 2\pi \approx 9.870 - 6.283 = 3.587$$
طرح الثوابت الرياضية
$$e - 1 \approx 2.718 - 1 = 1.718$$
$$\pi - e \approx 3.14159 - 2.718 = 0.424$$
$$\sqrt{10} - \sqrt{6} \approx 3.162 - 2.449 = 0.713$$

طرح مع الأعداد غير الكسرية:

جذور مع كسور
$$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0.433$$
$$\sqrt{5} - \frac{2\sqrt{5}}{3} = \frac{3\sqrt{5} - 2\sqrt{5}}{3} = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.745$$
π مع كسور
$$\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \approx 2.094$$
$$\frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{15\pi - 2\pi}{12} = \frac{13\pi}{12} \approx 3.403$$

طرح التقريبات العشرية:

تقريبات الجذور
$$\sqrt{7} - \sqrt{3} \approx 2.646 - 1.732 = 0.914$$
$$\sqrt{15} - \sqrt{12} \approx 3.873 - 3.464 = 0.409$$
مزيج من الثوابت
$$2\pi - 3e \approx 6.283 - 8.154 = -1.871$$
$$\sqrt{2\pi} - \sqrt{e} \approx 2.507 - 1.649 = 0.858$$

مسائل تطبيقية بالأعداد الغير كسرية:

مسألة هندسية

مسألة: مساحة دائرة نصف قطرها $$\sqrt{3}$$ سم، ناقص مساحة مربع ضلعه $$\sqrt{2}$$ سم

$$\text{مساحة الدائرة} = \pi(\sqrt{3})^2 = 3\pi \approx 9.425 \text{ سم}^2$$
$$\text{مساحة المربع} = (\sqrt{2})^2 = 2 \text{ سم}^2$$
$$\text{الفرق} = 3\pi - 2 \approx 9.425 - 2 = 7.425 \text{ سم}^2$$
مقارنة الأطوال

مسألة: إذا كان محيط مربع $$4\sqrt{2}$$ سم، وطول قطره $$d$$، فما الفرق بين القطر والمحيط؟

ضلع المربع = $$\sqrt{2}$$ سم

القطر = $$\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$$ سم

$$\text{الفرق} = 4\sqrt{2} - 2 \approx 5.657 - 2 = 3.657 \text{ سم}$$
3. الضرب ×

ضرب عددين حقيقيين $$a$$ و $$b$$ ينتج عنه عدد حقيقي $$a \times b$$ أو $$ab$$

ضرب الأعداد الموجبة
$$7 \times 6 = 42$$
$$0.5 \times 8 = 4$$

ضرب الأعداد الغير كسرية - قوانين الإشارات:

قوانين الإشارات:
  • • $$(+) \times (+) = (+)$$
  • • $$(+) \times (-) = (-)$$
  • • $$(-) \times (+) = (-)$$
  • • $$(-) \times (-) = (+)$$
ضرب الجذور بالإشارات
$$\sqrt{3} \times (-\sqrt{12}) = -\sqrt{3 \times 12} = -\sqrt{36} = -6$$
$$(-\sqrt{7}) \times \sqrt{28} = -\sqrt{7 \times 28} = -\sqrt{196} = -14$$
$$(-\sqrt{5}) \times (-\sqrt{20}) = \sqrt{5 \times 20} = \sqrt{100} = 10$$
ضرب π والثوابت الرياضية
$$\pi \times (-2) = -2\pi \approx -6.283$$
$$(-e) \times \sqrt{2} = -e\sqrt{2} \approx -2.718 \times 1.414 = -3.843$$
$$(-\pi) \times (-\sqrt{3}) = \pi\sqrt{3} \approx 3.14159 \times 1.732 = 5.441$$
ضرب عدة أعداد غير كسرية
$$(-\sqrt{2}) \times (-\sqrt{3}) \times (-\sqrt{6}) = \sqrt{2 \times 3 \times 6} \times (-1) = -\sqrt{36} = -6$$

قاعدة: عدد فردي من الإشارات السالبة → النتيجة سالبة

$$(-\sqrt{2}) \times (-\pi) \times (-e) \times (-1) = \sqrt{2} \times \pi \times e \approx 12.07$$

قاعدة: عدد زوجي من الإشارات السالبة → النتيجة موجبة

ضرب الجذور والأعداد غير الكسرية:

ضرب الجذور المختلفة
$$\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4$$
$$\sqrt{3} \times \sqrt{27} = \sqrt{3 \times 27} = \sqrt{81} = 9$$
$$\sqrt{5} \times \sqrt{125} = \sqrt{5 \times 125} = \sqrt{625} = 25$$
ضرب π مع جذور
$$\pi \times \sqrt{4} = 2\pi \approx 6.283$$
$$\sqrt{\pi} \times \sqrt{\pi} = \pi \approx 3.14159$$
$$\frac{\pi}{2} \times \sqrt{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} \approx 2.721$$
ضرب e مع جذور
$$e \times \sqrt{e} = e^{3/2} \approx 2.718 \times 1.649 = 4.482$$
$$\sqrt{2e} \times \sqrt{3e} = \sqrt{6e^2} = e\sqrt{6} \approx 2.718 \times 2.449 = 6.655$$
تبسيط ضرب الجذور
$$2\sqrt{18} \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{18 \times 2} = 6\sqrt{36} = 6 \times 6 = 36$$
$$\sqrt{12} \times \sqrt{75} = \sqrt{12 \times 75} = \sqrt{900} = 30$$
$$5\sqrt{8} \times 2\sqrt{32} = 10\sqrt{8 \times 32} = 10\sqrt{256} = 10 \times 16 = 160$$

ضرب التقريبات العشرية للأعداد الغير كسرية:

ضرب تقريبات الجذور
$$\sqrt{7} \times \sqrt{11} \approx 2.646 \times 3.317 = 8.775$$

تحقق: $$\sqrt{7 \times 11} = \sqrt{77} \approx 8.775$$ ✓

$$\sqrt{13} \times \sqrt{17} \approx 3.606 \times 4.123 = 14.867$$
ضرب π مع تقريبات
$$\pi \times \sqrt{2} \approx 3.14159 \times 1.414 = 4.443$$
$$\sqrt{5} \times e \approx 2.236 \times 2.718 = 6.077$$
ضرب مختلط معقد
$$(\sqrt{2} + \sqrt{3}) \times \sqrt{6} = \sqrt{2} \times \sqrt{6} + \sqrt{3} \times \sqrt{6}$$
$$= \sqrt{12} + \sqrt{18} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} \approx 3.464 + 4.243 = 7.707$$

أمثلة متقدمة بالأعداد الغير كسرية:

ضرب مختلط
$$\sqrt{2} \times \pi \times \sqrt{8} = \sqrt{2} \times \pi \times 2\sqrt{2} = 4\pi \approx 12.566$$
$$\frac{\sqrt{3}}{2} \times 4\sqrt{12} = 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 4 \times 3 = 12$$
ضرب جذور مع كسور غير كسرية
$$\frac{\pi}{3} \times \sqrt{9} = \frac{\pi \times 3}{3} = \pi \approx 3.14159$$
$$\sqrt{5} \times \frac{2\sqrt{20}}{4} = \sqrt{5} \times \frac{4\sqrt{5}}{4} = \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$$
مسألة هندسية بالجذور

مسألة: مساحة مستطيل طوله $$2\sqrt{3}$$ سم وعرضه $$\sqrt{12}$$ سم

$$\text{المساحة} = 2\sqrt{3} \times \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 4 \times 3 = 12 \text{ سم}^2$$
حجم اسطوانة

مسألة: اسطوانة نصف قطر قاعدتها $$\sqrt{2}$$ سم وارتفاعها $$\pi$$ سم. احسب حجمها

$$V = \pi r^2 h = \pi \times (\sqrt{2})^2 \times \pi = \pi \times 2 \times \pi = 2\pi^2 \approx 19.739 \text{ سم}^3$$
قانون الجاذبية مع الجذور

تطبيق فيزيائي: إذا كانت المسافة $$\sqrt{3}$$ متر والكتلة $$2\sqrt{2}$$ كيلو

باستخدام صيغة مبسطة: $$F = k \times \frac{m}{d^2}$$ حيث $$k = 1$$

$$F = \frac{2\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx \frac{2.828}{3} = 0.943 \text{ وحدة قوة}$$
4. القسمة على عدد حقيقي غير منعدم ÷

قسمة العدد $$a$$ على العدد $$b$$ (حيث $$b \neq 0$$) هي ضرب $$a$$ في مقلوب $$b$$

$$a ÷ b = a \times \frac{1}{b} = \frac{a}{b}$$
قسمة الأعداد الموجبة
$$24 ÷ 6 = 4$$
$$15 ÷ 3 = 5$$

قوانين الإشارات في قسمة الأعداد الغير كسرية:

قوانين الإشارات: (نفس قوانين الضرب)
  • • $$(+) ÷ (+) = (+)$$
  • • $$(+) ÷ (-) = (-)$$
  • • $$(-) ÷ (+) = (-)$$
  • • $$(-) ÷ (-) = (+)$$
قسمة الجذور مع الإشارات
$$(-\sqrt{20}) ÷ \sqrt{5} = -\sqrt{\frac{20}{5}} = -\sqrt{4} = -2$$
$$\sqrt{18} ÷ (-\sqrt{2}) = -\sqrt{\frac{18}{2}} = -\sqrt{9} = -3$$
$$(-\sqrt{35}) ÷ (-\sqrt{7}) = \sqrt{\frac{35}{7}} = \sqrt{5} \approx 2.236$$
قسمة π والثوابت الرياضية
$$(-2\pi) ÷ 4 = -\frac{\pi}{2} \approx -1.571$$
$$\pi ÷ (-\sqrt{\pi}) = -\frac{\pi}{\sqrt{\pi}} = -\sqrt{\pi} \approx -1.772$$
$$(-3e) ÷ (-\sqrt{e}) = 3\sqrt{e} \approx 3 \times 1.649 = 4.947$$

قسمة الجذور والأعداد غير الكسرية:

قسمة جذور مختلفة
$$\sqrt{50} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$$
$$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4$$
$$\sqrt{72} ÷ \sqrt{8} = \sqrt{\frac{72}{8}} = \sqrt{9} = 3$$
قسمة π على جذور
$$\pi ÷ \sqrt{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1.571$$
$$2\pi ÷ \sqrt{\pi} = \frac{2\pi}{\sqrt{\pi}} = 2\sqrt{\pi} \approx 3.545$$
$$\sqrt{\pi^3} ÷ \sqrt{\pi} = \sqrt{\frac{\pi^3}{\pi}} = \sqrt{\pi^2} = \pi \approx 3.14159$$
قسمة جذور على أعداد
$$\sqrt{32} ÷ 4 = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2} \approx 1.414$$
$$3\sqrt{27} ÷ 9 = \frac{9\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3} \approx 1.732$$
$$2\sqrt{50} ÷ 10 = \frac{10\sqrt{2}}{10} = \sqrt{2}$$
قسمة مع معاملات
$$\frac{6\sqrt{18}}{2\sqrt{2}} = \frac{6}{2} \times \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = 3 \times \sqrt{\frac{18}{2}} = 3 \times \sqrt{9} = 3 \times 3 = 9$$
$$\frac{8\sqrt{75}}{4\sqrt{3}} = 2 \times \sqrt{\frac{75}{3}} = 2\sqrt{25} = 2 \times 5 = 10$$

قسمة التقريبات العشرية للأعداد غير الكسرية:

قسمة تقريبات الجذور
$$\sqrt{15} ÷ \sqrt{3} \approx 3.873 ÷ 1.732 = 2.236$$

تحقق: $$\sqrt{\frac{15}{3}} = \sqrt{5} \approx 2.236$$ ✓

$$\sqrt{21} ÷ \sqrt{7} \approx 4.583 ÷ 2.646 = 1.732$$

تحقق: $$\sqrt{\frac{21}{7}} = \sqrt{3} \approx 1.732$$ ✓

قسمة π على تقريبات
$$\pi ÷ \sqrt{2} \approx 3.14159 ÷ 1.414 = 2.221$$
$$e ÷ \sqrt{e} \approx 2.718 ÷ 1.649 = 1.649$$

تحقق: $$\frac{e}{\sqrt{e}} = \sqrt{e} \approx 1.649$$ ✓

قسمة بباقي تقريبي
$$\sqrt{10} ÷ \sqrt{3} \approx 3.162 ÷ 1.732 = 1.826$$
$$\pi ÷ e \approx 3.14159 ÷ 2.718 = 1.156$$
تحذير مهم: القسمة على الصفر غير معرفة! $$\frac{\pi}{0}$$, $$\frac{\sqrt{a}}{0}$$ غير موجودة لأي عدد.

مسائل تطبيقية بالأعداد الغير كسرية:

توزيع كميات غير كسرية

مسألة: تم توزيع $$6\sqrt{2}$$ كيلو من الأرز على $$\sqrt{8}$$ عائلات بالتساوي. كم نصيب كل عائلة؟

$$\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{8}} = \frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{6}{2} = 3 \text{ كيلو}$$
حساب السرعة الدورانية

مسألة: عجلة تدور مسافة $$4\pi$$ متر في زمن $$\sqrt{16}$$ ثانية. ما متوسط سرعتها؟

$$\text{السرعة} = \frac{4\pi}{\sqrt{16}} = \frac{4\pi}{4} = \pi \approx 3.14 \text{ م/ث}$$
كثافة مادة بالجذور

مسألة: كتلة جسم $$12\sqrt{3}$$ جرام وحجمه $$4\sqrt{3}$$ سم³. ما كثافته؟

$$\text{الكثافة} = \frac{12\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{12}{4} = 3 \text{ جرام/سم}^3$$
حساب نصف القطر من المحيط

مسألة: محيط دائرة $$6\pi$$ سم. ما نصف قطرها؟

$$r = \frac{C}{2\pi} = \frac{6\pi}{2\pi} = 3 \text{ سم}$$
المقاومة الكهربائية

تطبيق فيزيائي: جهد $$\sqrt{50}$$ فولت وتيار $$\sqrt{2}$$ أمبير. ما المقاومة؟

$$R = \frac{V}{I} = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5 \text{ أوم}$$
تقسيم زاوية π

مسألة هندسية: تقسيم زاوية $$2\pi$$ راديان إلى $$\sqrt{4}$$ أجزاء متساوية

$$\text{كل جزء} = \frac{2\pi}{\sqrt{4}} = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ راديان} = 180°$$

خصائص العمليات

الخاصية التبديلية (Commutative Property)

الجمع

$$a + b = b + a$$

مثال: $$5 + 3 = 3 + 5 = 8$$

الضرب

$$a \times b = b \times a$$

مثال: $$4 \times 7 = 7 \times 4 = 28$$

ملاحظة: الطرح والقسمة لا يحققان الخاصية التبديلية
$$5 - 3 \neq 3 - 5$$ و $$8 ÷ 2 \neq 2 ÷ 8$$
الخاصية التجميعية (Associative Property)

الجمع

$$(a + b) + c = a + (b + c)$$

مثال: $$(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9$$

الضرب

$$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$$

مثال: $$(2 \times 3) \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 24$$

الخاصية التوزيعية (Distributive Property)

الضرب على الجمع

$$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$$
$$(a + b) \times c = a \times c + b \times c$$
أمثلة أساسية
$$3 \times (4 + 5) = 3 \times 9 = 27$$
$$3 \times 4 + 3 \times 5 = 12 + 15 = 27$$ ✓
مع الأعداد السالبة
$$(-2) \times (3 + (-5)) = (-2) \times (-2) = 4$$
$$(-2) \times 3 + (-2) \times (-5) = -6 + 10 = 4$$ ✓
مع الكسور
$$\frac{1}{2} \times (\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$$
$$\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ ✓
التوزيع على الطرح
$$5 \times (8 - 3) = 5 \times 5 = 25$$
$$5 \times 8 - 5 \times 3 = 40 - 15 = 25$$ ✓
العناصر المحايدة والمعاكسة

العنصر المحايد للجمع

$$a + 0 = 0 + a = a$$

الصفر هو العنصر المحايد للجمع

العنصر المحايد للضرب

$$a \times 1 = 1 \times a = a$$

الواحد هو العنصر المحايد للضرب

المعاكس الجمعي

$$a + (-a) = 0$$

مثال: $$7 + (-7) = 0$$

المعاكس الضربي

$$a \times \frac{1}{a} = 1 \quad (a \neq 0)$$

مثال: $$5 \times \frac{1}{5} = 1$$

النشر والتعميل (Développement et Factorisation)

النشر: هو تحويل تعبير على شكل جداء إلى مجموع أو فرق. [2, 4] التعميل: هو العملية العكسية للنشر، أي تحويل مجموع أو فرق إلى جداء. [2, 4]

1. النشر (Développement)

النشر يعتمد بشكل أساسي على الخاصية التوزيعية للضرب على الجمع والطرح. [4]

قواعد النشر الأساسية

$$k(a+b) = ka + kb$$
$$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$$

المتطابقات الهامة (Identités Remarquables)

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
$$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$$
مثال 1: نشر بسيط

انشر وبسط: $$3(x+5)$$

$$3(x+5) = 3 \times x + 3 \times 5 = 3x + 15$$
مثال 2: نشر مزدوج

انشر وبسط: $$(x+2)(y+3)$$

$$(x+2)(y+3) = x \cdot y + x \cdot 3 + 2 \cdot y + 2 \cdot 3 = xy + 3x + 2y + 6$$
مثال 3: استخدام المتطابقات الهامة

انشر: $$(x-4)^2$$

$$(x-4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16$$
مثال 4: مع الجذور

انشر: $$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$$

$$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$$
2. التعميل (Factorisation)

يهدف التعميل إلى إيجاد عامل مشترك أو استخدام المتطابقات الهامة لتحويل مجموع إلى جداء.

مثال 1: البحث عن عامل مشترك

عمل: $$5x + 10$$

$$5x + 10 = 5 \cdot x + 5 \cdot 2 = 5(x+2)$$
مثال 2: عامل مشترك مركب

عمل: $$(x+1)(x+2) + (x+1)(2x-3)$$

$$= (x+1) [(x+2) + (2x-3)]$$
$$= (x+1) [x+2+2x-3] = (x+1)(3x-1)$$
مثال 3: استخدام المتطابقات الهامة

عمل: $$x^2 - 49$$

$$x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = (x-7)(x+7)$$
مثال 4: متطابقة هامة أخرى

عمل: $$4x^2 + 12x + 9$$

$$4x^2 + 12x + 9 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x+3)^2$$

أولويات العمليات الحسابية

ترتيب العمليات (PEMDAS/BODMAS):

  1. الأقواس ( )
  2. القوى والجذور $$x^n, \sqrt{x}$$
  3. الضرب والقسمة × ÷ (من اليسار لليمين)
  4. الجمع والطرح + - (من اليسار لليمين)
مثال 1: بدون أقواس
$$2 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14$$

خطأ شائع: $$2 + 3 \times 4 \neq (2 + 3) \times 4 = 20$$

مثال 2: مع الأقواس
$$(2 + 3) \times 4 - 1 = 5 \times 4 - 1 = 20 - 1 = 19$$
مثال 3: مع القوى
$$2 + 3^2 \times 4 = 2 + 9 \times 4 = 2 + 36 = 38$$
مثال 4: معقد
$$\frac{(8 + 2) \times 3}{2^2 + 1} = \frac{10 \times 3}{4 + 1} = \frac{30}{5} = 6$$
مثال 5: مع أعداد سالبة
$$(-2)^2 + 3 \times (-4) = 4 + (-12) = 4 - 12 = -8$$

تمرين شامل:

احسب خطوة بخطوة
$$2 \times (3 + 4)^2 - 5 \times 6 ÷ 2$$

الحل:

1) الأقواس أولاً: $$3 + 4 = 7$$

2) القوى: $$7^2 = 49$$

3) الضرب والقسمة: $$2 \times 49 = 98$$ و $$5 \times 6 ÷ 2 = 30 ÷ 2 = 15$$

4) الطرح: $$98 - 15 = 83$$

تمرين مع جذور
$$3 + 2\sqrt{16} \times \sqrt{4} - 5$$

الحل:

1) الجذور أولاً: $$\sqrt{16} = 4$$ و $$\sqrt{4} = 2$$

2) الضرب: $$2 \times 4 \times 2 = 16$$

3) الجمع والطرح: $$3 + 16 - 5 = 14$$

تمرين معقد بالجذور
$$\frac{\sqrt{25} + 3^2}{\sqrt{36} - 2} \times 4$$

الحل:

1) الجذور والقوى: $$\sqrt{25} = 5$$، $$3^2 = 9$$، $$\sqrt{36} = 6$$

2) داخل الكسر: $$\frac{5 + 9}{6 - 2} = \frac{14}{4} = 3.5$$

3) الضرب: $$3.5 \times 4 = 14$$

تمرين شامل متقدم
$$2\sqrt{9} + (1 + \sqrt{4})^2 - 3 \times \sqrt{16} ÷ 2$$

الحل خطوة بخطوة:

1) الجذور: $$\sqrt{9} = 3$$، $$\sqrt{4} = 2$$، $$\sqrt{16} = 4$$

2) الأقواس: $$(1 + 2) = 3$$

3) القوى: $$3^2 = 9$$

4) الضرب والقسمة: $$2 \times 3 = 6$$ و $$3 \times 4 ÷ 2 = 6$$

5) الجمع والطرح: $$6 + 9 - 6 = 9$$

الجذور التربيعية وخصائصها

الجذر التربيعي للعدد الموجب $$a$$ هو العدد الموجب $$\sqrt{a}$$ الذي إذا رُبع أعطى $$a$$

$$(\sqrt{a})^2 = a \quad \text{حيث } a \geq 0$$
$$\sqrt{a^2} = |a| \quad \text{لكل } a \in \mathbb{R}$$

خاصية الضرب

$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$

حيث $$a \geq 0$$ و $$b \geq 0$$

خاصية القسمة

$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$

حيث $$a \geq 0$$ و $$b > 0$$

جذور الأعداد المربعة الكاملة
$$\sqrt{1} = 1, \quad \sqrt{4} = 2, \quad \sqrt{9} = 3, \quad \sqrt{16} = 4$$
$$\sqrt{25} = 5, \quad \sqrt{36} = 6, \quad \sqrt{49} = 7, \quad \sqrt{64} = 8$$
$$\sqrt{81} = 9, \quad \sqrt{100} = 10, \quad \sqrt{121} = 11, \quad \sqrt{144} = 12$$

ضرب الجذور التربيعية:

جذور بسيطة
$$\sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6$$
$$\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6$$ ✓
ضرب وتبسيط
$$\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4$$
$$\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36} = 6$$
$$\sqrt{5} \times \sqrt{20} = \sqrt{5 \times 20} = \sqrt{100} = 10$$
ضرب جذور مع أعداد
$$3\sqrt{2} \times 4\sqrt{8} = 3 \times 4 \times \sqrt{2 \times 8} = 12\sqrt{16} = 12 \times 4 = 48$$
$$2\sqrt{3} \times 5\sqrt{27} = 10\sqrt{3 \times 27} = 10\sqrt{81} = 10 \times 9 = 90$$
تبسيط الجذور المركبة
$$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$
$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$$
$$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$$
$$\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2}$$

قسمة الجذور التربيعية:

قسمة مباشرة
$$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}} = \frac{6}{2} = 3$$
$$\sqrt{\frac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3$$ ✓
قسمة وتبسيط
$$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$$
$$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4$$
قسمة مع معاملات
$$\frac{6\sqrt{18}}{2\sqrt{2}} = \frac{6}{2} \times \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = 3 \times \sqrt{\frac{18}{2}} = 3 \times \sqrt{9} = 3 \times 3 = 9$$

ترقيم المقامات (Rationalizing):

ترقيم مقام بسيط
$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$$
ترقيم مقام مركب
$$\frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
$$\frac{2}{\sqrt{12}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
ترقيم مقام من النوع $$a + b\sqrt{c}$$
$$\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1 \times (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$$
$$\frac{3}{1 + \sqrt{2}} = \frac{3(1 - \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} = \frac{3(1 - \sqrt{2})}{1 - 2} = -3(1 - \sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 3$$

جمع وطرح الجذور:

جذور متشابهة
$$2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$$
$$8\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$
تبسيط قبل الجمع
$$\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$
$$\sqrt{50} - \sqrt{32} = 5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = \sqrt{2}$$
خليط من الجذور
$$3\sqrt{12} + 2\sqrt{27} - \sqrt{48} = 3 \times 2\sqrt{3} + 2 \times 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3}$$
$$= 6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$

معادلات بالجذور:

حل معادلة بسيطة

أوجد $$x$$ إذا كان: $$\sqrt{x} = 5$$

$$(\sqrt{x})^2 = 5^2 \Rightarrow x = 25$$

تحقق: $$\sqrt{25} = 5$$ ✓

معادلة أكثر تعقيداً

أوجد $$x$$ إذا كان: $$3\sqrt{x} - 2 = 7$$

الحل:

$$3\sqrt{x} = 9$$

$$\sqrt{x} = 3$$

$$x = 9$$

تحقق: $$3\sqrt{9} - 2 = 3 \times 3 - 2 = 7$$ ✓

تحذيرات مهمة:
  • ⚠️ $$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$$ (خطأ شائع!)
  • ⚠️ $$\sqrt{a^2} = |a|$$ وليس $$a$$ دائماً
  • ⚠️ الجذر التربيعي معرف فقط للأعداد غير السالبة في $$\mathbb{R}$$

القيمة المطلقة

القيمة المطلقة للعدد الحقيقي $$a$$ هي المسافة بين $$a$$ والصفر على المستقيم العددي

$$|a| = \begin{cases} a & \text{إذا } a \geq 0 \\ -a & \text{إذا } a < 0 \end{cases}$$
أمثلة بسيطة
$$|5| = 5$$
$$|-7| = 7$$
$$|0| = 0$$
قيم مطلقة للكسور
$$\left|\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4}$$
$$\left|-\frac{5}{6}\right| = \frac{5}{6}$$
قيم مطلقة للأعداد العشرية
$$|2.5| = 2.5$$
$$|-3.8| = 3.8$$
عمليات مع القيم المطلقة
$$|3| + |-4| = 3 + 4 = 7$$
$$|5| \times |-2| = 5 \times 2 = 10$$
$$|8| - |-3| = 8 - 3 = 5$$
قيم مطلقة مركبة
$$|7 - 10| = |-3| = 3$$
$$|2 \times (-3)| = |-6| = 6$$
$$\left|\frac{-8}{4}\right| = |-2| = 2$$

خصائص مهمة للقيمة المطلقة:

$$|a| \geq 0 \text{ لكل } a \in \mathbb{R}$$
$$|ab| = |a| \times |b|$$
$$\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} \quad (b \neq 0)$$
$$|a + b| \leq |a| + |b| \text{ (متباينة المثلث)}$$
تطبيق متباينة المثلث
$$|3 + (-5)| = |-2| = 2$$
$$|3| + |-5| = 3 + 5 = 8$$

نلاحظ أن: $$2 \leq 8$$ ✓

القيمة المطلقة مع الجذور:

قيم مطلقة للجذور
$$|\sqrt{25}| = |5| = 5$$
$$|-\sqrt{16}| = |-4| = 4$$
$$|\sqrt{7} - 3| = |2.646... - 3| = |-0.354...| = 3 - \sqrt{7}$$
عمليات مختلطة
$$|\sqrt{9} - \sqrt{16}| + |\sqrt{4} \times (-2)| = |3 - 4| + |-4| = 1 + 4 = 5$$
$$\left|\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}} - 5\right| = \left|\frac{6}{2} - 5\right| = |3 - 5| = 2$$
معادلات بالقيمة المطلقة والجذور

أوجد $$x$$ إذا كان: $$|\sqrt{x} - 2| = 3$$

الحل:

الحالة 1: $$\sqrt{x} - 2 = 3 \Rightarrow \sqrt{x} = 5 \Rightarrow x = 25$$

الحالة 2: $$\sqrt{x} - 2 = -3 \Rightarrow \sqrt{x} = -1$$ (مستحيل لأن $$\sqrt{x} \geq 0$$)

$$\text{إذن } x = 25$$
تطبيق عملي: المسافة

مسألة: نقطة تتحرك على المستقيم العددي من الموضع $$\sqrt{4}$$ إلى الموضع $$\sqrt{36}$$. ما المسافة المقطوعة؟

$$\text{المسافة} = |\sqrt{36} - \sqrt{4}| = |6 - 2| = 4 \text{ وحدات}$$

العمليات على الكسور العشرية والنسب المئوية

تحويل بين الكسور والأعداد العشرية

كسر عادي ← عدد عشري:

بالقسمة المطولة
$$\frac{3}{4} = 3 ÷ 4 = 0.75$$
$$\frac{5}{8} = 5 ÷ 8 = 0.625$$
أعداد عشرية دورية
$$\frac{1}{3} = 0.333... = 0.\overline{3}$$
$$\frac{2}{9} = 0.222... = 0.\overline{2}$$
$$\frac{5}{6} = 0.8333... = 0.8\overline{3}$$

عدد عشري ← كسر عادي:

عشريات منتهية
$$0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$$
$$0.375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$$
عشريات دورية

لتحويل $$0.\overline{6}$$ إلى كسر:

نضع $$x = 0.666...$$

إذن $$10x = 6.666...$$

بالطرح: $$10x - x = 6$$

$$9x = 6$$

$$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$
النسب المئوية

النسبة المئوية هي طريقة للتعبير عن جزء من الكل باستخدام العدد 100 كأساس

$$a\% = \frac{a}{100} = 0.0a$$

تحويلات أساسية:

نسبة مئوية ← كسر/عشري
$$25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0.25$$
$$75\% = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} = 0.75$$
$$12.5\% = \frac{12.5}{100} = 0.125 = \frac{1}{8}$$
كسر/عشري ← نسبة مئوية
$$\frac{3}{5} = 0.6 = 60\%$$
$$0.85 = 85\%$$
$$1.25 = 125\%$$
حساب النسب المئوية

مسألة 1: ما هو 30% من 150؟

$$30\% \times 150 = 0.3 \times 150 = 45$$

مسألة 2: 24 يمثل كم بالمئة من 80؟

$$\frac{24}{80} \times 100\% = 0.3 \times 100\% = 30\%$$

مسألة 3: إذا كان 40% من عدد = 60، فما هو العدد؟

$$40\% \times x = 60 \Rightarrow 0.4x = 60 \Rightarrow x = \frac{60}{0.4} = 150$$
الزيادة والنقصان المئوي

زيادة مئوية: زاد سعر السلعة من 200 إلى 250 دينار

$$\text{نسبة الزيادة} = \frac{250 - 200}{200} \times 100\% = \frac{50}{200} \times 100\% = 25\%$$

تخفيض مئوي: انخفض السعر من 300 إلى 240 دينار

$$\text{نسبة التخفيض} = \frac{300 - 240}{300} \times 100\% = \frac{60}{300} \times 100\% = 20\%$$

مسائل تطبيقية:

فائدة بنكية

مسألة: أودع أحمد 5000 دينار بفائدة سنوية 4%. كم المبلغ بعد سنة؟

$$\text{الفائدة} = 5000 \times 4\% = 5000 \times 0.04 = 200 \text{ دينار}$$
$$\text{المبلغ الإجمالي} = 5000 + 200 = 5200 \text{ دينار}$$
ضريبة القيمة المضافة

مسألة: سعر منتج 85 دينار + ضريبة 18%. كم السعر النهائي؟

$$\text{الضريبة} = 85 \times 18\% = 85 \times 0.18 = 15.3 \text{ دينار}$$
$$\text{السعر النهائي} = 85 + 15.3 = 100.3 \text{ دينار}$$

تمارين شاملة متقدمة

🎯 تمارين متدرجة الصعوبة

تمرين 1: عمليات مختلطة

احسب: $$\frac{2}{3} + 1.5 - \frac{1}{4} \times 8$$

$$= \frac{2}{3} + 1.5 - 2 = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} - 2$$
$$= \frac{4}{6} + \frac{9}{6} - \frac{12}{6} = \frac{1}{6}$$
تمرين 2: قيمة مطلقة معقدة

احسب: $$|3 - 7| + |(-2) \times 4| - |\frac{-6}{3}|$$

$$= |-4| + |-8| - |-2| = 4 + 8 - 2 = 10$$
تمرين 3: أولويات معقدة

احسب: $$2^3 + 3 \times (4 - 2)^2 ÷ 6 - 1$$

الحل خطوة بخطوة:

1) القوى: $$2^3 = 8$$

2) الأقواس: $$(4 - 2) = 2$$

3) القوى: $$2^2 = 4$$

4) الضرب والقسمة: $$3 \times 4 ÷ 6 = 12 ÷ 6 = 2$$

5) الجمع والطرح: $$8 + 2 - 1 = 9$$

تمرين 4: جذور وعمليات

احسب: $$\sqrt{25} + 2\sqrt{9} - \sqrt{16} \times \frac{1}{2}$$

$$= 5 + 2 \times 3 - 4 \times \frac{1}{2} = 5 + 6 - 2 = 9$$
تمرين 5: تبسيط جذور معقد

بسط: $$3\sqrt{18} + 2\sqrt{50} - 5\sqrt{8}$$

الحل:

$$3\sqrt{18} = 3 \times 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$$

$$2\sqrt{50} = 2 \times 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$$

$$5\sqrt{8} = 5 \times 2\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$$

$$= 9\sqrt{2} + 10\sqrt{2} - 10\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$$
تمرين 6: ضرب وقسمة جذور

احسب: $$\frac{4\sqrt{12} \times 3\sqrt{27}}{2\sqrt{48}}$$

الحل:

$$4\sqrt{12} = 4 \times 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$

$$3\sqrt{27} = 3 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$$

$$2\sqrt{48} = 2 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$$

$$= \frac{8\sqrt{3} \times 9\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = \frac{72 \times 3}{8\sqrt{3}} = \frac{216}{8\sqrt{3}} = \frac{27}{\sqrt{3}} = \frac{27\sqrt{3}}{3} = 9\sqrt{3}$$
تمرين 7: π مع العمليات الأساسية

احسب: $$2\pi + \frac{3\pi}{4} - \pi \times \frac{1}{2}$$

$$= 2\pi + \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = 2\pi + \frac{3\pi}{4} - \frac{2\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$$
تمرين 8: خليط من الأعداد الغير كسرية

احسب: $$\sqrt{2} \times \sqrt{8} + \pi - 2\sqrt{2}$$

$$= \sqrt{16} + \pi - 2\sqrt{2} = 4 + \pi - 2\sqrt{2} \approx 4 + 3.14159 - 2.828 = 4.314$$
تمرين 9: e مع الجذور

احسب: $$e^2 - 2e + \sqrt{e}$$

$$\approx (2.718)^2 - 2(2.718) + \sqrt{2.718} \approx 7.389 - 5.436 + 1.649 = 3.602$$
تمرين 10: مزيج معقد

بسط: $$\frac{\pi\sqrt{4} + 2\sqrt{9}}{e + \sqrt{16}}$$

$$= \frac{2\pi + 6}{e + 4} \approx \frac{6.283 + 6}{2.718 + 4} = \frac{12.283}{6.718} \approx 1.828$$

📐 تمارين الجذور والكسور المتقدمة

تمرين 7: ترقيم مقام معقد

رقم المقام: $$\frac{6}{2 + \sqrt{3}}$$

$$= \frac{6(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{6(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 6(2 - \sqrt{3}) = 12 - 6\sqrt{3}$$
تمرين 8: كسر معقد بالجذور

بسط: $$\frac{\sqrt{72} + \sqrt{32}}{\sqrt{8} + \sqrt{18}}$$

الحل:

البسط: $$\sqrt{72} + \sqrt{32} = 6\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$$

المقام: $$\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$

$$= \frac{10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 2$$
تمرين 9: كسر π معقد

بسط: $$\frac{2\pi^2 - \pi}{\pi + \sqrt{\pi^2}}$$

$$= \frac{\pi(2\pi - 1)}{\pi + \pi} = \frac{\pi(2\pi - 1)}{2\pi} = \frac{2\pi - 1}{2} \approx \frac{5.283}{2} = 2.641$$
تمرين 10: جذر من مجموع مربعات الثوابت

احسب: $$\sqrt{\pi^2 + e^2} + \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2}$$

$$= \sqrt{\pi^2 + e^2} + \sqrt{2 + 3} = \sqrt{\pi^2 + e^2} + \sqrt{5}$$
$$\approx \sqrt{9.870 + 7.389} + 2.236 = \sqrt{17.259} + 2.236 \approx 4.154 + 2.236 = 6.390$$
تمرين 11: ترقيم مقام مع π

رقم المقام: $$\frac{\sqrt{2\pi}}{1 + \sqrt{\pi}}$$

$$= \frac{\sqrt{2\pi}(1 - \sqrt{\pi})}{(1 + \sqrt{\pi})(1 - \sqrt{\pi})} = \frac{\sqrt{2\pi}(1 - \sqrt{\pi})}{1 - \pi}$$

نظراً لأن $$\pi > 1$$، المقام سالب:

$$= \frac{\sqrt{2\pi}(1 - \sqrt{\pi})}{\pi - 1} \approx \frac{2.507(-0.772)}{2.142} \approx -0.903$$

🧮 تمارين الجذور مع التقريب

تمرين 10: تقريب الجذور

قرب لأقرب جزء من عشرة: $$\sqrt{7} + \sqrt{11} - \sqrt{3}$$

الحل:

$$\sqrt{7} \approx 2.6$$، $$\sqrt{11} \approx 3.3$$، $$\sqrt{3} \approx 1.7$$

$$\approx 2.6 + 3.3 - 1.7 = 4.2$$
تمرين 11: جذور في المعادلات

أوجد $$x$$: $$\sqrt{x + 5} = 4$$

الحل:

$$(\sqrt{x + 5})^2 = 4^2$$

$$x + 5 = 16$$

$$x = 11$$

تحقق: $$\sqrt{11 + 5} = \sqrt{16} = 4$$ ✓

📊 مسائل النسب المئوية المتقدمة

تمرين 4: نسب متتالية

مسألة: زاد سعر منتج بـ 20% ثم انخفض بـ 15%. إذا كان السعر الأصلي 100 دينار، فما السعر النهائي؟

الحل:

بعد الزيادة: $$100 + 20\% = 100 \times 1.2 = 120$$ دينار

بعد الانخفاض: $$120 - 15\% = 120 \times 0.85 = 102$$ دينار

$$\text{السعر النهائي} = 102 \text{ دينار}$$
تمرين 5: توزيع نسب

مسألة: في صف من 40 طالباً، 25% بنات، 30% من الطلاب يحبون الرياضيات. كم عدد البنات والأولاد ومحبي الرياضيات؟

$$\text{عدد البنات} = 40 \times 25\% = 10 \text{ طالبات}$$
$$\text{عدد الأولاد} = 40 - 10 = 30 \text{ طالباً}$$
$$\text{محبو الرياضيات} = 40 \times 30\% = 12 \text{ طالباً}$$

📐 تمارين الكسور المتقدمة

تمرين 6: عمليات مركبة

بسط: $$\frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{6}}{\frac{2}{3} - \frac{1}{12}}$$

الحل:

البسط: $$\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12}$$

المقام: $$\frac{2}{3} - \frac{1}{12} = \frac{8}{12} - \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$$

$$\frac{\frac{11}{12}}{\frac{7}{12}} = \frac{11}{12} \times \frac{12}{7} = \frac{11}{7}$$

🏆 تحديات رياضية

تحدٍ 1: مسألة شاملة

مسألة: اشترى تاجر بضاعة بـ 800 دينار، باعها بربح 25%، ثم اشترى بضاعة أخرى بكامل المبلغ وباعها بخسارة 10%. كم صافي ربحه أو خسارته؟

الحل:

سعر البيع الأول: $$800 \times 1.25 = 1000$$ دينار

سعر البيع الثاني: $$1000 \times 0.9 = 900$$ دينار

$$\text{صافي الربح} = 900 - 800 = 100 \text{ دينار}$$
تحدٍ 2: معادلة بالقيمة المطلقة

أوجد $$x$$ إذا كان: $$|2x - 3| = 7$$

الحل:

الحالة 1: $$2x - 3 = 7 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$$

الحالة 2: $$2x - 3 = -7 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2$$

$$x = 5 \text{ أو } x = -2$$
تحدٍ 3: معادلة جذرية معقدة

أوجد $$x$$: $$\sqrt{x + \pi} + \sqrt{x - e} = 3$$

الحل بالتجربة: نجرب $$x = 5$$

$$\sqrt{5 + \pi} + \sqrt{5 - e} \approx \sqrt{8.142} + \sqrt{2.282} \approx 2.854 + 1.511 = 4.365 \neq 3$$

نجرب $$x = 3$$:

$$\sqrt{3 + \pi} + \sqrt{3 - e} \approx \sqrt{6.142} + \sqrt{0.282} \approx 2.478 + 0.531 = 3.009 \approx 3$$ ✓

$$x \approx 3$$
تحدٍ 4: نظرية فيثاغورس مع الثوابت

مسألة: في مثلث قائم الزاوية، إذا كان طولا الضلعين $$\sqrt{\pi}$$ سم و $$\sqrt{e}$$ سم، ما طول الوتر؟

الحل:

$$c^2 = (\sqrt{\pi})^2 + (\sqrt{e})^2 = \pi + e \approx 3.142 + 2.718 = 5.860$$
$$c = \sqrt{\pi + e} \approx \sqrt{5.860} \approx 2.421 \text{ سم}$$
تحدٍ 5: تبسيط مركب بالأعداد الغير كسرية

بسط إلى أبسط صورة:

$$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{8}}{\sqrt{18} - \sqrt{2}} + \frac{\pi}{2\sqrt{\pi}}$$

الحل:

$$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ و $$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

البسط الأول: $$\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$

المقام الأول: $$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

الكسر الثاني: $$\frac{\pi}{2\sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

$$= \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{3 + \sqrt{\pi}}{2}$$
تحدٍ 6: مسألة هندسية متقدمة بالثوابت

مسألة: مساحة دائرة $$e\pi$$ سم². إذا زدنا نصف قطرها بـ $$\sqrt{2}$$ سم، كم ستصبح المساحة الجديدة؟

الحل:

من $$\pi r^2 = e\pi$$ نجد $$r^2 = e$$ إذن $$r = \sqrt{e}$$ سم

نصف القطر الجديد: $$\sqrt{e} + \sqrt{2}$$ سم

$$\text{المساحة الجديدة} = \pi(\sqrt{e} + \sqrt{2})^2 = \pi(e + 2\sqrt{2e} + 2)$$
$$= \pi(e + 2 + 2\sqrt{2e}) \approx \pi(2.718 + 2 + 4.386) = 9.104\pi \text{ سم}^2$$
تحدٍ 7: نظام معادلات بالجذور والثوابت

أوجد $$x$$ و $$y$$:

$$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{5} + 1 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = \sqrt{5} - 1 \end{cases}$$

الحل:

بالجمع: $$2\sqrt{x} = 2\sqrt{5} \Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt{5} \Rightarrow x = 5$$

بالتعويض: $$\sqrt{5} + \sqrt{y} = \sqrt{5} + 1 \Rightarrow \sqrt{y} = 1 \Rightarrow y = 1$$

$$x = 5, \quad y = 1$$
تحدٍ 8: التكامل التقريبي للثوابت

تطبيق متقدم: احسب القيمة التقريبية لـ $$\int_0^1 (\pi x + e^x) dx$$

باستخدام قاعدة المستطيلات مع $$n = 2$$:

عند $$x = 0$$: $$f(0) = \pi \cdot 0 + e^0 = 1$$

عند $$x = 0.5$$: $$f(0.5) = \pi \cdot 0.5 + e^{0.5} \approx 1.571 + 1.649 = 3.220$$

عند $$x = 1$$: $$f(1) = \pi \cdot 1 + e^1 \approx 3.142 + 2.718 = 5.860$$

$$\int_0^1 (\pi x + e^x) dx \approx \frac{1-0}{2}[f(0) + f(1)] = 0.5[1 + 5.860] = 3.430$$
تحدٍ 9: معادلة تفاضلية بسيطة

أوجد $$y$$: $$\frac{dy}{dx} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$$ حيث $$y(1) = \pi$$

الحل:

$$y = \int (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}) dx = \frac{2x^{3/2}}{3} + 2\sqrt{x} + C$$

من الشرط الابتدائي: $$\pi = \frac{2 \cdot 1^{3/2}}{3} + 2\sqrt{1} + C$$

$$\pi = \frac{2}{3} + 2 + C \Rightarrow C = \pi - \frac{8}{3}$$
$$y = \frac{2x^{3/2}}{3} + 2\sqrt{x} + \pi - \frac{8}{3}$$

🚀 تبسيط الكسور الجذرية المتقدمة

الكسور الجذرية هي التعبيرات التي تحتوي على جذور في البسط أو المقام أو كليهما. تبسيطها يتطلب تقنيات متقدمة لترقيم المقامات وتطبيق المتطابقات الهامة.

1. النوع الأول: $$\frac{a}{\sqrt{b}}$$

طريقة الترقيم (Rationalization):

$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$$
أمثلة أساسية

مثال 1: $$\frac{3}{\sqrt{2}}$$

$$\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

مثال 2: $$\frac{8}{\sqrt{5}}$$

$$\frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5}$$

مثال 3: $$\frac{12}{\sqrt{3}}$$

$$\frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$$

أمثلة معقدة:

مع الجذور المركبة

مثال 4: $$\frac{6}{\sqrt{18}}$$

الحل: أولاً نبسط $$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

$$\frac{6}{\sqrt{18}} = \frac{6}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$
مع الكسور العشرية

مثال 5: $$\frac{2.5}{\sqrt{7}}$$

$$\frac{2.5}{\sqrt{7}} = \frac{2.5\sqrt{7}}{7} = \frac{5\sqrt{7}}{14}$$
نصيحة خبير: عند التعامل مع $$\frac{a}{\sqrt{b}}$$، تحقق دائماً إذا كان بإمكانك تبسيط $$\sqrt{b}$$ أولاً قبل الترقيم.
2. النوع الثاني: $$\frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{c}}$$

طريقة التبسيط:

$$\frac{\sqrt{a}}{b\sqrt{c}} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{c}}{b\sqrt{c} \cdot \sqrt{c}} = \frac{\sqrt{ac}}{bc}$$
أمثلة تدريجية

مثال 1: $$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 5} = \frac{\sqrt{15}}{10}$$

مثال 2: $$\frac{\sqrt{8}}{3\sqrt{2}}$$

التبسيط المباشر:

$$\frac{\sqrt{8}}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3}$$

أو بالترقيم:

$$\frac{\sqrt{8}}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{16}}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

مثال 3: $$\frac{\sqrt{12}}{4\sqrt{3}}$$

$$\frac{\sqrt{12}}{4\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

حالات معقدة:

مع جذور غير متشابهة

مثال 4: $$\frac{\sqrt{7}}{5\sqrt{11}}$$

$$\frac{\sqrt{7}}{5\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{11}}{5\sqrt{11} \cdot \sqrt{11}} = \frac{\sqrt{77}}{5 \cdot 11} = \frac{\sqrt{77}}{55}$$
مع الكسور

مثال 5: $$\frac{\sqrt{9}}{2\sqrt{\frac{1}{4}}}$$

$$\frac{\sqrt{9}}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{1} = 3$$
استراتيجية خبير: قبل الترقيم، تحقق إذا كان بإمكانك تبسيط الجذور أو إيجاد عوامل مشتركة.
3. النوع الثالث: $$\frac{a}{b + \sqrt{c}}$$

استخدام المرافق (Conjugate):

المرافق للتعبير $$b + \sqrt{c}$$ هو $$b - \sqrt{c}$$

$$(b + \sqrt{c})(b - \sqrt{c}) = b^2 - c$$
$$\frac{a}{b + \sqrt{c}} = \frac{a(b - \sqrt{c})}{(b + \sqrt{c})(b - \sqrt{c})} = \frac{a(b - \sqrt{c})}{b^2 - c}$$
أمثلة كلاسيكية

مثال 1: $$\frac{6}{2 + \sqrt{3}}$$

الحل: نضرب بالمرافق $$2 - \sqrt{3}$$

$$\frac{6}{2 + \sqrt{3}} = \frac{6(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{6(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 6(2 - \sqrt{3}) = 12 - 6\sqrt{3}$$

مثال 2: $$\frac{10}{3 + \sqrt{5}}$$

$$\frac{10}{3 + \sqrt{5}} = \frac{10(3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \frac{10(3 - \sqrt{5})}{9 - 5} = \frac{10(3 - \sqrt{5})}{4} = \frac{5(3 - \sqrt{5})}{2}$$
$$= \frac{15 - 5\sqrt{5}}{2}$$

مثال 3: $$\frac{1}{1 + \sqrt{2}}$$

$$\frac{1}{1 + \sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} = \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{-1} = \sqrt{2} - 1$$

حالات خاصة ومعقدة:

مع جذور أكبر

مثال 4: $$\frac{8}{4 + \sqrt{7}}$$

$$\frac{8}{4 + \sqrt{7}} = \frac{8(4 - \sqrt{7})}{(4 + \sqrt{7})(4 - \sqrt{7})} = \frac{8(4 - \sqrt{7})}{16 - 7} = \frac{8(4 - \sqrt{7})}{9}$$
$$= \frac{32 - 8\sqrt{7}}{9}$$
عندما $$b^2 = c$$

مثال خاص: $$\frac{5}{3 + \sqrt{9}}$$

نلاحظ أن $$\sqrt{9} = 3$$، إذن:

$$\frac{5}{3 + \sqrt{9}} = \frac{5}{3 + 3} = \frac{5}{6}$$

لا نحتاج لترقيم!

مع كسور في البسط

مثال 5: $$\frac{\frac{3}{2}}{1 + \sqrt{3}}$$

$$\frac{\frac{3}{2}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{3}{2(1 + \sqrt{3})} = \frac{3(1 - \sqrt{3})}{2(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{3(1 - \sqrt{3})}{2(1 - 3)}$$
$$= \frac{3(1 - \sqrt{3})}{-4} = \frac{3(\sqrt{3} - 1)}{4}$$
ملاحظة خبير: عندما يكون المقام $$b + \sqrt{c}$$ حيث $$b^2 < c$$، فإن المقام الناتج $$b^2 - c$$ سيكون سالباً. تذكر تغيير الإشارة!
4. النوع الرابع: $$\frac{a}{b - \sqrt{c}}$$

المرافق لـ $$b - \sqrt{c}$$ هو $$b + \sqrt{c}$$:

$$\frac{a}{b - \sqrt{c}} = \frac{a(b + \sqrt{c})}{(b - \sqrt{c})(b + \sqrt{c})} = \frac{a(b + \sqrt{c})}{b^2 - c}$$
أمثلة أساسية

مثال 1: $$\frac{4}{3 - \sqrt{2}}$$

$$\frac{4}{3 - \sqrt{2}} = \frac{4(3 + \sqrt{2})}{(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})} = \frac{4(3 + \sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{4(3 + \sqrt{2})}{7}$$
$$= \frac{12 + 4\sqrt{2}}{7}$$

مثال 2: $$\frac{6}{2 - \sqrt{5}}$$

$$\frac{6}{2 - \sqrt{5}} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{(2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{4 - 5} = \frac{6(2 + \sqrt{5})}{-1}$$
$$= -6(2 + \sqrt{5}) = -12 - 6\sqrt{5}$$

مثال 3: $$\frac{-3}{1 - \sqrt{7}}$$

$$\frac{-3}{1 - \sqrt{7}} = \frac{-3(1 + \sqrt{7})}{(1 - \sqrt{7})(1 + \sqrt{7})} = \frac{-3(1 + \sqrt{7})}{1 - 7} = \frac{-3(1 + \sqrt{7})}{-6}$$
$$= \frac{1 + \sqrt{7}}{2}$$

تطبيقات متقدمة:

مع الكسور المركبة

مثال 4: $$\frac{\frac{8}{3}}{5 - \sqrt{6}}$$

$$\frac{\frac{8}{3}}{5 - \sqrt{6}} = \frac{8}{3(5 - \sqrt{6})} = \frac{8(5 + \sqrt{6})}{3(5 - \sqrt{6})(5 + \sqrt{6})} = \frac{8(5 + \sqrt{6})}{3(25 - 6)}$$
$$= \frac{8(5 + \sqrt{6})}{3 \cdot 19} = \frac{8(5 + \sqrt{6})}{57}$$
مع قيم عددية كبيرة

مثال 5: $$\frac{15}{4 - \sqrt{10}}$$

$$\frac{15}{4 - \sqrt{10}} = \frac{15(4 + \sqrt{10})}{(4 - \sqrt{10})(4 + \sqrt{10})} = \frac{15(4 + \sqrt{10})}{16 - 10}$$
$$= \frac{15(4 + \sqrt{10})}{6} = \frac{5(4 + \sqrt{10})}{2} = \frac{20 + 5\sqrt{10}}{2}$$
تقنية خبير: عندما يكون $$b < \sqrt{c}$$، فإن المقام $$b - \sqrt{c}$$ سالب، مما يجعل النتيجة النهائية لها إشارة مخالفة للبسط الأصلي.
5. النوع الخامس: $$\frac{a}{b + c\sqrt{d}}$$

المرافق المعمم:

المرافق للتعبير $$b + c\sqrt{d}$$ هو $$b - c\sqrt{d}$$

$$(b + c\sqrt{d})(b - c\sqrt{d}) = b^2 - c^2d$$
$$\frac{a}{b + c\sqrt{d}} = \frac{a(b - c\sqrt{d})}{(b + c\sqrt{d})(b - c\sqrt{d})} = \frac{a(b - c\sqrt{d})}{b^2 - c^2d}$$
أمثلة شاملة

مثال 1: $$\frac{12}{3 + 2\sqrt{5}}$$

المرافق: $$3 - 2\sqrt{5}$$

$$\frac{12}{3 + 2\sqrt{5}} = \frac{12(3 - 2\sqrt{5})}{(3 + 2\sqrt{5})(3 - 2\sqrt{5})} = \frac{12(3 - 2\sqrt{5})}{9 - 4 \cdot 5}$$
$$= \frac{12(3 - 2\sqrt{5})}{9 - 20} = \frac{12(3 - 2\sqrt{5})}{-11} = \frac{-12(3 - 2\sqrt{5})}{11}$$
$$= \frac{12(2\sqrt{5} - 3)}{11} = \frac{24\sqrt{5} - 36}{11}$$

مثال 2: $$\frac{8}{1 + 3\sqrt{2}}$$

$$\frac{8}{1 + 3\sqrt{2}} = \frac{8(1 - 3\sqrt{2})}{(1 + 3\sqrt{2})(1 - 3\sqrt{2})} = \frac{8(1 - 3\sqrt{2})}{1 - 9 \cdot 2}$$
$$= \frac{8(1 - 3\sqrt{2})}{1 - 18} = \frac{8(1 - 3\sqrt{2})}{-17} = \frac{8(3\sqrt{2} - 1)}{17}$$
$$= \frac{24\sqrt{2} - 8}{17}$$

مثال 3: $$\frac{6}{2 - 4\sqrt{3}}$$

أولاً نخرج العامل المشترك من المقام:

$$\frac{6}{2 - 4\sqrt{3}} = \frac{6}{2(1 - 2\sqrt{3})} = \frac{3}{1 - 2\sqrt{3}}$$

الآن نرقم:

$$\frac{3}{1 - 2\sqrt{3}} = \frac{3(1 + 2\sqrt{3})}{(1 - 2\sqrt{3})(1 + 2\sqrt{3})} = \frac{3(1 + 2\sqrt{3})}{1 - 4 \cdot 3}$$
$$= \frac{3(1 + 2\sqrt{3})}{1 - 12} = \frac{3(1 + 2\sqrt{3})}{-11} = \frac{-3(1 + 2\sqrt{3})}{11}$$

حالات معقدة ومتقدمة:

مع معاملات كسرية

مثال 4: $$\frac{10}{5 + \frac{3}{2}\sqrt{7}}$$

أولاً نوحد المقام:

$$\frac{10}{5 + \frac{3\sqrt{7}}{2}} = \frac{10}{\frac{10 + 3\sqrt{7}}{2}} = \frac{20}{10 + 3\sqrt{7}}$$

الآن نرقم:

$$\frac{20}{10 + 3\sqrt{7}} = \frac{20(10 - 3\sqrt{7})}{(10 + 3\sqrt{7})(10 - 3\sqrt{7})} = \frac{20(10 - 3\sqrt{7})}{100 - 9 \cdot 7}$$
$$= \frac{20(10 - 3\sqrt{7})}{100 - 63} = \frac{20(10 - 3\sqrt{7})}{37}$$
مع جذور مختلفة

مثال 5: $$\frac{15}{4 + 5\sqrt{11}}$$

$$\frac{15}{4 + 5\sqrt{11}} = \frac{15(4 - 5\sqrt{11})}{(4 + 5\sqrt{11})(4 - 5\sqrt{11})} = \frac{15(4 - 5\sqrt{11})}{16 - 25 \cdot 11}$$
$$= \frac{15(4 - 5\sqrt{11})}{16 - 275} = \frac{15(4 - 5\sqrt{11})}{-259} = \frac{15(5\sqrt{11} - 4)}{259}$$
حالة خاصة: عندما $$b^2 = c^2d$$

مثال خاص: $$\frac{7}{3 + 3\sqrt{1}}$$

نلاحظ أن $$\sqrt{1} = 1$$، إذن:

$$\frac{7}{3 + 3\sqrt{1}} = \frac{7}{3 + 3} = \frac{7}{6}$$

لا نحتاج لترقيم!

استراتيجية خبير متقدمة:
• تحقق دائماً من وجود عامل مشترك في المقام قبل الترقيم
• احسب $$b^2 - c^2d$$ ذهنياً أولاً لتتوقع نوع النتيجة
• إذا كان $$b^2 - c^2d = 0$$، فالمقام غير معرف!
• استخدم الآلة الحاسبة للتحقق من النتائج المعقدة
🚨 تحذيرات مهمة للخبراء:
  • ⚠️ تأكد من أن المقام ليس صفراً بعد الترقيم
  • ⚠️ $$\frac{a}{b + c\sqrt{d}}$$ غير معرف إذا كان $$b^2 = c^2d$$
  • ⚠️ انتبه لتغيير الإشارات عندما يكون المقام الناتج سالباً
  • ⚠️ بسط الكسور النهائية دائماً إلى أبسط صورة
  • ⚠️ تحقق من إجابتك بضرب النتيجة في المقام الأصلي
🎯 تقنية الخبراء: لحفظ الوقت، تدرب على حساب مربع الفرق ذهنياً:
• $$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$
• $$(a + b\sqrt{c})(a - b\sqrt{c}) = a^2 - b^2c$$
هذا سيجعلك أسرع في حل المسائل المعقدة!
💡 نصائح للنجاح:
  • ✅ اتبع ترتيب العمليات دائماً
  • ✅ انتبه لقوانين الإشارات
  • ✅ بسط الكسور إلى أبسط صورة
  • ✅ تحقق من إجابتك بالتعويض
  • ✅ استخدم القيمة المطلقة لإيجاد المسافات

ملخص القوانين الأساسية

\begin{align} \text{الخاصية التبديلية:} \quad &a + b = b + a, \quad ab = ba \\[5pt] \text{الخاصية التجميعية:} \quad &(a + b) + c = a + (b + c) \\[5pt] &(ab)c = a(bc) \\[5pt] \text{الخاصية التوزيعية:} \quad &a(b + c) = ab + ac \\[5pt] \text{العناصر المحايدة:} \quad &a + 0 = a, \quad a \times 1 = a \\[5pt] \text{المعاكسات:} \quad &a + (-a) = 0, \quad a \times \frac{1}{a} = 1 \\[5pt] \text{قوانين الإشارات:} \quad &(+)(+) = (+), \quad (-)(+) = (-) \\[5pt] &(+)(-) = (-), \quad (-)(-) = (+) \\[5pt] \text{القيمة المطلقة:} \quad &|a| \geq 0, \quad |ab| = |a||b| \\[5pt] \text{خصائص الجذور:} \quad &\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}, \quad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \\[5pt] &(\sqrt{a})^2 = a, \quad \sqrt{a^2} = |a| \\[5pt] \text{ترتيب العمليات:} \quad &\text{الأقواس → القوى والجذور → الضرب والقسمة → الجمع والطرح} \end{align}
🎯 خلاصة النصائح المهمة:
  • ✅ احترم ترتيب العمليات (PEMDAS) دائماً
  • ✅ $$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$$ (خطأ شائع!)
  • ✅ $$\sqrt{a^2} = |a|$$ وليس $$a$$ في جميع الحالات
  • ✅ رقم المقامات التي تحتوي جذور
  • ✅ بسط الجذور بإخراج العوامل المربعة الكاملة
  • ✅ تحقق من الحلول بالتعويض
  • ✅ انتبه لمجال التعريف في الجذور والكسور